第7章 7.2.1 三角函数的定义（Word教参）-【精讲精练】2025-2026学年高中数学必修第三册（人教B版）

本讲义聚焦任意角三角函数的定义及各象限符号规律这一核心知识点，先从锐角三角函数入手，通过终边上点的坐标推广至任意角，明确sinα=y/r、cosα=x/r、tanα=y/x（r=√(x²+y²)）的定义，再归纳“一全正，二正弦，三正切，四余弦”的符号规律，构建从具体到抽象的学习支架。 资料以数学抽象（从锐角到任意角的定义推广）和数学运算（坐标计算、参数分类讨论）为核心素养导向，通过导学问题链（如“P点位置是否影响函数值”）引导探究，易错辨析（参数a正负讨论）强化严谨思维。课中助力教师落实概念教学，课后借助例题、练习题及纠错案例，帮助学生巩固定义应用，弥补认知盲点。

7．2.1　三角函数的定义 学业标准 学科素养 1.理解并掌握任意角的三角函数定义，了解三角函数是以实数为自变量的函数．(难点) 2．理解并掌握正弦、余弦、正切函数值在各象限内的符号．(重点) 1.通过三角函数概念的学习，培养数学抽象等核心素养． 2．通过三角函数定义的应用，提升数学运算等核心素养． 导学1 任意角的正弦、余弦与正切的定义 　使锐角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，在终边上任取一点P，PM⊥x轴于M，设P(x，y)，|OP|＝r. (1)角α的正弦、余弦、正切分别等于什么？ [提示]　sin α＝，cos α＝，tan α＝. (2)对于确定的角α，sin α，cos α，tan α是否随P点在终边上的位置的改变而改变？ [提示]　否． ◎结论形成 设α是一个任意大小的角，P(x，y)是α终边上不同于坐标原点的任意一点，则它与原点的距离是r(r＝＞0)，如图，那么 (1)称为角α的正弦，记作sin α，即sin α＝； (2)称为角α的余弦，记作cos α，即cos α＝； (3)称为角α的正切，记作tan α，即tan α＝． 由上可知，对于每一个角α，都有唯一确定的正弦、余弦与之对应；当α≠kπ＋(k∈Z)时，有唯一的正切与之对应．角α的正弦、余弦与正切，都称为α的三角函数． 导学2 三角函数在各象限的符号 　已知α≠，k∈Z. (1)试分析sin α，cos α，tan α在各象限的符号． (2)试总结三角函数的符号规律． [提示]　 (1) (2)三角函数值在各象限的符号可简记为：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”，即第一象限正弦、余弦、正切都为正；第二象限正弦为正；第三象限正切为正；第四象限余弦为正． ◎结论形成 (1)当且仅当α的终边在第一、二象限，或y轴正半轴上时，sin α＞0；当且仅当α的终边在第三、四象限，或y轴负半轴上时，sin α＜0. (2)当且仅当α的终边在第一、四象限，或x轴正半轴上时，cos α＞0；当且仅当α的终边在第二、三象限，或x轴负半轴上时，cos α＜0. (3)当且仅当α的终边在第一、三象限时，tan α＞0；当且仅当α的终边在第二、四象限时，tan α＜0. 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)角的三角函数值随终边上点的位置变化而变化.(　　) (2)若角 α 终边过点(1，3)，则sin α＝.(　　) (3)终边在x轴上的角的正切值不存在．(　　) (4)若角x的终边在第三象限，则cos α<0，tan α>0.(　　) 答案　(1)×　(2)√　(3)×　(4)√ 2．已知角α终边过点P(1，－1)，则tan α的值为(　　) A．1 B．－1 C． D．－ 答案　B 3．若角θ同时满足sin θ＜0且tan θ＜0，则角θ的终边一定位于(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 答案　D 4．角α＝，则角α的余弦值为 ． 解析　∵α＝时，角α的终边上任取一点(0，1)， ∴cos α＝0. 答案　0 题型一　三角函数定义及其应用 角度1　已知角α终边上一点坐标求三角函数值 　[教材例1提升]已知角θ终边上一点P(x，3)(x≠0)，且cos θ＝x，求sin θ，tan θ. [解析]　由题意知r＝|OP|＝， 由三角函数定义得cos θ＝＝. 又∵cos θ＝x，∴＝x. ∵x≠0，∴x＝±1. 当x＝1时，点P为(1，3)， 此时sin θ＝＝，tan θ＝＝3. 当x＝－1时，点P为(－1，3)， 此时sin θ＝＝， tan θ＝＝－3. 1．已知角α终边上任意一点的坐标求三角函数值 在α的终边上任选一点P(x，y)，设点P到原点的距离为r(r＞0)，则sin α＝，cos α＝.当已知α的终边上一点求α的三角函数值时，用该方法更方便． 2．当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论.　 角度2　已知角α终边所在直线求三角函数值 　已知角α的终边在直线y＝－3x上，求10sin α＋的值． [解析]　设角α的终边上任意一点为P(k，－3k)(k≠0)，则x＝k，y＝－3k，r＝ ＝|k|. (1)当k＞0时，r＝k，α是第四象限角， sin α＝＝＝－， ＝＝＝， 所以10sin α＋＝10×＋3 ＝－3＋3＝0. (2)当k＜0时，r＝－k，α是第二象限角， sin α＝＝＝，＝＝ ＝－， 所以10sin α＋＝10×＋3×(－) ＝3－3＝0. 综上所述，10sin α＋＝0. 在解决有关角的终边在直线上的问题时，应注意到角的终边为射线，所以应分两种情况处理，取射线上异于原点的任意一点的坐标(a，b)，则对应角的三角函数值分别为sin α＝，cos α＝，tan α＝.　 [触类旁通] 1．(2025·四川德阳期末)已知角α的终边过点M(x，1)(x>0)，且cos α＝x，则tan α＝(　　) A． B． C． D． 解析　设r＝|OM|＝， 由三角函数的定义得cos α＝＝＝x，整理可得x2＋1＝3，因为x>0，所以x＝，所以tan α＝＝＝. 答案　D 题型二　三角函数值符号的应用 　(1)若α是第二象限角，则点P(sin α，cos α)在(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 (2)判断下列各式的符号： ①sin 145°cos (－210°)；②sin 3·cos 4·tan 5. [解析]　(1)∵α为第二象限角， ∴sin α＞0，cos α＜0， ∴点P在第四象限，故选D. (2)①∵145°是第二象限角， ∴sin 145°＞0， ∵－210°＝－360°＋150°， ∴－210°是第二象限角， ∴cos (－210°)＜0， ∴sin 145°cos (－210°)＜0. ②∵＜3＜π，π＜4＜π，＜5＜2π， ∴sin 3＞0，cos 4＜0，tan 5＜0， ∴sin 3·cos 4·tan 5＞0. [答案]　(1)D　(2)略 [素养聚焦]　利用三角函数的定义判断三角函数值的符号，关键是判断角所在的象限，体现了逻辑推理核心素养． 三角函数值符号的判断问题 由三角函数值的符号确定α角的终边所在象限问题，应首先依据题目中所有三角函数值的符号来确定角α的终边所在的象限，则它们的公共象限即为所求．　 [触类旁通] 2．(1)已知tan α>0，sin α<0，则角α的终边所在的象限为第 象限．(　　) A．一 B．二 C．三 D．四 (2)(多选题)下列各式的值为正的有(　　) A．sin 310° B．cos (－60°) C．tan 4 D．cos 解析　(1)由tan α>0，sin α<0，则角α的终边所在的象限为第三象限． (2)对选项A，310°为第四象限角，所以sin 310°<0，故A错误； 对选项B，－60°为第四象限角，所以cos (－60°)>0，故B正确； 对选项C，4弧度为第三象限角，所以tan 4>0，故C正确； 对选项D，为第二象限角，所以cos <0，故D错误． 答案　(1)C　(2)BC [缜密思维提能区] 易错辨析 忽视对参数的分类讨论致误 [典例]　角α的终边过点P(－3a，4a)，a≠0，则cos α＝ ． [错解]　因为x＝－3a，y＝4a， 所以r＝＝5a， 于是cos α＝＝－. [错因分析]　错解中，误以为a＞0，没有对a的正负进行分类讨论，导致r求错，从而结果错误． [正解]　由题意，可得 |OP|＝＝5|a|，且a≠0. 当a＞0时，|OP|＝5a，则cos α＝＝－. 当a＜0时，|OP|＝－5a，则cos α＝＝. [答案]　－或 [纠错心得] 在利用三角函数的定义解决问题时，如果终边上一点的坐标中含有参数，那么要注意对其进行分类讨论，以免丢解． 知识落实 技法强化 (1)三角函数的定义及求法． (2)三角函数值在各象限内的符号． (1)本节课应用了由特殊到一般、转化与化归、分类讨论的思想方法． (2)三角函数值的大小只与角的大小有关，与终边上的点无关；正切函数的定义域为. 学科网（北京）股份有限公司 $