5.1.1 数列的概念（Word练习）-【精讲精练】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册（人教B版）

[必备知识·基础巩固] 1．数列{an}的通项公式是an＝n＋1，n∈N＋，则它的图象是(　　) A．直线　　　　　 B．直线上孤立的点 C．抛物线 D．抛物线上孤立的点 解析　数列an对应点为(1，2)，(2，3)，(3，4)，…，所以图象是直线y＝x＋1上孤立的点． 答案　B 2．数列－1，，－，，…的一个通项公式为an＝(　　) A． B． C． D． 解析　观察数列－1，，－，，… 可知其分母为n，其分子是－1，1交替出现，故分子可为(－1)n， 所以该数列的一个通项公式为an＝. 答案　A 3．下列说法正确的是(　　) A．数列1，0，－1，－2与数列－2，－1，0，1是相同的数列 B．数列0，2，4，6，8，…，可记为{2n}，n∈N＋ C．数列的第k项为1＋ D．数列，，…，既是递增数列又是无穷数列 解析　对于A：数列是有顺序的一列数，故A错误； 对于B：当n＝1时，数列{2n}的第一项为2，不符合a1＝0，故B错误； 对于C：数列的第k项为＝1＋，故C正确； 对于D：数列，，…，的最后一项为，是有穷数列，故D错误；故选C. 答案　C 4．在数列{an}中，若an＝则a5＋a6＝(　　) A．17 B．23 C．25 D．41 解析　a5＝2×5－1＝9，a6＝26-1＝32， 故a5＋a6＝41. 答案　D 5．数列{an}的通项公式an＝，则a8＝________， －3是此数列的第________项． 解析　a8＝＝－＝3－2. 因为－3＝－＝， 所以是数列{an}的第9项． 答案　 3－2　9 6．(2024·上海浦东高二月考)写出数列－，2，－，8，－，…的一个通项公式：__________． 解析　数列－，2，－，8，－，…即为－，，－，，－，… 由此得此数列的一个通项公式为an＝(－1)n·(n∈N＋). 答案　an＝(－1)n·(n∈N＋)(答案不唯一) 7．(2024·陕西西安高二月考)设an＝－n2＋10n＋11，数列{an}从首项到第m项的和最大，则m的值是_______________． 解析　a1＝－1＋10＋11＝20>0， 由an＝－n2＋10n＋11≥0， 得n2－10n－11＝(n－11)(n＋1)≤0， 解得1≤n≤11，n∈N＋，又a11＝0， 所以数列{an}从首项到第10或第11项的和最大，即m＝10或m＝11. 答案　10或11 8．(2024·安徽滁州高二月考)数列{an}中，an＝n2－5n＋4. (1)18是数列中的第几项？ (2)n为何值时，an有最小值？并求最小值． 解析　(1)令an＝n2－5n＋4＝18， 即n2－5n－14＝0，解得n＝7或n＝－2(舍)， 故18是数列{an}的第7项． (2)由an＝n2－5n＋4，因为y＝x2－5x＋4，开口向上，对称轴为x＝， 所以n＝2或n＝3时，an有最小值为a2＝22－5×2＋4＝－2. [关键能力·综合提升] 9．已知数列1，，，，，，，，，，…，则是该数列的(　　) A．第127项 B．第128项 C．第129项 D．第130项 解析　将该数列的第一项1写成，再将该数列分组，第一组1项：；第二组2项：，；第三组3项：，，；第四组4项：，，，；……容易发现：每组中各个分数的分子与分母之和均为该组序号加1，且从第二组起每组的分子从1开始依次增加1，因此应位于第十六组的第八位．由1＋2＋…＋15＋8＝128，得是该数列的第128项． 答案　B 10．(多选)已知数列{an}中，an＝n2－kn(n∈N＋)，且{an}单调递增，则实数k的取值可能为(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 解析　因为an＝n2－kn(n∈N＋)，且{an}单调递增， 所以an＋1－an＞0，对任意的n∈N＋都成立， 又an＋1－an＝(n＋1)2－k(n＋1)－n2＋kn＝2n＋1－k， 则2n＋1－k＞0，即k＜2n＋1对任意的n∈N＋恒成立，所以k＜3. 答案　ABC 11．下列星星图案中星星的个数构成数列{an}，则数列{an}的一个通项公式是________． 解析　由题图可知an＝an－1＋n，n≥2， ∴an－an－1＝n，∴a2－a1＝2，a3－a2＝3， a4－a3＝4，…，an－an－1＝n， ∴an－a1＝， 则an＝，当n＝1时，也成立． 答案　an＝ 12．正项数列{an}满足a－(2n－1)an－2n＝0，则数列{an}的通项公式为an＝________． 解析　由a－(2n－1)an－2n＝0，得(an－2n)·(an＋1)＝0.因为{an}为正项数列，所以an＝2n. 答案　2n 13．“中国剩余定理”又称“孙子定理”，讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将1到2 022这2 022个数中能被3除余1且被5除余1的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列{an}，则此数列的项数是多少？ 解析　能被3除余1且被5除余1的数就是能被15除余1的数，故an＝15n－14(n∈N＋). 由an＝15n－14≤2 022，解得n≤. 又n∈N＋，故此数列的项数为135. [核心价值·探索创新] 14．如图①是第七届国际数学教育大会的会徽图案，会徽的主体图案是由如图②所示的一连串直角三角形演化而成的，其中OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝A7A8＝1，如果把图②中的直角三角形继续作下去，记OA1，OA2，…，OAn的长度构成数列{an}，则此数列的通项公式为(　　) A．an＝n，n∈N＋ B．an＝，n∈N＋ C．an＝，n∈N＋ D．an＝3n＋1，n∈N＋ 解析　因为OA1＝1，OA2＝，OA3＝，…，OAn＝，所以a1＝1，a2＝，a3＝，…，an＝，所以数列{an}的通项公式为an＝，n∈N＋. 答案　C 15．已知在数列{an}中，an＝1＋(n∈N＋，a∈R且a≠0). (1) 若a＝－7，求数列{an}中的最大项和最小项的值； (2)若对任意的n∈N＋，都有an≤a6成立，求实数a的取值范围． 解析　(1)方法一　∵a＝－7，∴an＝1＋. 结合函数f(x)＝1＋的单调性， 可知1＞a1＞a2＞a3＞a4，a5＞a6＞a7＞…＞an＞1(n∈N＋)， ∴数列{an}中的最大项为a5＝2，最小项为a4＝0. 方法二　∵a＝－7，∴an＝1＋. 设数列中的最大项为an， 则(n≥2且n∈N＋)， 即 解得＜n＜. 又n≥2且n∈N＋，∴n＝5， 即数列{an}中的最大项为a5＝2. 同理可得，数列{an}中的最小项为a4＝0. (2)an＝1＋＝1＋. ∵对任意的n∈N＋，都有an≤a6成立， ∴结合函数f(x)＝1＋的单调性， 知5＜＜6，∴－10＜a＜－8. 故实数a的取值范围为(－10，－8). 学科网（北京）股份有限公司 $