第7章 教考衔接1 利用同角三角函数关系式求值（Word教参）-【精讲精练】2025-2026学年高中数学必修第三册（人教B版）

一、真题展示 (2023·全国乙卷)若θ∈，tan θ＝，则sin θ－cos θ＝ ． 二、真题溯源 [人教B版必修三P26练习BT2] 已知tan α＝－4，求下列各式的值． (1)sin2α； (2)cos2α－sin2α； (3)3sinαcos α； (4). 三、类法探究 同角三角函数的基本关系有两种：(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1；(2)商数关系：＝tan α，这就是说，同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1，商等于角α的正切．根据这些关系式，利用方程的思想方法可求相关的三角函数值． 类型一　sin θ±cos θ与sin θ·cos θ之间的关系 　(1)(多选题)如果sin x＋cos x＝，且0<x<π，则下列结论正确的是(　　) A.x∈ B．sin x－cos x＝－ C.cos x＝－ D．tan x＝ (2)已知sin α＋cos α＝，α∈(0，π)，则sin α－cos α＝ ；tan α＝ ． [解析]　(1)将sin x＋cos x＝两边平方，得1＋2sin x·cos x＝， ∴2sin x·cos x＝－<0， 又x∈(0，π)，∴sin x>0，cos x<0， ∴x∈，A正确； sin x－cos x＝＝，B错误； 由得sin x＝，,cos x＝－，∴tan x＝－，故C正确、D错误． (2)∵sin α＋cos α＝，∴(sin α＋cos α)2＝，即2sin αcos α＝－<0， 又α∈(0，π)，则sin α>0，cos α<0， ∴α∈， 故sin α－cos α＝＝， 可得sin α＝，cos α＝－，tan α＝－. [答案]　(1)AC　(2)　－ 利用同角三角函数的基本关系式中的平方关系sin2α＋cos2α＝1，可以实现同角的不同三角函数值之间的相互转换；形如sinα＋cos α，sin α·cos α，sin α－cos α三个式子中，已知其中一个，利用平方关系可求其他两个，涉及的三角恒等式有： ①(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ； ②(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ； ③(sin θ＋cos θ)2＋(sin θ－cos θ)2＝2； ④(sin θ－cos θ)2＝(sin θ＋cos θ)2－4sin θcos θ.　 类型二　三角函数求值 　(1)已知sin α－cos α＝－，则tan α＋的值为(　　) A.－4 B．4 C.－8 D．8 (2)已知sin α＋cos α＝，则tan α＝(　　) A. B．2 C.－ D．－ (3)若0<α<，则＋的化简结果为 ． (4)若2cos α－3sin α＝，求tan α. [解析]　(1)将sin α－cos α＝－两边平方，得1－2sin α·cos α＝，∴2sin α·cos α＝－， 则tan α＋＝＋＝＝－8. (2)解法一　由sin α＋cos α＝， 令sin α－cos α＝A. 则sin α＝，cos α＝， 由sin2α＋cos2α＝1，得A＝－， ∴sinα＝，cos α＝，∴tan α＝. 解法二　由sin α＋cos α＝，① 令sin α－cos α＝A，② 由①2＋②2，得(sin α＋cos α)2＋(sin α－cos α)2＝3＋A2，∴A＝0，即sin α－cos α＝0， ∴tan α＝. 解法三　由sin α＝－cos α代入sin2α＋cos2α＝1， 得3cos2α－2cosα＋2＝0，∴cos α＝， ∴sin α＝，∴tan α＝. (3)＝ ＝， ＝， ∵0<α<，∴0<<，0<sin <cos ， ∴原式＝＋＝cos －sin ＋sin ＋cos ＝2cos . (4)解法一(平方关系)　由2cos α－3sin α＝，得sin α＝， 代入sin2α＋cos2α＝1，得sinα＝－，cos α＝，∴tan α＝－. 解法二(构造对称式)　由2cos α－3sin α＝， 令2cos α＋3sin α＝A， 则cos α＝，sin α＝， 则cos2α＋sin2α＝1＝＋， ∴A＝－， ∴tanα＝＝＝－. 解法三(构造对偶式)　由2cos α－3sin α＝，① 令3cos α＋2sin α＝A，② 由①2＋②2，得(2cos α－3sin α)2＋(3cos α＋2sin α)2＝13＋A2， ∴A＝0，即3cos α＋2sin α＝0，∴tan α＝－. [答案]　(1)C　(2)A　(3)2cos 　(4)略 已知条件中含有一个角的正弦、余弦，求这个角的正切，基本的做法是利用该条件和平方关系sin2α＋cos2α＝1，构建方程组求解，还可以根据条件的具体的结构特征，利用其对称式和对偶式求解．　 学科网（北京）股份有限公司 $