求数列通项（累加法、累乘法、构造法）专项训练-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

累加法求数列通项、累乘法求数列通项、构造数列求数列通项专项训练 累加法求数列通项、累乘法求数列通项、构造数列求数列通项专项训练 考点目录 累加法求数列通项 累乘法求数列通项 构造数列求数列通项 考点一 累加法求数列通项 例1.(24-25高二上山东烟台·月考)已知数列an}是等差数列，且a2=-1,数列{b,}满足b,-bn-1=a(n≥2， n∈N),且b=b=l. (1)求数列{b,}的通项公式： (2)将数列{a},{b}的所有公共项按从小到大的顺序组成一个新的数列{cn},求数列{cn}的通项公式： (3)设数列 1 的前喷和为工，证明：工< 例2.（2425商二上：四川给用月考)已知数列a,满足号+学+号++号=m,在数列么中，4=0，且对在 意正整数n都有bn+1-b,=4n-1. (1)求数列{an},{b}的通项公式： 2若C,=,求数列C的前项和S 累加法求数列通项、累乘法求数列通项、构造数列求数列通项专项训练 例3.(24-25高二上广东深圳月考)设数列{an}满足a1=3,a+1=an+8n+4· (I)求数列{an}的通项公式， (2)求数列 1 的前n项和Sn a 变式1.(24-25高二上四川成都月考)己知数列{an}满足a1=2,a2=6,且对n∈N,都有a+2=2an+1-an+2. (I)设b。=an+1-an,证明数列bn}为等差数列； (2)求数列{an}的通项公式 (3)求数列 3”的前n项和T: 、n 2 累加法求数列通项、累乘法求数列通项、构造数列求数列通项专项训练 变式2.(24-25高二下·黑龙江哈尔滨期中)已知数列{an}，若4=1，且a1-an=2”. (I)求数列{an}的通项公式： ②证明：上+1+上++1+1<2. a a2 a3 an-1 an 变式3.(2024辽宁丹东二模)已知数列a,}中，a,=2,0-a=2. n+1 (I)求{an}的通项公式： (2)设数列{b}是等差数列，记Sn为数列 的前n项和，4b=4b+b,a=2S,求S. 累加法求数列通项、累乘法求数列通项、构造数列求数列通项专项训练 考点二 累乘法求数列通项 例1.(2526高二上江苏南通期中)已知数列a的前顶和为S,且42S-S,)=n+1a: (I)求{a}的通项公式： (2)求Sn. 例2.2425商三上建州期)记5为数列a的前：项和，满足0=3，及=”告2。 (1)求{an}的通项公式： 11 12 ②证明：。品+…+.有 累加法求数列通项、累乘法求数列通项、构造数列求数列通项专项训练 例3.(24.25商三上重庆渝中-期中)已知影列a的前项和为S,且4=号2aS-S)=n+a· (I)求{an}的通项公式； (2)设bn=n(2-Sn,neN,若对任意n∈N都有bn≤入成立，求实数元的取值范围. 变式1.(2425高二上湖南长沙期中)已知数列a,4=2,Q1=2-,数列6，满足6=1， a. b。_b2l=an b2n-1 b2n 0求证：数列a 1 为等差数列，并求出数列{an}的通项公式； (2)求b2m+1的表达式： 11 (③求证：b,b, 1 十一十·十 -<1 累加法求数列通项、累乘法求数列通项、构造数列求数列通项专项训练 变式2.(24-25高三上山东济南月考)已知数列{an}中，42=1，设Sn为an}前n项和，2Sn=nan. (I)求{an}的通项公式： sin1 (2)若bn cos(a,+1cos(a,1+1’求数列{b.}的前n项和T 变式3.(24-25高二上·甘肃临夏·期中)已知Sn是数列an}的前n项和，2S。=(n+2)a.-4,n∈N. (1)求数列an}的通项公式： (2)若bn=16-an|,求数列{bn}的前n项和T,. 6 累加法求数列通项、累乘法求数列通项、构造数列求数列通项专项训练 考点三 构造数列求数列通项 例1.(24-25高二下·湖北武汉·期中)己知数列an}满足a1=3,an1=2an+1, (1)求通项公式4n; (2)令bn=（2n+1)(an+1),求数列{bn}前n项的和T 例2.(24-25高二下·江苏镇江·期中)己知数列{an}中，a,=2,点(an+,an)在直线x-y-4=0上，数列{bn}中， b=3,且对任意n∈N,满足：bn1=2b-2. (1)分别求数列{an}和{bn}的通项公式： (2)请比较a,与bn的大小，并证明你的结论. 累加法求数列通项、累乘法求数列通项、构造数列求数列通项专项训练 M3.(2025江苏南通校极颈0）已知数列a中，4骨42产。 1 (I)求数列{an}的通项公式： (2)求证：数列{an}的前n项和S<1. 变式1.(24-25高二下·黑龙江哈尔滨期中)设数列an}的前n项和为Sn,且an=Sn-3”,n∈N. (1)设S,=-27,求首项a,的值： (2)设a1=a, ①求Sn; ②若数列{an}是递减数列，求a的取值范围. 累加法求数列通项、累乘法求数列通项、构造数列求数列通项专项训练 变式2.(24-25高二下·黑龙江哈尔滨期中)在数列{an}中，a,=2,a2=8,且对任意的n∈N,都有 an2=4a-4an (I)证明：{a+1-2an}是等比数列，并求出{an}的通项公式： ,n=2k-1 (2)若bn= n ,k∈N）,且数列{b}的前项积为T,求T和To logg2m",n=2k 变式3.(24-25高二下·黑龙江哈尔滨·期中)己知数列{an}满足a,=14,an+1=3a。-4. (I)求{an}的通项公式： (-1)an ②)设6,3+3+打，数列b,的前项和为工，若存在n∈N,使m≥，求m的取值范围 9累加法求数列通项、累乘法求数列通项、构造数列求数列通项专项训练 累加法求数列通项、累乘法求数列通项、构造数列求数列通项专项训练 考点目录 累加法求数列通项 累乘法求数列通项 构造数列求数列通项 考点一 累加法求数列通项 例1.(24-25高二上山东烟台·月考)已知数列an}是等差数列，且a2=-1,数列{b,}满足b,-bn-1=a(n≥2， n∈N),且b=b=l. (1)求数列b,}的通项公式： (2)将数列{a},{b}的所有公共项按从小到大的顺序组成一个新的数列{cn},求数列{cn}的通项公式： (3)设数列 的前吸和为，证明：工< 【答案】(1)b,=n2-4n+4 (2)cn=(2n-1)2 (③)证明过程见解析 【详解】(1)由题意可知b2-b=a2,即b2-1=-1,故b,=0, 由b-b2=a3,可得a3=1, 所以数列{an}的公差d=2,所以a。=-1+2n-2)=2n-5, 由bn-bn-1=an,bn-1-bn-2=a-1,…,b2-b1=a2, 叠加可得6-6=a,+a,+…+a,=m--1+2n-, 2 整理可得bn=n2-4n+4,(n≥2)，当n=1时，满足上式， 所以bn=n2-4n+4; (2)不妨设a。=b.(m,neN),即2m-5=(n-2,可得m=n-2'+5, 2 当n=2keN)时，m=2k2-4k+?,不合题意， 累加法求数列通项、累乘法求数列通项、构造数列求数列通项专项训练 当n=2k-1,k∈N)时，m=2k2-6k+7=2k(k-3+7eN', 所以b-1在数列{an}中均存在公共项， 又因为6=b,<h<b,<…,所以c,=b1=(2n-1)2. （3当m=1时，7=1<，结论成立， 当时，o2-2品》 1.1 n-1 n 5 综上所述，工< 4 例2.245高二上国川跳阳月考)己知数列a满足号+学+学++学=，在数列}中，么=0，且对任 意正整数n都有bn1-b,=4n-1. (I)求数列{an},{bn}的通项公式： ②若C-名，求数列C,的前顺和3 a. 【答案】（①）a,=(2n-I)-3"(n∈N),,=(2n-1n-l)(n∈N) as-君209aeN) 【详解】0由号+号+号+叶号=心，可知当1时，4=3： 3” 当n≥2时，因为g+%+9++9=n2, 33233 所以++ 33233 +…+=a- 两式相减得，号=-a-1少=2n-1, 即an=(2n-1)3”, 因为41=3也满足上式， 所以a,=(2n-1)3（neN): 又数列(bn}满足b=0，且bn+1-bn=4n-1, 当m≥2时，可得b,=b+(b2-b)+(b-b2)+…+(b-bn-1) =(4×1-1)+(4×2-1)+(4×3+1)+.+[4×(n-1)-1] 累加法求数列通项、累乘法求数列通项、构造数列求数列通项专项训练 =4x+2++0m-l]-m-)=4x0+n-）xm-》-a-0=(2n-n-》, 当n=1时，b=0也满足上式， 所以数列{bn}的通项公式为b,=(2n-1)(n-1)(neN); 2由)6-合--geN 所以S=G+4+6++c.=0x+1x(2+2x9++0n-×G, 3 所以S=0x(+1x(+2×(++(n-)x分， 两式相减得： 8=0x++++--0 人 -a-x 3 1 11 -(n+1, 6 231 所以5=2re 例3.(24-25高二上广东深圳月考)设数列{an}满足a=3,an+1=an+8n+4· (1)求数列{an}的通项公式： (2)求数列 的前n项和Sn 【答案】(1)a,=4n2-1,neN ②81 【详解】(1)：a1=an+8n+4→an+1-an=8n+4, 可知an-an-1=8(n-1)+4, 0n-1-0m-2=8(n-2)+4, 0m-2-am-3=8(n-3)+4, a3-a2=8×2+4, 累加法求数列通项、累乘法求数列通项、构造数列求数列通项专项训练 a2-a1=8×1+4, a1=3, 上式相加得am=8(n-1)+4+8(n-2)+4+8(n-3)+4+…+8×2+4+8+4+3 =8[(n-1)+(n-2)+(n-3)+…+2+1+4n-1)+3 =8×m-1m+4n-）+3=4n2-1 2 所以数列{an}的通项公式a。=4n2-l,neN 11 (2) 1-111 a。4n2-1(2n+1)(2n-1)22n-12n+ -),neN', 111 11 所以Sn=二+二++…++ a a2 a3 an-an 1、,111、,111、 =20-3+253+25月 11)+(,1,1 )+…+( 2 22n-32n-122n-12n+1 1 1,11,11, 11 11 =-(1 2 33557 2n-32n-12n-12n+1 2 2n+1 2n+1 1 所以数列 0 的前1项和S,=,” 2n+1 变式1.(24-25高二上四川成都月考)己知数列an}满足a,=2,a2=6,且对n∈N,都有a+2=2a1-an+2. (1)设bn=an+1-an,证明数列{bn}为等差数列； (2)求数列{an}的通项公式 ③)求数列3”的前n项和工 n 【答案】(1)证明见解析 (2)an=n2+n,n∈N (3)7,=2n+)-3-3 4 【详解】(1)证明：a+2=2an1-an+2,∴.a+2-a41=a41-an+2, ∴(an+2-a1)-(a1-0n)=2,即bn1-bn=2,则数列{b}为等差数列； (2)a1=2,a2=6,∴.b=a2-a=4,d=2, 累加法求数列通项、累乘法求数列通项、构造数列求数列通项专项训练 ∴.bn=4+2n-1)=2n+2,又bn=an+1-an, ÷当n≥2时，0n-an-1=2n,0m1-an-2=2n-2,，…,a2-a1=4, 累加有an-a,=n2+n-2,则an=n2+n(n≥2). a,=2也符合上式，所以数列{an}的通项公式为an=n2+n,n∈N (3)43”=(0m+103”, Tn=23+332+…+(n+1)-3①， 3Tn=232+…+n…3”+(n+1)31②， ①-②得 -27=2-3+32+3+…+3-a+0-3m=6+30-3-a+1-3=3=2n+)-3 1-3 2 :T,=2n+031-3 4 变式2.(24-25高二下黑龙江哈尔滨期中)已知数列{a,},若a=1,且a1-an=2”. (I)求数列{an}的通项公式： ②证明：上+1+上++1+1<2. 1,11 a az a3 an an 【答案】(1)a,=2"-1 (2)证明见解析 【详解】(1)当n≥2时，an=(an-an-)+(an1-an-2)+…+(a2-a)+a =2-1+2”-2+…+2+1 --2-2-1,4=1符合该式， 1-2 所以a,=2”-1. (2)证明：当=1时，上=1<2， a 当22时，因为222)1，即2-1>2，所以女 1 -< ,111 则 an2”-12可， 所以上+++上<1+t++ 1×1-1） （2” 1 =2 <2, a az a 22+…+ 21-1 1- 累加法求数列通项、累乘法求数列通项、构造数列求数列通项专项训练 综上所达，1+++++<2. a az as an-an 变式3.(2024辽宁丹东二模)已知数列{a,}中，a,=2,-a=2. n+1 (1)求{an}的通项公式： (2)设数列{b}是等差数列，记Sn为数列 的前n项和，4b2=4b+b4,a3=2S,求Sn. b 【答案】(1)an=n(n+l (②)Sn=nn+3) 3 【详解】(1)由1-0=2，得a1-a,=2(n+), n+1 当n22时，an=(an-an-)+…+(a2-a)+a=2+4+…+2n=nn+l, 当n=1时，1×(1+1)=2=a, 所以an=nn+1. (2)设数列b}的公差为d, 因为4b2=4h+b,→4(b+d=5b+3d,得d=b,易知bn=bn, 因为哈安，拟3子 +2++”+1-n+3) 、626，可得5=9， 又因为4=2S→=12，所以6子，所以5-0》 b. 3 6 累加法求数列通项、累乘法求数列通项、构造数列求数列通项专项训练 考点二 累乘法求数列通项 例1.(2526高=上江苏南通期中)已知数列a的前硕和为S,且4-2mS-S)=n+a (1)求{a}的通项公式； (2)求Sn. 【答案】00，=品 (2)S,=2-n+2 2” 【详解】(1)由2n(Sm1-Sn)=(n+1a., 得21an+1=(n+1a, 则当n22时， ai可 n n (n-12.1 n 所以0,20.8142a2m-2n-2222> an1 an-2 a 当n=1时，上式成立， 所以6=会， 2)由(1)知3=+2+3+ 22+2++① 2 1 2②， 11 11.1 ①.②得， 2”2T 1-121-+2 S,=+5t++1-”=221n 2n*1, 2 S,=2-n+2 2 例2.（2425高三上·桶建福州：期中)记S,为数列a,的前n项和，满足a,=3,S=n+2。 30n (1)求{an}的通项公式； 11 12 (2)证明：一+一+…+一< aa2a。3 3n(n+1 【答案】(0)a,=2 (2)证明见解析 > 累加法求数列通项、累乘法求数列通项、构造数列求数列通项专项训练 【详解】(1)因为3，=n+2a, 3 当n22时，S1= n+a, 3 所以a,=S-3,-n+2到a_(n+la=， 3 3 整理得：n-a,=n+a,1,即a=”+ aa-4n-1' a,=4×g×gxx8=×a=3x2x4xx”×+l3mn+l -X a az an-2 an 12 n-2n-12 显然对于n=1也成立， 3nn+1) ∴an}的通项公式an= 2 (2) 1 +女**士0-g》日引 、 a az 11 12 由于neN,所以1n中，故得证。+。++ 3 例3.2425高三上重肤渝中期)已料数列a的前项和为S,且4=2nS-S=(a+a (1)求{an}的通项公式： (2)设b,=n(2-Sn),neN`,若对任意n∈N都有bn≤元成立，求实数入的取值范围. 【答案】0a,=是 (2)122 【详解】(1)由2n(S1-Sn)=(n+1a。, 得2nan+1=(n+l)an, n 则当n≥2时， an= a2(n-1)1 所以a.=是a-20-2n-习…222 n(n-l)2.1n an-1 an-2 a 当n=1时，上式成立， 所以a,=29 累加法求数列通项、累乘法求数列通项、构造数列求数列通项专项训练 12.3 (2)由(1)知Sn=5 22+2++ 2 1 1,2,3 n 2+2… 22 20, 1 22+2+ ,1111n 2 202’ =1942, 1 2价， Sn=2-n+2 2”1 因此b= n(n+2) 2” b1-b,-n+n+3到._nmn+2-2+3。 20+1 2 2+1, :当n=1,b2-b>0,即b2>b, 当n≥2时，b+1-b,<0,即b1<bn, ∴.b2最大项b2=2,.1≥2. 变式.(2425高二上湖南长沙期中)已知数列a,},4,=2,Q1=2-,数列b,满足6=1， a. ban-1 b2n 1 (1)求证：数列 a,-1 为等差数列，并求出数列{an}的通项公式； (2)求bm+1的表达式： (3)求证： 1,1 十…十 【答案】()证明见解析，4，=”+1 n (2)b,1=(n+12 (3)证明见解析 【详解】1)由a,=2,a4=2-1可知a1-1=8 a dm-1 d,-1 d-1 11 1 =1,又 =1, a41-1a,-1 4-1 数列 1是以1为公差，1为首项的等差数列， a,-1 0 累加法求数列通项、累乘法求数列通项、构造数列求数列通项专项训练 ‘a,-1=n,即a,=n+l 1 n b2n-1 b2m b2n-1 bn-么uu点h bin-1 b2n-3 b jj =(n+1)2 bm1=(n+12. （3)由(2)可得：6。-=+ a n+l =nn+l）. n +…+1 1,1 1 1 十…十 1×22×3 n(n+1) =1-+111 223 十…十 nn+1 =1- 变式2.(24-25高三上山东济南月考)已知数列{an}中，a=1,设Sn为an}前n项和，2Sn=nan· (1)求{an}的通项公式： sinl (2)若bn= cos(a,+lcos(a1+1’ 求数列{bn}的前n项和T, 【答案】(1)an=n-1 (2T,tan(n+1)-tan1 【详解】(1)数列{an}中，a2=1,Sn为{an}前n项和， 当n=1时，2S1=a1→2a1=a1,.a1=0, 当n≥2时，2Sn=nan①， 2S1=(n+1a4②， 由②-①得：2S41-2S,=(n+la1-na,，2(Sn1-Sn)=(n+1a1-nan, 即nan=(n-la+, 10