5.3.2 第2课时 数列求和(习题课)（课件PPT）-【精讲精练】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册（人教B版）

该高中数学课件聚焦数列求和习题课，衔接等比数列前n项和知识，通过课前自主学习、课堂互动探究、课后学业评价的学习支架，引导学生从预习梳理到课堂深化再到课后巩固，构建完整学习链条。 其特色在于三案一体设计与失分警示结合，如指出未验真n=1、未整理结论等常见错误，培养数学思维的严谨性与数学语言的规范性。学生能提升解题规范性，教师可借助清晰栏目导航高效教学，增强课堂实效。

5.3.2　等比数列的前n项和 第五章　数 列 第2课时　数列求和(习题课) 栏目导航 第五章　数 列 1 栏目导航 课前案•自主学习 01 课堂案•互动探究 02 课后案•学业评价 03 栏目导航 第五章　数 列 1 栏目导航 第五章　数 列 1 课前案•自主学习 栏目导航 栏目导航 第五章　数 列 1 栏目导航 第五章　数 列 1 栏目导航 第五章　数 列 1 栏目导航 第五章　数 列 1 栏目导航 第五章　数 列 1 课堂案•互动探究 栏目导航 栏目导航 第五章　数 列 1 栏目导航 第五章　数 列 1 栏目导航 第五章　数 列 1 栏目导航 第五章　数 列 1 栏目导航 第五章　数 列 1 栏目导航 第五章　数 列 1 栏目导航 第五章　数 列 1 栏目导航 第五章　数 列 1 栏目导航 第五章　数 列 1 栏目导航 第五章　数 列 1 栏目导航 第五章　数 列 1 栏目导航 第五章　数 列 1 栏目导航 第五章　数 列 1 栏目导航 第五章　数 列 1 栏目导航 第五章　数 列 1 栏目导航 第五章　数 列 1 栏目导航 第五章　数 列 1 栏目导航 第五章　数 列 1 栏目导航 第五章　数 列 1 栏目导航 第五章　数 列 1 栏目导航 第五章　数 列 1 栏目导航 第五章　数 列 1 栏目导航 第五章　数 列 1 栏目导航 第五章　数 列 1 栏目导航 第五章　数 列 1 栏目导航 第五章　数 列 1 栏目导航 第五章　数 列 1 栏目导航 第五章　数 列 1 栏目导航 第五章　数 列 1 栏目导航 第五章　数 列 1 课后案•学业评价 栏目导航 点击进入Word 栏目导航 第五章　数 列 1 谢谢观看 栏目导航 第五章　数 列 1 学业标准 素养目标 1．通过具体实例，理解并掌握数列的分组转化求和法． 2．通过具体实例，理解并掌握数列的裂项求和法．(重点) 3．通过具体实例，理解并掌握数列的错位相减法．(重点、难点、易错点) 通过数列求和常用方法的学习与应用，培养逻辑推理、数学运算、数学建模核心素养． 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)n≥2时，＝.(　　) (2)数列的前n项和不能用错位相减法求和.(　　) (3)数列的前5项和为.(　　) (4)数列的最大值为，最小值为－.(　　) 答案　(1)√　(2)×　(3)×　(4)√ 2．等比数列{an}前n项和为Sn＝3n-2＋k，则实数k的值为(　　) A．　　　　　　　　 B．－ C． D．－ 解析　Sn＝3n-2＋k＝·3n＋k，根据等比数列前n项和Sn的有关性质可得k＝－. 答案　D 3．(多选)在等比数列{an}中，首项a1＝1，若数列{an}的前n项之积为Tn，且T5＝1 024，则该数列的公比的值为(　　) A．－2 B．－1 C．1 D．2 解析　设等比数列{an}的公比为q，因为首项a1＝1，T5＝1 024，所以15×q1+2+3+4＝1024，即q10＝210，解得q＝±2. 答案　AD 4．含2n＋1项的等差数列，其奇数项的和与偶数项的和之比为________． 解析　S奇＝，S偶＝， ∵a1＋a2n＋1＝a2＋a2n，∴＝. 答案　 题型一　分组转化法求和 　(2025·山东淄博高二期中)已知等比数列{an}中，a1＝2且2a2是a3和4a1的等差中项． (1)求数列{an}的通项公式； (2)若数列{bn}满足bn＝2n＋a(n∈N＋)，求{bn}的前n项和Sn. [解析]　(1)设等比数列{an}的公比为q， 因为a1＝2，所以a2＝a1q＝2q，a3＝a1q2＝2q2， 因为4a2＝a3＋4a1，所以8q＝2q2＋8，解得q＝2， 所以an＝2n. (2)由(1)可得bn＝2n＋a＝2n＋4n， 所以Sn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn ＝(2＋4)＋(4＋42)＋(6＋43)＋…＋(2n＋4n) ＝(2＋4＋6＋…＋2n)＋(4＋42＋43＋…＋4n) ＝＋ ＝n＋n2－＋. 分组求和法的常见类型及解法 [触类旁通] 1. (2024·重庆高二期末)设数列{an}是各项均为正实数的等比数列，且a3－a2＝4，a1＝2. (1)求数列{an}的通项公式； (2)令bn＝an＋log2an，求数列{bn}的前n项和Sn. 解析　(1)设等比数列{an}的公比为q，则a1q2－a1q－4＝0，即q2－q－2＝0，(q＋1)(q－2)＝0，q＝2或q＝－1，因为an>0，所以q＝2，所以an＝2×2n-1＝2n. (2)bn＝2n＋log22n＝2n＋n， Sn＝21＋1＋22＋2＋…＋2n＋n ＝(2＋22＋…＋2n)＋(1＋2＋…＋n) ＝＋＝2n+1－2＋. 题型二　裂项相消法求和　(一题多变) 　在数列{an}中，a1＝2，点(an，an＋1)(n∈N＋)在直线y＝2x上， (1)求数列{an}的通项公式； (2)若bn＝log2 an，求数列的前n项和Tn. [解析]　(1)由已知得an＋1＝2an，所以＝2.又因a1＝2，所以数列{an}是首项为2，公比为2的等比数列，所以an＝a1·2n-1＝2n(n∈N＋). (2)由(1)知，an＝2n，所以bn＝log2 an＝n， 所以＝＝－， 所以Tn＝＋＋＋…＋＝1－＝. [母题变式] (变条件、变结论)例2原有条件不变，令cn＝，设数列{cn}的前n项和为Tn，求证：Tn<1. 证明　由例2(1)知an＝2n， ∴cn＝＝＝－， ∴Tn＝c1＋c2＋…＋cn＝＋＋＋…＋＝1－， ∵>0，∴Tn<1. 裂项法求和是数列求和的一种常用方法，它的基本思想是设法将数列的每一项拆成两项(裂成两项)，并使它们在相加时除了首尾各有一项或少数几项外，其余各项都能前后相抵消，进而可求出数列的前n项和．常用到的裂项公式有如下形式： ①＝；②＝(－). [触类旁通] 2．(2025·重庆高二期末)随着信息技术的快速发展，离散数学的应用越来越广泛，其中差分和差分方程是描述离散变量变化的重要工具．对于数列{an}，规定{Δan}为数列{an}的一阶差分数列，其中Δan＝an＋1－an(n∈N＋)，已知数列{Δan}为常数列，Sn为{an}的前n项和，且a2＝5，S4＝24. (1)求数列{an}的通项公式； (2)数列{bn}满足bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn. 解析　(1)由于数列{Δan}为常数列，且Δan＝an＋1－an(n∈N＋)， 可知{an}为等差数列． 又a2＝5，S4＝24.知道a1＋d＝5，4a1＋d＝24， 解得a1＝3，d＝2. 故数列{an}的通项公式为an＝a1＋(n－1)d＝2n＋1. (2)bn＝＝＝， 则Tn＝＋＋…＋＝ ＝. 题型三　错位相减法求和 　已知{an}为等差数列，前n项和为Sn(n∈N＋)，{bn}是首项为2的等比数列，且公比大于0，b2＋b3＝12，b3＝a4－2a1，S11＝11b4. (1)求{an}和{bn}的通项公式． (2)求数列{a2nb2n－1}的前n项和(n∈N＋). [解析]　(1)设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q.由已知得：b2＋b3＝12， 即b1(q＋q2)＝12，又b1＝2， 所以q2＋q－6＝0，因为q＞0，所以q＝2， 所以bn＝2n，由b3＝a4－2a1，S11＝11b4， 得，3d－a1＝8，a1＋5d＝16， 联立解得，a1＝1，d＝3，所以an＝3n－2， 所以，{an}和{bn}的通项公式分别为an＝3n－2，bn＝2n. (2)设数列{a2nb2n－1}的前n项和为Tn， 由a2n＝6n－2，b2n－1＝2×4n-1， 有a2nb2n－1＝(3n－1)×4n， 故Tn＝2×4＋5×42＋8×43＋…＋(3n－1)×4n， 4Tn＝2×42＋5×43＋8×44＋…＋(3n－4)×4n＋(3n－1)×4n+1， 上述两式相减， 得－3Tn＝2×4＋3×42＋3×43＋…＋3×4n－(3n－1)×4n+1 ＝－4－(3n－1)×4n+1 ＝－(3n－2)×4n+1－8. 得Tn＝×4n+1＋. 所以，数列{a2nb2n－1}的前n项和为×4n+1＋. [素养聚焦]　本题通过求等差、等比数列的通项公式及运用错位相减法进行数列求和，主要提升逻辑推理、数学运算核心素养． (1)一般地，若数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列且公比为q，求数列{anbn}的前n项和时，可采用错位相减法． (2)①运用等比数列前n项和公式时，必须注意公比q是否为1.若不能确定公比q是否为1，应分类讨论． ②在写Sn和qSn表达式时，应特别注意“错项对齐”，以便于下一步准确写出Sn. [触类旁通] 3．(2024·全国甲卷)记Sn为数列{an}的前n项和，已知4Sn＝3an＋4. (1)求{an}的通项公式； (2)设bn＝(－1)n-1nan，求数列{bn}的前n项和Tn. 解析　(1)当n＝1时，4S1＝4a1＝3a1＋4， 解得a1＝4.当n≥2时，4Sn－1＝3an－1＋4， 所以4Sn－4Sn－1＝4an＝3an－3an－1， 即an＝－3an－1， 而a1＝4≠0，故an≠0，故＝－3， 所以数列{an}是以4为首项，－3为公比的等比数列， 所以an＝4·(－3)n-1. (2)bn＝(－1)n-1·n·4·(－3)n-1＝4n·3n-1， 所以Tn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn＝4·30＋8·31＋12·32＋…＋4n·3n-1， 故3Tn＝4·31＋8·32＋12·33＋…＋4n·3n， 所以－2Tn＝4＋4·31＋4·32＋…＋4·3n-1－4n·3n ＝4＋4·－4n·3n ＝4＋2·3·(3n-1－1)－4n·3n ＝(2－4n)·3n－2， 所以Tn＝(2n－1)·3n＋1. [缜密思维提能区]　规范答题 数列求和的综合应用 [典例]　(15分)设{an}是单调递增的等差数列，Sn为其前n项和，且满足3S4＝2S5，a5＋2是a3，a12的等比中项． (1)求数列{an}的通项公式； (2)若数列{bn}满足＋＋…＋＝3n+1－3(n∈N＋)，求数列{bn}的前n项和Tn. [审题指导]　(1)根据3S4＝2S5，a5＋2是a3，a12的等比中项以及等差、等比数列的性质，列出方程组求解； (2)先求，得bn，再求和． [规范解答]　(1)设公差为d(d＞0)，依题意得 (4分) 解得或(舍去).(6分) 所以an＝a1＋(n－1)d＝2n.(7分) (2)由＋＋…＋＝3n+1－3(n∈N＋)得 ＋＋…＋＝3n－3(n≥2，n∈N＋)， 两式相减得＝2·3n(n≥2)， 所以bn＝4n·3n(n≥2).(10分) 当n＝1时，b1＝12也满足bn＝4n·3n， 所以bn＝4n·3n(n∈N＋).(11分) Tn＝4×31＋8×32＋12×33＋…＋4n·3n， 所以3Tn＝4×32＋8×33＋12×34＋…＋4n·3n+1，(12分) 所以－2Tn＝4×3＋4×32＋…＋4×3n－4n·3n+1 ＝4×(3＋32＋…＋3n)－4n·3n+1 ＝4×－4n·3n+1 ＝(2－4n)·3n+1－6， 所以Tn＝(2n－1)·3n+1＋3.(15分) 知识落实 技法强化 数列求和的常用方法有： (1)分组转化法求和． (2)裂项相消法求和． (3)错位相减法求和． 一般的数列求和，应从通项入手，若无通项，先求通项，然后通过对通项变形，转化为与特殊数列有关或具备某种方法适用特点的形式，从而选择合适的方法求和． $