第8章 8.1.2 向量数量积的运算律（课件PPT）-【精讲精练】2025-2026学年高中数学必修第三册（人教B版）

该高中数学课件聚焦向量数量积的运算律，通过“问题链”导入：先以具体向量计算实例引导学生发现交换律、数乘结合律，再通过辨析“数量积等式推向量关系”的正误，对比实数运算律，衔接向量数量积定义，构建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于以核心素养为纲，基础自测通过判断、选择强化运算律理解，互动探究设置求模、夹角、平面几何应用等题型提升数学运算与逻辑推理，易错辨析点明“向量无除法”等关键区别深化数学抽象。课堂小结融合知识与技法，学生能结构化掌握，教师可直接用于分层教学，高效落实重难点。

第八章　向量的数量积与三角恒等变换 8.1　向量的数量积 8.1.2　向量数量积的运算律 返回目录 第八章　向量的数量积与三角恒等变换 数学•必修　第三册(配RJB版) 1 返回目录 第八章　向量的数量积与三角恒等变换 数学•必修　第三册(配RJB版) 1 目 录 课前案·自主学习 01 02 CONTENTS 03 课堂案·互动探究 课后案·学业评价 返回目录 第八章　向量的数量积与三角恒等变换 数学•必修　第三册(配RJB版) 1 课前案·自主学习 01 返回目录 第八章　向量的数量积与三角恒等变换 数学•必修　第三册(配RJB版) 1 导学 向量数量积的运算律 返回目录 第八章　向量的数量积与三角恒等变换 数学•必修　第三册(配RJB版) 1 返回目录 第八章　向量的数量积与三角恒等变换 数学•必修　第三册(配RJB版) 1 返回目录 第八章　向量的数量积与三角恒等变换 数学•必修　第三册(配RJB版) 1 a·b＝b·a a·(λb) λ(a·b) a·c＋b·c 返回目录 第八章　向量的数量积与三角恒等变换 数学•必修　第三册(配RJB版) 1 返回目录 第八章　向量的数量积与三角恒等变换 数学•必修　第三册(配RJB版) 1 返回目录 第八章　向量的数量积与三角恒等变换 数学•必修　第三册(配RJB版) 1 返回目录 第八章　向量的数量积与三角恒等变换 数学•必修　第三册(配RJB版) 1 返回目录 第八章　向量的数量积与三角恒等变换 数学•必修　第三册(配RJB版) 1 课堂案·互动探究 02 返回目录 第八章　向量的数量积与三角恒等变换 数学•必修　第三册(配RJB版) 1 返回目录 第八章　向量的数量积与三角恒等变换 数学•必修　第三册(配RJB版) 1 返回目录 第八章　向量的数量积与三角恒等变换 数学•必修　第三册(配RJB版) 1 返回目录 第八章　向量的数量积与三角恒等变换 数学•必修　第三册(配RJB版) 1 返回目录 第八章　向量的数量积与三角恒等变换 数学•必修　第三册(配RJB版) 1 返回目录 第八章　向量的数量积与三角恒等变换 数学•必修　第三册(配RJB版) 1 返回目录 第八章　向量的数量积与三角恒等变换 数学•必修　第三册(配RJB版) 1 返回目录 第八章　向量的数量积与三角恒等变换 数学•必修　第三册(配RJB版) 1 返回目录 第八章　向量的数量积与三角恒等变换 数学•必修　第三册(配RJB版) 1 返回目录 第八章　向量的数量积与三角恒等变换 数学•必修　第三册(配RJB版) 1 返回目录 第八章　向量的数量积与三角恒等变换 数学•必修　第三册(配RJB版) 1 返回目录 第八章　向量的数量积与三角恒等变换 数学•必修　第三册(配RJB版) 1 返回目录 第八章　向量的数量积与三角恒等变换 数学•必修　第三册(配RJB版) 1 返回目录 第八章　向量的数量积与三角恒等变换 数学•必修　第三册(配RJB版) 1 返回目录 第八章　向量的数量积与三角恒等变换 数学•必修　第三册(配RJB版) 1 返回目录 第八章　向量的数量积与三角恒等变换 数学•必修　第三册(配RJB版) 1 返回目录 第八章　向量的数量积与三角恒等变换 数学•必修　第三册(配RJB版) 1 返回目录 第八章　向量的数量积与三角恒等变换 数学•必修　第三册(配RJB版) 1 返回目录 第八章　向量的数量积与三角恒等变换 数学•必修　第三册(配RJB版) 1 返回目录 第八章　向量的数量积与三角恒等变换 数学•必修　第三册(配RJB版) 1 返回目录 第八章　向量的数量积与三角恒等变换 数学•必修　第三册(配RJB版) 1 返回目录 第八章　向量的数量积与三角恒等变换 数学•必修　第三册(配RJB版) 1 返回目录 第八章　向量的数量积与三角恒等变换 数学•必修　第三册(配RJB版) 1 返回目录 第八章　向量的数量积与三角恒等变换 数学•必修　第三册(配RJB版) 1 返回目录 第八章　向量的数量积与三角恒等变换 数学•必修　第三册(配RJB版) 1 点击进入Word 课后案·学业评价 03 返回目录 第八章　向量的数量积与三角恒等变换 数学•必修　第三册(配RJB版) 1 谢谢观看 返回目录 第八章　向量的数量积与三角恒等变换 数学•必修　第三册(配RJB版) 1 学业标准 学科素养 1.掌握平面向量数量积的运算律，以及运算律的适用范围、与实数乘法运算律的区别．(重点) 2．会应用运算律进行相关的计算或证明．(重点、难点) 1.通过学习数量积的运算律，培养数学抽象等核心素养． 2．通过数量积的性质、运算律的应用，提升数学运算、逻辑推理核心素养． 　如图所示，|a|＝|b|＝6，θ＝120°，求a·b，b·a，(2a)·b，a·(2b)的值． [提示]　a·b＝b·a＝18， (2a)·b＝36，a·(2b)＝36， 即(2a)·b＝a·(2b). 　若a，b，c均为非零向量，那么a·b＝b·c⇒a＝c正确吗？ [提示]　不正确． 因为a·b＝b·c(b≠0)表示向量c，a在向量b上投影的数量相等，并不能说明a＝c.如图所示，虽然a·b＝b·c，但a≠c. 　对于向量非零向量a，b，c，(a·b)c＝(b·c)a成立吗？ [提示]　不成立．这是因为(a·b)c表示一个与c共线的向量，而a(b·c)表示一个与a共线的向量，而c与a不一定共线，所以(a·b)c＝a(b·c)未必成立． ◎结论形成 1．向量数量积的运算律 已知向量a，b，c与实数λ，则 交换律 _____________ 结合律 (λa)·b＝__________＝__________ 分配律 (a＋b)·c＝____________ 2.向量数量积的常见运算结论 (1)(a±b)2＝a2±2a·b＋b2. (2)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2. 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)λ(a·b)＝λa·λb.(　　) (2) eq \o(AB,\s\up16(→))· eq \o(AC,\s\up16(→))＋ eq \o(AB,\s\up16(→))· eq \o(CD,\s\up16(→))＝ eq \o(AB,\s\up16(→))·( eq \o(AC,\s\up16(→))＋ eq \o(CD,\s\up16(→)))＝ eq \o(AB,\s\up16(→))· eq \o(AD,\s\up16(→)) .(　　) (3)若(λa)·b＝0，则a⊥b.(　　) (4)|a|2－|b|2＝(a＋b)·(a－b).(　　) 答案　(1)×　(2)√　(3)×　(4)√ 2．已知两个单位向量e1，e2的夹角为θ，则下列结论不正确的是(　　) A.e1在e2方向上的投影为cos θ B．e eq \o\al(2,1)＝e eq \o\al(2,2) C．(e1＋e2)⊥(e1－e2) D．e1·e2＝1 解析　e1·e2＝|e1|·|e2|cos θ＝cos θ.故选D. 答案　D 3．已知单位向量a，b的夹角为60°，则在下列向量中，与b垂直的是(　　) A．a＋2b B．2a＋b C．a－2b D．2a－b 解析　由题意，得a·b＝|a|·|b|cos 60°＝ eq \f(1,2).对于A，(a＋2b)·b＝a·b＋2b2＝ eq \f(1,2)＋2＝ eq \f(5,2)≠0，故A不符合题意；对于B，(2a＋b)·b＝2a·b＋b2＝1＋1＝2≠0，故B不符合题意；对于C，(a－2b)·b＝a·b－2b2＝ eq \f(1,2)－2＝－ eq \f(3,2)≠0，故C不符合题意；对于D，(2a－b)·b＝2a·b－b2＝1－1＝0，所以(2a－b)⊥b.故选D. 答案　D 4．已知向量a，b满足|a|＝2，|b|＝1，a·b＝1，则向量a与(a－b)的夹角为___________． 解析　|a－b|＝ eq \r((a－b)2)＝ eq \r(a2＋b2－2a·b)＝ eq \r(3)， 设向量a与a－b的夹角为θ，则 cos θ＝ eq \f(a·(a－b),|a||a－b|)＝ eq \f(22－1,2×\r(3))＝ eq \f(\r(3),2)， 又θ∈[0，π]，所以θ＝ eq \f(π,6). 答案　 eq \f(π,6) 题型一　向量数量积及向量的模 　(1)设a，b为单位向量，且|a＋b|＝1，则|a－b|＝____________. (2)已知向量a与b夹角为45°，且|a|＝1，|2a＋b|＝ eq \r(10)，则|b|＝_________． (3)已知向量a与b的夹角θ＝120°，且|a|＝4，|b|＝2，求：①(a＋b)2；②a2－b2；③(a－2b)·(a＋b). [解析]　(1)∵a，b为单位向量，且|a＋b|＝1， ∴(a＋b)2＝1. ∴1＋1＋2a·b＝1，∴a·b＝－ eq \f(1,2)，∴|a－b|2＝a2＋b2－2a·b＝1＋1－2× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝3，∴|a－b|＝ eq \r(3). (2)因为|2a＋b|＝ eq \r(10)， 所以(2a＋b)2＝10， 所以4a2＋4a·b＋b2＝10， 又因为向量a与b的夹角为45°且|a|＝1， 所以4|a|2＋4|a||b|cos 45°＋|b|2＝10， 故4×12＋4×1×|b|× eq \f(\r(2),2)＋|b|2＝10， 整理得|b|2＋2 eq \r(2)|b|－6＝0， 解得|b|＝ eq \r(2)或|b|＝－3 eq \r(2)(舍去). (3)①(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2 ＝|a|2＋2a·b＋|b|2＝16－8＋4＝12. ②a2－b2＝|a|2－|b|2＝16－4＝12. ③(a－2b)·(a＋b)＝a2＋a·b－2a·b－2b2 ＝a2－a·b－2b2＝|a|2－a·b－2|b|2 ＝16＋4－8＝12. [答案]　(1) eq \r(3)　(2) eq \r(2)　(3)略 1．已知模、夹角的向量数量积运算 一是注意数量积运算律的应用；二是注意利用向量的加减法合并向量．上述的两个方面都可以起到简化运算的作用． 2．求向量的模的常见思路及方法 (1)求模问题一般转化为求模平方，与向量数量积联系，并灵活应用a2＝|a|2，勿忘记开方； (2)a·a＝a2＝|a|2或|a|＝ eq \r(a2)，此性质可用来求向量的模，可以实现实数运算与向量运算的相互转化．　 [触类旁通] 1．(1)(2025·云南昭通期中)已知单位向量e1，e2的夹角为60°，则 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2e1－e2))·e2＝(　　) A．－2 B．0 C．1 D．2 (2)(2025·山东临沂月考)已知|a|＝2，|b|＝3，|a＋b|＝ eq \r(19)，则|a－b|等于(　　). A． eq \r(7) B． eq \r(13) C． eq \r(15) D． eq \r(17) 解析　(1)因为单位向量e1，e2的夹角为60°， 所以 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2e1－e2))·e2＝2e1·e2－e eq \o\al(2,2)＝2|e1|·|e2|cos 60°－|e2|2＝2×1×1× eq \f(1,2)－12＝0，故选B. (2)因为|a＋b|＝ eq \r(19)，所以 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋b))2＝19，即a2＋2a·b＋b2＝19，所以2a·b＝6，则|a－b|＝ eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－b))2)＝ eq \r(a2－2a·b＋b2)＝ eq \r(4－6＋9)＝ eq \r(7). 答案　(1)B　(2)A 题型二　向量的夹角与垂直问题 eq \a\vs4\al(多维探究) 角度1　求两个向量的夹角 　已知向量a，b满足 eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a))＝2， eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(b))＝ eq \r(2)，a·b＝－2，设a与(a＋b)的夹角为θ，则cos θ＝(　　) A． eq \f(1,2) B．－ eq \f(1,2) C． eq \f(\r(2),2) D．－ eq \f(\r(2),2) [解析]　因为 eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a))＝2， eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(b))＝ eq \r(2)，a·b＝－2， 所以 eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a＋b))＝ eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋b))\s\up12(2))＝ eq \r(a2＋2a·b＋b2)＝ eq \r(22＋2×(－2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(2)))\s\up12(2))＝ eq \r(2)， a· eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋b))＝a2＋a·b＝22－2＝2，所以cos θ＝ eq \f(a·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋b)),\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a))\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a＋b)))＝ eq \f(2,2×\r(2))＝ eq \f(\r(2),2)，故选C. [答案]　C 角度2　与向量垂直有关的问题 　(2024·全国Ⅱ卷)已知向量a，b满足|a|＝1，|a＋2b|＝2，且(b－2a)⊥b，则|b|＝(　　) A． eq \f(1,2) B． eq \f(\r(2),2) C． eq \f(\r(3),2) D．1 [解析]　因为(b－2a)⊥b，所以(b－2a)·b＝0， 即b2＝2a·b， 又因为|a|＝1，|a＋2b|＝2，所以1＋4a·b＋4b2＝1＋6b2＝4，从而|b|＝ eq \f(\r(2),2). [答案]　B 1．求向量夹角在应用数量积的变形公式cos θ＝ eq \f(a·b,|a||b|)时，一般要求两个整体a·b，|a||b|，不方便求出的，可寻求两者关系，转化条件解方程组． 2．非零向量a⊥b⇔a·b＝0是非常重要的性质，它对于解决向量以及平面几何图形中有关垂直问题十分有效，应熟练掌握．　 [触类旁通] 2．(2025·湖南长沙期中)设λ∈R，已知向量a与b的夹角为 eq \f(π,4)，|a|＝2，|b|＝ eq \r(2)，且 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(λb－a))⊥a，则λ＝(　　) A． eq \f(1,2) B． eq \r(2) C．2 D．2 eq \r(2) 解析　由 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(λb－a))⊥a得 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(λb－a))·a＝λb·a－a2＝2× eq \r(2)× eq \f(\r(2),2)λ－4＝0，解得λ＝2. 答案　C 题型三　向量数量积在平面几何中的应用 　[教材例3提升]如图，若D是△ABC内一点，且AB2－AC2＝DB2－DC2.求证：AD⊥BC. [证明]　如图所示，设 eq \o(AB,\s\up16(→))＝a， eq \o(AC,\s\up16(→))＝b， eq \o(AD,\s\up16(→))＝c， eq \o(DC,\s\up16(→))＝d， eq \o(DB,\s\up16(→))＝e， 则a＝c＋e，① b＝c＋d.② ∵AB2－AC2＝DB2－DC2， 即|a|2－|b|2＝|e|2－|d|2， ∴a2－b2＝e2－d2. 将①②代入上式，得(c＋e)2－(c＋d)2＝e2－d2， 即c2＋2c·e＋e2－c2－2c·d－d2＝e2－d2， 得c·(e－d)＝0. 又∵ eq \o(BC,\s\up16(→))＝ eq \o(BD,\s\up16(→))＋ eq \o(DC,\s\up16(→))＝－e＋d＝－(e－d)， ∴ eq \o(AD,\s\up16(→))· eq \o(BC,\s\up16(→))＝c·[－(e－d)]＝－c·(e－d)＝0. ∴ eq \o(AD,\s\up16(→))⊥ eq \o(BC,\s\up16(→))，即AD⊥BC. [素养聚焦]　数量积在平面几何的应用过程中，体现了逻辑推理、数学运算核心素养． 利用向量数量积解决几何问题的步骤 利用向量数量积及运算律解决几何问题一般分为三步：一是选取合适的基底(尽量用已知模或夹角的向量作为基底)，将涉及的向量用基底表示；二是进行向量运算；三是还原为几何结论．　 [触类旁通] 3．四边形ABCD中， eq \o(AB,\s\up16(→))＝a， eq \o(BC,\s\up16(→))＝b， eq \o(CD,\s\up16(→))＝c， eq \o(DA,\s\up16(→))＝d，且a·b＝b·c＝c·d＝d·a，试问四边形ABCD是什么图形？ 解析　四边形ABCD是矩形，这是因为： 一方面：∵a＋b＋c＋d＝0， ∴a＋b＝－(c＋d)，∴(a＋b)2＝(c＋d)2， 即|a|2＋2a·b＋|b|2＝|c|2＋2c·d＋|d|2， 由于a·b＝c·d， ∴|a|2＋|b|2＝|c|2＋|d|2.① 同理有|a|2＋|d|2＝|c|2＋|b|2.② 由①②可得|a|＝|c|，且|b|＝|d|， 即四边形ABCD的两组对边分别相等． ∴四边形ABCD是平行四边形． 另一方面：由a·b＝b·c，有b·(a－c)＝0， 而由平行四边形ABCD可得a＝－c， 代入上式得b·(2a)＝0， 即a·b＝0，∴a⊥b也即AB⊥BC， 综上所述，四边形ABCD是矩形． [缜密思维提能区] 易错辨析 向量数量积的运算律掌握不准致错 [典例]　已知a，b都是非零向量，且(a＋3b)与(7a－5b)垂直，(a－4b)与(7a－2b)垂直．求a与b的夹角． [错解]　由题意，得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1((a＋3b)·(7a－5b)＝0，,(a－4b)·(7a－2b)＝0，)) 即 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(7a2＋16a·b－15b2＝0，①,7a2－30a·b＋8b2＝0.②)) ①－②，得46a·b＝23b2，即2a·b＝b2. 因为b≠0，所以a＝ eq \f(1,2)b， 把它代入②，得a2＝b2，则|a|＝|b|，设a与b的夹角为θ，则cos θ＝ eq \f(a·b,|a||b|)＝ eq \f(\f(1,2)|b|2,|b|2)＝ eq \f(1,2)， 因为0°≤θ≤180°，所以θ＝60°. [错因分析]　在求出2a·b＝b2之前是正确的，此式子说明a·b与 eq \f(1,2)b2是两个相等的数，两边同时约去b，即两边同除以b是错误的，因为向量没有除法，结果正确只是巧合． [正解]　因为a＋3b与7a－5b垂直， 所以(a＋3b)·(7a－5b)＝0， 即7|a|2＋16a·b－15|b|2＝0. 同理由a－4b与7a－2b垂直可得 7|a|2－30a·b＋8|b|2＝0， 则 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(7|a|2＋16a·b－15|b|2＝0，①,7|a|2－30a·b＋8|b|2＝0.②)) ①－②，得46a·b＝23|b|2，所以a·b＝ eq \f(1,2)|b|2， 代入①，得|a|2＝|b|2.所以|a|＝|b|. 设a，b夹角为θ，则cos θ＝ eq \f(a·b,|a||b|)＝ eq \f(\f(1,2)|a|2,|a|2)＝ eq \f(1,2)， 所以θ＝60°. [纠错心得] 实数中的有些运算在向量中是不成立的，求解问题时应注意区分．如|a·b|≠|a||b|；(a·b)2≠a2b2等． 知识落实 技法强化 (1)向量数量积的运算律． (2)利用向量数量积证明垂直，求夹角、模． (1)本节课应用了数形结合、转化与化归的思想方法． (2)注意不要忽视向量数量积不满足结合律． $