天津市第五十四中学2025-2026学年高三上学期12月月考数学试卷

2025-2026学年度高中数学12月月考卷 一、单选题 1. 设全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知a为非零实数，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 函数的大致图象是（ ） A. B. C. D. 4. 下列说法错误的是（ ） A. 数据的第75百分位数为11 B. 一组数据的标准差为0，则这组数据中的数均相等 C. 根据分类变量与的成对样本数据，计算得到．依据的独立性检验（），可判断与不独立 D. 用简单随机抽样的方法从10个个体中抽取3个个体，则每个个体被抽到的概率都是 5. 下列命题中正确的是 A. 若a，b是两条直线，且a∥b，那么a平行于经过b的任何平面 B. 若直线a和平面α满足a∥α，那么a与α内的任何直线平行 C. 平行于同一条直线的两个平面平行 D. 若直线a，b和平面α满足a∥b，a∥α，b不在平面α内，则b∥α 6. 设，，，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知为等差数列的前项和，且，，则数列的前项和为（ ） A. 108 B. 28 C. 62 D. 80 8. 将函数的图象向右平移个单位，得到的图象，再将图象上的所有点的横坐标变成原来的，得到的图象，则下列说法正确的是（ ） A. 函数的最小正周期为； B. 是函数图象的一个对称中心； C. 函数图象的一个对称轴方程为； D. 函数在区间上单调递增． 9. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点的直线与双曲线的右支交于，两点，若，且双曲线的离心率为，则（ ） A. B. C. D. 二、填空题 10. 已知复数（为虚数单位），则_____. 11. 在的展开式中，的系数为___________． 12. 已知直线过抛物线的焦点且与直线垂直，则圆与直线相交所得的弦长为________. 13. 甲、乙两人的口袋中均装有3个球，甲的3个球为2个黑球和1个白球，乙的3个球均为黑球（黑球和白球的大小，材质一样）．两人决定玩一场游戏：两人各从口袋中任取1个球与对方交换，重复进行这样的操作．第1次交换后，甲的口袋中黑球的个数为3的概率为________；第2次交换后，甲的口袋中依然只有1个白球的概率为________． 14. 如图，在中，点､分别为､中点，与相交于点，点满足.记，，用，表示______；若，，，则__________. 15. 函数，函数，若方程恰有3个不相等的实数根，则实数m的取值范围是_______ 三、解答题 16. 在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知. （1）求的值； （2）若，求 （ⅰ）的值； （ⅱ）的值. 17. 在如图所示的几何体中，平面，，F是的中点，，，. （1）求证：平面； （2）求平面与平面所成夹角的余弦值； （3）求四面体的体积. 18. 已知椭圆:的焦距为2，点在椭圆上. （1）求椭圆的方程； （2）设，是椭圆上的两个动点，为坐标原点，当直线、的倾斜角互补时，直线的斜率是否为一个定值？若是定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由. （3）求面积的最大值. 19. 已知是公差大于0的等差数列，，是和的等比中项.是公比大于0的等比数列，，. （1）求和的通项公式； （2）对任意的正整数，设，求； （3）记为在区间中的项的个数，求数列的前100项和. 20. 已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若，且在上单调递增，求的取值范围； （3）证明：当时，. 2025-2026学年度高中数学12月月考卷 一、单选题 【1题答案】 【答案】C 【2题答案】 【答案】B 【3题答案】 【答案】D 【4题答案】 【答案】D 【5题答案】 【答案】D 【6题答案】 【答案】A 【7题答案】 【答案】D 【8题答案】 【答案】D 【9题答案】 【答案】D 二、填空题 【10题答案】 【答案】1 【11题答案】 【答案】 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】 ①. ②. 【14题答案】 【答案】 ①. ②. 【15题答案】 【答案】 三、解答题 【16题答案】 【答案】（1） （2）（ⅰ）；（ⅱ） 【17题答案】 【答案】（1） 方法一：取的中点，连接，， 由是的中点，得，而，则. 又，于是四边形是平行四边形，， 在中，，，有， 又由平面，平面，得， 而，，平面， 因此平面，所以平面. 方法二：由已知平面，而，则直线，，两两垂直， 如图，以为原点，直线，，分别为，，轴建立空间直角坐标系， 于是，，，，， 是的中点，所以，， 设是平面的一个法向量， 则，故可取， 因，则，所以平面. （2） （3） 【18题答案】 【答案】（1） （2）是定值， （3） 【19题答案】 【答案】（1），； （2）； （3）480. 【20题答案】 【答案】（1） （2） （3） 证明：令，该二次函数的图象的对称轴为直线， 令，则， 令，则，，则， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，所以在上单调递增. 问题可转化为证明，即证， 即证. 令，则， 令， 则， 所以在上单调递减，且， 所以当时，，当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以，即，证毕. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $