第7章 7.2.4 第2课时 角α与π2±α，3π2±α的三角函数的关系（Word教参）-【精讲精练】2025-2026学年高中数学必修第三册（人教B版）

本讲义聚焦高中数学三角函数诱导公式⑤～⑧，通过单位圆上点的对称关系推导公式，衔接前期诱导公式形成知识链，助力学生掌握公式记忆与应用，构建从推导到化简、求值、证明的学习支架。 以导学问题驱动逻辑推理（如探究角终边对称关系推导公式⑤），例题变式与触类旁通强化数学运算，课中辅助教师引导学生自主构建知识，课后通过分层练习帮助学生查漏补缺，有效落实逻辑推理和数学运算核心素养。

第2课时　角α与±α，±α的三角函数的关系 学业标准 学科素养 1.了解公式⑤和公式⑥的推导方法；能够准确记忆诱导公式⑤～⑧.(难点) 2．灵活运用诱导公式进行三角函数式的化简、求值和证明．(重点) 1.通过诱导公式⑤～⑧的推导，培养逻辑推理等核心素养； 2．利用诱导公式求三角函数值，提升数学运算等核心素养． 导学1 诱导公式⑤ 　如图所示，设α是任意角，其终边与单位圆交于点P1(x，y)，与角α的终边关于直线y＝x对称的角的终边与单位圆交于点P2. (1)P2点的坐标是什么？ [提示]　P2(y，x). (2)－α的终边与角α的终边关于直线y＝x对称吗？它们的正弦、余弦值有何关系？ [提示]　对称．sin ＝cos α， cos ＝sin α. ◎结论形成 诱导公式⑤ sin ＝cos α， cos ＝sin α． 导学2 诱导公式⑥～⑧ 　能利用诱导公式②⑤探究α与＋α的三角函数的关系吗？ [提示]　如cos ＝cos ＝－cos ＝－sin α. 　利用前面学习的诱导公式，你能发现＋α与α，－α与α间的三角函数的关系吗？ [提示]　如sin ＝sin ＝－sin ＝－cos α. cos ＝cos ＝cos ＝－sin α. ◎结论形成 诱导公式⑥⑦⑧ sin ＝cos α， cos ＝－sin α． cos ＝sin α， sin ＝－cos α． cos ＝－sin α， sin ＝－cos α． [点拨] 巧记诱导公式①～⑧ 诱导公式一至六可归纳为k·±α的形式，可概括为“奇变偶不变，符号看象限”： (1)“变”与“不变”是针对互余关系的函数而言的． (2)“奇”“偶”是对诱导公式k·±α中的整数k来讲的． (3)“象限”指k·±α中，将α看成锐角时，k·±α所在的象限，再根据“一全正，二正弦，三正切，四余弦”的符号规律确定原函数值的符号． 例如，将cos 写成cos ，因为1是奇数，则“cos ”变为正弦函数符号“sin ”，又将α看成第一象限角时，＋α是第二象限角，cos 符号为“－”，故有cos ＝－sin α. 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)cos ＝cos α.(　　) (2)若cos 10°＝a，则sin 100°＝a.(　　) (3)若α为第二象限角，则sin ＝－cos α.(　　) (4)tan ＝.(　　) 答案　(1)×　(2)√　(3)√　(4)√ 2．sin 165°等于(　　) A．－sin 15° B．cos 15° C．sin 75° D．cos 75° 解析　sin 165°＝sin (90°＋75°)＝cos 75°. 答案　D 3．已知sin ＝，则cos 的值为(　　) A． B． C． D．－ 解析　cos ＝cos ＝sin ＝. 答案　C 4．若cos α＝，且α是第四象限角，则cos ＝ ． 解析　由题意得sin α＝－＝－， 所以cos＝－sin α＝. 答案　 题型一　利用诱导公式化简、求值 　(1)已知cos ＝，求sin 的值； (2)化简： . [解析]　(1)∵α＋＝＋， ∴sin ＝sin ＝cos ＝. (2)原式＝ ＝tan α. [母题变式] (变结论)若例1(1)的条件不变，求sin 的值． 解析　sin ＝－sin ＝－sin ＝－cos ＝－. [素养聚焦]　通过运用诱导公式进行化简求值，把数学运算核心素养体现在解题过程中． 解决化简求值问题的策略 (1)首先要仔细观察条件式与所求式之间的关系，发现它们的互补、互余关系． (2)可以将已知式进行变形，向所求式转化，或将所求式进行变形，向已知式转化． [提醒] 常见的互余关系有：－α与＋α，＋α与－α等；常见的互补关系有：＋θ与－θ，＋θ与－θ等．　 [触类旁通] 1．已知sin ＝－，则cos ＝(　　) A．－ B． C．－ D． 解析　cos ＝－cos ＝－sin ＝－sin ＝，故选D. 答案　D 题型二　利用诱导公式证明恒等式 　[教材例8提升](1)求证： ＝. (2)求证： ＝－tan α. [证明]　(1)右边＝ ＝ ＝ ＝＝ ＝＝左边． 所以原等式成立． (2)左边＝ ＝ ＝－＝－tan α＝右边． 所以原式成立． 三角恒等式证明策略 对于恒等式的证明，应遵循化繁为简的原则，从左边推导右边或从右边推导左边，也可以左右归一，变更论证的方法．常用定义法、弦化切法、拆项拆角法、“1”的代换法、公式变形法等，要熟练掌握基本公式，善于从中选择巧妙简捷的方法．　 [触类旁通] 2．求证：＝. 证明　左边＝ ＝ ＝ ＝＝ ＝. 右边＝＝＝. ∴左边＝右边，故原等式成立． 题型三　诱导公式的综合应用 　已知cos α＝－，且α为第三象限角．求： (1)sin α的值； (2)f(α)＝的值． [解析]　(1)因为α为第三象限角， 所以sin α＝－＝－. (2)f(α)＝ ＝tan α·sin α＝·sin α＝ ＝×＝－. [母题变式] 1．(变结论)本例条件不变，求 f(α)＝的值． 解析　f(α)＝ ＝sin α＝－. 2．(变条件、变结论)将本例条件“cos α＝－”改为“α的终边与单位圆交于点P”，“第三象限”改为“第二象限”，试求的值． 解析　由题意知m2＋＝1， 解得m2＝， 因为α为第二象限角，故m＜0， 所以m＝－， 所以sin α＝，cos α＝－. 原式＝ ＝＝－. 诱导公式综合应用要“三看” 一看角：①化大为小；②看角与角间的联系，可通过相加、相减分析两角的关系． 二看函数名称：一般是弦切互化． 三看式子结构：通过分析式子，选择合适的方法，如分式可对分子分母同乘一个式子变形．　 [触类旁通] 3．已知sin ＋2cos ＝0. (1)若α为第一象限角，求sin α； (2)求的值． 解析　(1)由sin＋2cos ＝0，得－cos α＋2sin α＝0，即2sin α＝cos α， 又sin2α＋cos2α＝1，联立解得 或 因为α为第一象限角，所以sin α＝. (2)由(1)知2sin α＝cos α，得tan α＝. 故＝＝＝－. [缜密思维提能区] 规范答题 三角函数的求值问题 [典例]　(13分)已知tanα＝， 求＋ 的值． [规范解答]　＋ ＝＋ (4分) ＝＋(7分) ＝＋＝.(10分) ∵tanα＝， ∴＝， 即sin2α＝，即原式＝12.(13分) [纠错心得] 1．对于八组诱导公式要熟记，特别注意符号和三角函数名称的变化． 2．注意计算中的技巧和常规化简运算的方法． 3．解答题要注意书写规范、完整． 知识落实 技法强化 (1)诱导公式⑤⑥⑦⑧. (2)诱导公式的综合应用． (1)本节课的主要方法有：公式法、角的构造． (2)注意函数符号的变化，角与角之间的联系与构造． 学科网（北京）股份有限公司 $