第7章 7.2.4 第1课时 角α与α＋k·2π(k∈Z)，－α，π±α的三角函数的关系（Word教参）-【精讲精练】2025-2026学年高中数学必修第三册（人教B版）

本讲义聚焦高中数学诱导公式第1课时，系统梳理角α与α＋k·2π（k∈Z）、－α、π±α的三角函数关系。从终边相同角的三角函数定义切入，通过导学问题引导学生探究终边对称关系（关于x轴、y轴），逐步推导诱导公式①至④，构建“定义—推导—应用”的学习支架。 该资料以问题驱动探究，通过终边位置关系分析培养数学抽象与逻辑推理素养，如推导－α公式时结合单位圆交点对称性质。例题涵盖给角求值、给值求值、化简等题型，强化数学运算能力。课中助力教师引导学生自主推导，课后通过分层练习帮助学生巩固公式应用，查漏补缺。

7.2.4　诱导公式 　　　　　　　　第1课时　角α与α＋k·2π(k∈Z)，－α，π±α的三角函数的关系 学业标准 学科素养 1.了解三角函数的诱导公式的意义和作用． 2．理解诱导公式的推导过程．(重点) 3．能运用有关诱导公式解决一些三角函数的求值、化简和证明问题．(难点) 1.通过诱导公式的推导，培养数学抽象、逻辑推理等核心素养． 2．通过诱导公式的应用，提升数学运算等核心素养． 导学1 诱导公式① 　若角α与β的终边相同，根据三角函数的定义，你认为sin α与sin β，cos α与cos β，tan α与tan β之间有什么关系？ [提示]　sin α＝sin β，cos α＝cos β，tan α＝tan β. ◎结论形成 诱导公式① sin (α＋k·2π)＝sin α，(k∈Z) cos (α＋k·2π)＝cos α，(k∈Z) tan (α＋k·2π)＝tan α，(k∈Z). 导学2 诱导公式② 　任意角α与－α的终边有怎样的位置关系？它们与单位圆的交点有怎样的位置关系？试用三角函数的定义验证－α与α的三角函数值的关系． [提示]　α与－α的终边关于x轴对称，它们与单位圆的交点P1与P2关于x轴对称，设P1的坐标为(x，y)，则P2的坐标为(x，－y).sin (－α)＝－y＝－sin α，cos (－α)＝x＝cos α，tan (－α)＝－＝－tan α. ◎结论形成 1．角的旋转对称 角α的终边和角β的终边关于角的终边所在的直线对称． 2．诱导公式② sin (－α)＝－sin α， cos (－α)＝cos α， tan (－α)＝－tan α． 导学3 诱导公式③ 　任意角α与π－α的终边有何位置关系？它们与单位圆的交点的位置关系怎样？试用三角函数定义验证α与π－α的各三角函数值的关系． [提示]　α与π－α的终边关于y轴对称，如图所示，设P1(x，y)是α的终边与单位圆的交点，则π－α与单位圆的交点为P2(－x，y)，P1，P2关于y轴对称，由三角函数定义知，sin (π－α)＝y＝sin α，cos (π－α)＝－x＝－cos α，tan (π－α)＝＝－tan α. ◎结论形成 诱导公式③ sin (π－α)＝sin α， cos (π－α)＝－cos α， tan (π－α)＝－tan α． 导学4 诱导公式④ 　你能利用诱导公式②③探究角α与π＋α的各三角函数值的关系吗？ [提示]　如cos (π＋α)＝cos [π－(－α)] ＝－cos (－α)＝－cos α. ◎结论形成 诱导公式④ sin (π＋α)＝－sin α， cos (π＋α)＝－cos α， tan (π＋α)＝tan α． 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)诱导公式对任意角都成立．(　　) (2)若cos(π－α)＝，则cos α＝－.(　　) (3)在△ABC中，sin (A＋B)＝sin C．(　　) (4)函数y＝sin x是奇函数．(　　) 答案　(1)×　(2)√　(3)√　(4)√ 2．已知tan α＝4，则tan (π－α)等于(　　) A.π－4 B．4 C．－4 D．4－π 解析　tan (π－α)＝－tan α＝－4. 答案　C 3．sin 585°的值为(　　) A．－ B． C．－ D． 解析　sin 585°＝sin (360°＋225°) ＝sin (180°＋45°)＝－sin 45°＝－. 答案　A 4．已知sin ＝m，则cos 等于(　　) A．m B．－m C． D．－ 解析　cos ＝cos ＝－cos ＝－＝. 答案　C 题型一　给角求值问题 　[教材例1拓展]求下列各三角函数式的值： (1)sin 1320°；(2)cos ； (3)tan (－945°). [解析]　(1)解法一　sin 1320°＝sin (3×360°＋240°)＝sin 240°＝sin (180°＋60°) ＝－sin 60°＝－. 解法二　sin 1320°＝sin (4×360°－120°) ＝sin (－120°)＝－sin (180°－60°) ＝－sin 60°＝－. (2)解法一　cos ＝cos ＝cos ＝cos ＝－cos ＝－. 解法二　cos ＝cos ＝cos ＝－cos ＝－. (3)tan (－945°)＝－tan 945° ＝－tan (225°＋2×360°)＝－tan 225° ＝－tan (180°＋45°)＝－tan 45°＝－1. 利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤 (1)负化正：用公式一或三来转化． (2)大化小：用公式一将角化为0°到360°间的角． (3)小化锐：用公式二或四将大于90°的角转化为锐角． (4)锐求值：得到锐角的三角函数后求值．　 [触类旁通] 1．计算：(1)sin －cos ； (2)7cos 270°＋3sin 270°＋tan 765°. 解析　(1)原式＝－sin －cos ＝－sin －cos ＝sin ＋cos ＝＋＝1. (2)原式＝7cos ＋3sin ＋tan ＝－7cos 90°－3sin 90°＋tan 45°＝0－3＋1＝－2. 题型二　给值(式)求值问题 　(1)已知sin (α－360°)－cos (180°－α)＝m，则sin (180°＋α)·cos (180°－α)等于(　　) A． B． C． D．－ (2)已知cos ＝，求cos －sin2的值． [解析]　(1)sin (α－360°)－cos (180°－α)＝m， 所以sin α＋cos α＝m， 而sin (180°＋α)·cos (180°－α) ＝(－sin α)·(－cos α)＝sin αcos α ＝＝. (2)因为cos ＝cos ＝－cos ＝－， sin2＝sin2＝1－cos2 ＝1－＝， 所以cos －sin2＝－－ ＝－. [答案]　(1)A　(2)略 [母题变式] 1．(变条件、变结论)将例2(2)题中的“－”改为“＋”，“＋”改为“－”，其他不变，应如何解答？ 解析　由题意，知题目变为cos ＝， 求cos ＋sin2的值． 因为cos ＝cos ＝－cos ＝－， sin2＝1－cos2 ＝1－＝， 所以cos ＋sin2＝－＋ ＝－. 2．(变结论)例2(2)题中的条件不变，求cos －sin2的值． 解析　cos －sin2 ＝cos －sin2 ＝－cos －sin2 ＝－－＝－. 解决条件求值问题的策略 (1)解决条件求值问题，首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系． (2)可以将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化．　 [触类旁通] 2．已知cos (α－75°)＝－，且α为第四象限角，求sin (105°＋α)的值． 解析　∵cos (α－75°)＝－<0，且α为第四象限角， ∴sin (α－75°)＝－＝－＝－， ∴sin(105°＋α)＝sin [180°＋(α－75°)]＝－sin (α－75°)＝. 题型三　三角函数式的化简问题 　[教材例5拓展]化简： (1)＋＋； (2)·. [解析]　(1)＋＋＝＋＋＝－3. (2)·＝·＝·＝sin α. 三角函数式的化简方法 (1)利用诱导公式，将任意角的三角函数转化为锐角的三角函数． (2)常用“弦化切”法，即表达式中的弦函数通常化为切函数． (3)注意“1”的变式应用：如1＝sin2α＋cos2α＝tan.　 [触类旁通] 3．(1)若＝，则tan θ等于(　　) A． B．－ C．－3 D．3 (2)化简：·tan (π＋α)＝ ． 解析　(1)＝＝，分子分母同除以cos θ，得＝， 解得tan θ＝－3. (2)原式＝·tan α＝·＝－1. 答案　(1)C　(2)－1 [缜密思维提能区] 规范答题 分类讨论思想在三角函数化简中的应用 [典例]　(13分)化简sin ＋cos ，k∈Z. [规范解答]　原式＝sin ＋ cos .(3分) ①当k为奇数时， 设k＝2n＋1(n∈Z)，则 原式＝sin ＋cos ＝sin ＋cos ＝sin ＋cos (8分) ＝sin －cos .(10分) ②当k为偶数时，设k＝2n(n∈Z)，则 原式＝sin ＋cos ＝－sin ＋cos .(13分) [纠错心得] 1．在化简三角函数式时，首先要细心观察所要化简的角之间有何联系，找出它们的内在关系，由此转化为利用公式进行化简． 2．若含有参数时，要注意是否需进行分情况讨论． 3．在解答题中要注意答题的规范性和完整性． 知识落实 技法强化 (1)特殊关系角的终边对称性． (2)诱导公式①②③④. (1)记忆本节课的诱导公式的口诀是：函数名不变，符号看象限． (2)利用诱导公式要特别注意三角函数值符号的确定． 学科网（北京）股份有限公司 $