第7章 7.1.2 弧度制及其与角度制的换算（Word练习）-【精讲精练】2025-2026学年高中数学必修第三册（人教B版）

[必备知识·基础巩固] 1．(2025·江苏无锡月考)1095°化成弧度为(　　) A. B． C. D． 解析　因π rad＝180°，则1°＝ rad⇒1095°＝＝. 答案　D 2．(2025·贵州六盘水期中)下列各角中，与终边相同的是(　　) A.－ B．－ C. D． 解析　对于A，因－＝≠2kπ，k∈Z，故A错误； 对于B，因－＝4π＝2kπ，k＝2，故B正确； 对于C，因－＝≠2kπ，k∈Z，故C错误； 对于D，因－＝π≠2kπ，k∈Z，故D错误． 答案　B 3．(多选题)若一个扇形的弧长为2π，面积为14π，则(　　) A.该扇形的圆心角为 B.该扇形的半径为14 C.该扇形的圆心角为 D.该扇形的半径为7 解析　设扇形的半径为R， 因为扇形的弧长为2π，扇形的面积S＝14π， 得S＝14π＝×2πR，得R＝14，B正确； 则扇形的圆心角 α＝＝＝，C正确． 答案　BC 4．(多选题)下列各角与角终边相同的是(　　) A.－ B．－ C. D． 解析　与终边相同的角构成的集合为，当k＝－1时，α＝－； 当k＝1时，α＝. 答案　AD 5．已知4π＜α＜6π，且角α与角－的终边相同，则α＝ ． 解析　α＝2kπ－，k∈Z. 又∵α∈(4π，6π)，∴k＝3，α＝6π－＝. 答案　π 6．折扇最早出现于公元五世纪的中国南北朝时期，《南齐书》上说：“褚渊以腰扇障日．”，据《通鉴注》上的解释，“腰扇”即折扇．一般情况下，折扇可以看作从一个圆面中剪下的扇形制作而成，设扇形的弧长为l，扇形所在的圆的半径为r，当l与r的比值约为2.4时，折扇看上去的形状比较美观．若一把折扇所在扇形的半径为30 cm，在保证美观的前提下，此折扇所在扇形的面积是 cm2. 解析　依题意r＝30(cm)，＝2.4，所以l＝2.4r＝72(cm)，所以S＝lr＝×72×30＝1080(cm2) . 答案　1080 7．α的终边与的终边关于直线y＝x对称，则α的取值集合为 ． 解析　α的终边与的终边关于直线y＝x对称， 所以α的终边与角的终边相同，所以α的取值集合为. 答案　 8．已知角α＝1200°. (1)将α改写成β＋2kπ的形式，并指出α是第几象限的角； (2)在区间上找出与α终边相同的角． 解析　(1)α＝1200°＝π＝＋6π， 因为为第二象限角，所以α是第二象限角； (2)与α终边相同的角可以写成γ＝＋2kπ，k∈Z， 由γ＝＋2kπ∈，得 当k＝0时，γ＝， 当k＝－1时，γ＝－， 所以在区间上与α终边相同的角为和－. [关键能力·综合提升] 9．若角α与角x＋有相同的终边，角β与角x－有相同的终边，那么α与β间的关系为(　　) A.α＋β＝0 B.α－β＝0 C.α＋β＝2kπ(k∈Z) D.α－β＝2kπ＋(k∈Z) 解析　∵α＝x＋＋2k1π(k1∈Z)，β＝x－＋2k2π(k2∈Z)，∴α－β＝＋2(k1－k2)π(k1∈Z，k2∈Z). ∵k1∈Z，k2∈Z，∴k1－k2∈Z. ∴α－β＝＋2kπ(k∈Z). 答案　D 10．把－表示成θ＋2kπ(k∈Z)的形式，使|θ|最小的θ值是(　　) A.－ B．－ C. D． 解析　令－＝θ＋2kπ(k∈Z)， 则θ＝－－2kπ(k∈Z)， 取k≤0的值，k＝－1时，θ＝－，|θ|＝； k＝－2时，θ＝，|θ|＝＞； k＝0时，θ＝－，|θ|＝＞.故选A. 答案　A 11．“数摺聚清风，一捻生秋意”是宋朝朱翌描写折扇的诗句，折扇出人怀袖，扇面书画，扇骨雕琢，是文人雅士的宠物，所以又有“怀袖雅物”的别号，如图所示是折扇的示意图，已知D为OA的中点，OA＝4，∠AOB＝，则此扇面(扇环ABCD)部分的面积是 ． 解析　由题意可得整个折扇扇形的半径r＝4，圆心角α＝， 故扇面面积S＝αr2－α·2＝αr2 ＝××42＝4π. 答案　4π 12．密位广泛用于航海和军事，我国采用的“密位制”是6000密位制，即将一个圆周分成6000等份，每一个等份是一个密位，那么600密位等于 rad. 解析　∵圆周角为2π， ∴1密位＝＝， ∴600密位＝×600＝. 答案　 13．已知一扇形的圆心角为α，周长为C，面积为S，弧长为l，所在圆的半径为r. (1)若α＝30°，r＝8，求扇形的弧长； (2)若C＝16，S＝16，求扇形的半径和圆心角． 解析　(1)由已知，得l＝8×30×＝； (2)由已知，得解得 ∴α＝×＝×＝， 即扇形的半径为4，圆心角为． [学科素养·探索创新] 14．以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形，勒洛三角形是由德国机械工程专家、机构运动学家勒洛首先发现，所以以他的名字命名．一些地方的市政检修井盖、方孔转机等都有勒洛三角形的应用．如图所示，已知某勒洛三角形的三段弧的总长度为π，则该勒洛三角形的面积为(　　) A.π－ B． C.π－ D．－ 解析　设等边三角形ABC的边长为a， 则由题意得×a＝×π，解得a＝1， 所以扇形ABC的半径为1，圆心角为，则其面积为××12＝， 又等边三角形ABC的面积为×12＝， 则该勒洛三角形的面积为×3＋＝，故选B. 答案　B 15．如图，动点P，Q从点A(4，0)出发，沿圆周运动，点P按逆时针方向每秒钟转弧度，点Q按顺时针方向每秒钟转弧度，求P，Q第一次相遇时所用的时间及P，Q点各自走过的弧长． 解析　设P，Q第一次相遇时所用的时间是t， 则t·＋t·＝2π.解得t＝4， 所以第一次相遇时所用的时间是4秒， 第一次相遇时点P已经运动到角·4＝π的终边与圆交点的位置，点Q已经运动到角－的终边与圆交点的位置， 所以点P走过的弧长为π×4＝π， 点Q走过的弧长为×4＝π×4＝π. 学科网（北京）股份有限公司 $