第7章 7.2.4 第1课时 角α与α＋k·2π(k∈Z)，－α，π±α的三角函数的关系（课件PPT）-【精讲精练】2025-2026学年高中数学必修第三册（人教B版）

该高中数学课件聚焦三角函数诱导公式，系统讲解角α与α＋k·2π、－α、π±α的三角函数关系。通过“问题-提示”引导学生结合单位圆终边对称分析，连接三角函数定义，构建从具体到抽象的推导支架。 其亮点在于以问题链驱动公式推导培养逻辑推理，题型分层（给角求值、条件求值、化简）提升数学运算，口诀小结强化记忆。如用单位圆交点对称推导-α公式体现数学抽象，助力学生掌握推导与应用，教师可高效开展教学。

第七章　三角函数 7.2.4　诱导公式 第1课时　角α与α＋k·2π(k∈Z)， －α，π±α的三角函数的关系 返回目录 第七章　三角函数 数学•必修　第三册(配RJB版) 1 返回目录 第七章　三角函数 数学•必修　第三册(配RJB版) 1 目 录 课前案·自主学习 01 02 CONTENTS 03 课堂案·互动探究 课后案·学业评价 返回目录 第七章　三角函数 数学•必修　第三册(配RJB版) 1 课前案·自主学习 01 返回目录 第七章　三角函数 数学•必修　第三册(配RJB版) 1 导学1 诱导公式① 返回目录 第七章　三角函数 数学•必修　第三册(配RJB版) 1 sin α cos α tan α 返回目录 第七章　三角函数 数学•必修　第三册(配RJB版) 1 导学2 诱导公式② 返回目录 第七章　三角函数 数学•必修　第三册(配RJB版) 1 －sin α cos α －tan α 返回目录 第七章　三角函数 数学•必修　第三册(配RJB版) 1 导学3 诱导公式③ 返回目录 第七章　三角函数 数学•必修　第三册(配RJB版) 1 sin α －cos α －tan α 返回目录 第七章　三角函数 数学•必修　第三册(配RJB版) 1 导学4 诱导公式④ 返回目录 第七章　三角函数 数学•必修　第三册(配RJB版) 1 －sin α －cos α tan α 返回目录 第七章　三角函数 数学•必修　第三册(配RJB版) 1 返回目录 第七章　三角函数 数学•必修　第三册(配RJB版) 1 返回目录 第七章　三角函数 数学•必修　第三册(配RJB版) 1 返回目录 第七章　三角函数 数学•必修　第三册(配RJB版) 1 返回目录 第七章　三角函数 数学•必修　第三册(配RJB版) 1 课堂案·互动探究 02 返回目录 第七章　三角函数 数学•必修　第三册(配RJB版) 1 返回目录 第七章　三角函数 数学•必修　第三册(配RJB版) 1 返回目录 第七章　三角函数 数学•必修　第三册(配RJB版) 1 返回目录 第七章　三角函数 数学•必修　第三册(配RJB版) 1 返回目录 第七章　三角函数 数学•必修　第三册(配RJB版) 1 返回目录 第七章　三角函数 数学•必修　第三册(配RJB版) 1 返回目录 第七章　三角函数 数学•必修　第三册(配RJB版) 1 返回目录 第七章　三角函数 数学•必修　第三册(配RJB版) 1 返回目录 第七章　三角函数 数学•必修　第三册(配RJB版) 1 返回目录 第七章　三角函数 数学•必修　第三册(配RJB版) 1 返回目录 第七章　三角函数 数学•必修　第三册(配RJB版) 1 返回目录 第七章　三角函数 数学•必修　第三册(配RJB版) 1 返回目录 第七章　三角函数 数学•必修　第三册(配RJB版) 1 返回目录 第七章　三角函数 数学•必修　第三册(配RJB版) 1 返回目录 第七章　三角函数 数学•必修　第三册(配RJB版) 1 返回目录 第七章　三角函数 数学•必修　第三册(配RJB版) 1 返回目录 第七章　三角函数 数学•必修　第三册(配RJB版) 1 返回目录 第七章　三角函数 数学•必修　第三册(配RJB版) 1 返回目录 第七章　三角函数 数学•必修　第三册(配RJB版) 1 返回目录 第七章　三角函数 数学•必修　第三册(配RJB版) 1 返回目录 第七章　三角函数 数学•必修　第三册(配RJB版) 1 返回目录 第七章　三角函数 数学•必修　第三册(配RJB版) 1 返回目录 第七章　三角函数 数学•必修　第三册(配RJB版) 1 返回目录 第七章　三角函数 数学•必修　第三册(配RJB版) 1 点击进入Word 课后案·学业评价 03 返回目录 第七章　三角函数 数学•必修　第三册(配RJB版) 1 谢谢观看 返回目录 第七章　三角函数 数学•必修　第三册(配RJB版) 1 学业标准 学科素养 1.了解三角函数的诱导公式的意义和作用． 2．理解诱导公式的推导过程．(重点) 3．能运用有关诱导公式解决一些三角函数的求值、化简和证明问题．(难点) 1.通过诱导公式的推导，培养数学抽象、逻辑推理等核心素养． 2．通过诱导公式的应用，提升数学运算等核心素养． 　若角α与β的终边相同，根据三角函数的定义，你认为sin α与sin β，cos α与cos β，tan α与tan β之间有什么关系？ ◎结论形成 诱导公式① sin (α＋k·2π)＝__________，(k∈Z) cos (α＋k·2π)＝__________，(k∈Z) tan (α＋k·2π)＝__________，(k∈Z). 　任意角α与－α的终边有怎样的位置关系？它们与单位圆的交点有怎样的位置关系？试用三角函数的定义验证－α与α的三角函数值的关系． [提示]　α与－α的终边关于x轴对称，它们与单位圆的交点P1与P2关于x轴对称，设P1的坐标为(x，y)，则P2的坐标为(x，－y).sin (－α)＝－y＝－sin α，cos (－α)＝x＝cos α，tan (－α)＝－ eq \f(y,x)＝－tan α. ◎结论形成 1．角的旋转对称 角α的终边和角β的终边关于角_______的终边所在的直线对称． 2．诱导公式② sin (－α)＝_______________， cos (－α)＝__________， tan (－α)＝_______________． eq \f(α＋β,2) 　任意角α与π－α的终边有何位置关系？它们与单位圆的交点的位置关系怎样？试用三角函数定义验证α与π－α的各三角函数值的关系． [提示]　α与π－α的终边关于y轴对称，如图所示，设P1(x，y)是α的终边与单位圆的交点，则π－α与单位圆的交点为P2(－x，y)，P1，P2关于y轴对称，由三角函数定义知，sin (π－α)＝y＝sin α，cos (π－α)＝－x＝－cos α，tan (π－α)＝ eq \f(y,－x)＝－tan α. ◎结论形成 诱导公式③ sin (π－α)＝__________， cos (π－α)＝_______________， tan (π－α)＝_______________． 　你能利用诱导公式②③探究角α与π＋α的各三角函数值的关系吗？ [提示]　如cos (π＋α)＝cos [π－(－α)] ＝－cos (－α)＝－cos α. ◎结论形成 诱导公式④ sin (π＋α)＝_______________， cos (π＋α)＝_______________， tan (π＋α)＝__________． 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)诱导公式对任意角都成立．(　　) (2)若cos(π－α)＝ eq \f(1,3)，则cos α＝－ eq \f(1,3).(　　) (3)在△ABC中，sin (A＋B)＝sin C．(　　) (4)函数y＝sin x是奇函数．(　　) 答案　(1)×　(2)√　(3)√　(4)√ 2．已知tan α＝4，则tan (π－α)等于(　　) A.π－4 B．4 C．－4 D．4－π 解析　tan (π－α)＝－tan α＝－4. 答案　C 3．sin 585°的值为(　　) A．－ eq \f(\r(2),2) B． eq \f(\r(2),2) C．－ eq \f(\r(3),2) D． eq \f(\r(3),2) 解析　sin 585°＝sin (360°＋225°) ＝sin (180°＋45°)＝－sin 45°＝－ eq \f(\r(2),2). 答案　A 4．已知sin eq \f(5π,7)＝m，则cos eq \f(2π,7)等于(　　) A．m B．－m C． eq \r(1－m2) D．－ eq \r(1－m2) 解析　cos eq \f(2π,7)＝cos eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π－\f(5π,7)))＝－cos eq \f(5π,7) ＝－ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\r(1－sin2\f(5π,7))))＝ eq \r(1－m2). 答案　C 题型一　给角求值问题 　[教材例1拓展]求下列各三角函数式的值： (1)sin 1320°；(2)cos eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(31π,6)))； (3)tan (－945°). [解析]　(1)解法一　sin 1320°＝sin (3×360°＋240°)＝sin 240°＝sin (180°＋60°) ＝－sin 60°＝－ eq \f(\r(3),2). 解法二　sin 1320°＝sin (4×360°－120°) ＝sin (－120°)＝－sin (180°－60°) ＝－sin 60°＝－ eq \f(\r(3),2). (2)解法一　cos eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(31π,6)))＝cos eq \f(31π,6) ＝cos eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4π＋\f(7π,6)))＝cos eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π＋\f(π,6))) ＝－cos eq \f(π,6)＝－ eq \f(\r(3),2). 解法二　cos eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(31π,6)))＝cos eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－6π＋\f(5π,6))) ＝cos eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π－\f(π,6)))＝－cos eq \f(π,6)＝－ eq \f(\r(3),2). (3)tan (－945°)＝－tan 945° ＝－tan (225°＋2×360°)＝－tan 225° ＝－tan (180°＋45°)＝－tan 45°＝－1. 利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤 (1)负化正：用公式一或三来转化． (2)大化小：用公式一将角化为0°到360°间的角． (3)小化锐：用公式二或四将大于90°的角转化为锐角． (4)锐求值：得到锐角的三角函数后求值．　 [触类旁通] 1．计算：(1)sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(31π,6)))－cos eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(10π,3)))； (2)7cos 270°＋3sin 270°＋tan 765°. 解析　(1)原式＝－sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4π＋\f(7π,6)))－cos eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2π＋\f(4π,3))) ＝－sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π＋\f(π,6)))－cos eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π＋\f(π,3)))＝sin eq \f(π,6)＋cos eq \f(π,3)＝ eq \f(1,2)＋ eq \f(1,2)＝1. (2)原式＝7cos eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(180°＋90°))＋3sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(180°＋90°))＋tan eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2×360°＋45°)) ＝－7cos 90°－3sin 90°＋tan 45°＝0－3＋1＝－2. 题型二　给值(式)求值问题 eq \a\vs4\al(一题多变) 　(1)已知sin (α－360°)－cos (180°－α)＝m，则sin (180°＋α)·cos (180°－α)等于(　　) A． eq \f(m2－1,2) B． eq \f(m2＋1,2) C． eq \f(1－m2,2) D．－ eq \f(m2＋1,2) (2)已知cos eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－α))＝ eq \f(\r(3),3)，求cos eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)＋α))－sin2 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,6)))的值． [解析]　(1)sin (α－360°)－cos (180°－α)＝m， 所以sin α＋cos α＝m， 而sin (180°＋α)·cos (180°－α) ＝(－sin α)·(－cos α)＝sin αcos α ＝ eq \f((sin α＋cos α)2－1,2)＝ eq \f(m2－1,2). (2)因为cos eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)＋α))＝cos eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(π－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－α)))) ＝－cos eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－α))＝－ eq \f(\r(3),3)， sin2 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,6)))＝sin2 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－α))＝1－cos2 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－α)) ＝1－ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3))) eq \s\up12(2)＝ eq \f(2,3)， 所以cos eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)＋α))－sin2 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,6)))＝－ eq \f(\r(3),3)－ eq \f(2,3) ＝－ eq \f(2＋\r(3),3). [答案]　(1)A　(2)略 [母题变式] 1．(变条件、变结论)将例2(2)题中的“－”改为“＋”，“＋”改为“－”，其他不变，应如何解答？ 解析　由题意，知题目变为cos eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋α))＝ eq \f(\r(3),3)， 求cos eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)－α))＋sin2 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)))的值． 因为cos eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)－α))＝cos eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(π－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋α)))) ＝－cos eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋α))＝－ eq \f(\r(3),3)， sin2 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)))＝1－cos2 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋α)) ＝1－ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3))) eq \s\up12(2)＝ eq \f(2,3)， 所以cos eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)－α))＋sin2 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)))＝－ eq \f(\r(3),3)＋ eq \f(2,3) ＝－ eq \f(\r(3)＋2,3). 2．(变结论)例2(2)题中的条件不变，求cos eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7π,6)－α))－sin2 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(13π,6)))的值． 解析　cos eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7π,6)－α))－sin2 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(13π,6))) ＝cos eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(π＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－α))))－sin2 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,6)))－2π)) ＝－cos eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－α))－sin2 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－α)) ＝－ eq \f(\r(3),3)－ eq \f(2,3)＝－ eq \f(\r(3)＋2,3). 解决条件求值问题的策略 (1)解决条件求值问题，首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系． (2)可以将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化．　 [触类旁通] 2．已知cos (α－75°)＝－ eq \f(1,3)，且α为第四象限角，求sin (105°＋α)的值． 解析　∵cos (α－75°)＝－ eq \f(1,3)<0，且α为第四象限角， ∴sin (α－75°)＝－ eq \r(1－cos2(α－75°))＝－ eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)))\s\up12(2))＝－ eq \f(2\r(2),3)， ∴sin(105°＋α)＝sin [180°＋(α－75°)]＝－sin (α－75°)＝ eq \f(2\r(2),3). 题型三　三角函数式的化简问题 　[教材例5拓展]化简： (1) eq \f(sin (180°－α),sin (180°＋α))＋ eq \f(cos (360°－α),cos (180°＋α))＋ eq \f(tan (180°＋α),tan (－α))； (2) eq \f(sin (π－α),cos (π＋α))· eq \f(sin (2π－α),tan (π＋α)). [解析]　(1) eq \f(sin (180°－α),sin (180°＋α))＋ eq \f(cos (360°－α),cos (180°＋α))＋ eq \f(tan (180°＋α),tan (－α))＝ eq \f(sin α,－sin α)＋ eq \f(cos α,－cos α)＋ eq \f(tan α,－tan α)＝－3. (2) eq \f(sin (π－α),cos (π＋α))· eq \f(sin (2π－α),tan (π＋α))＝ eq \f(sin α,－cos α)· eq \f(－sin α,tan α)＝ eq \f(sin α,－cos α)· eq \f(－sin α,\f(sin α,cos α))＝sin α. 三角函数式的化简方法 (1)利用诱导公式，将任意角的三角函数转化为锐角的三角函数． (2)常用“弦化切”法，即表达式中的弦函数通常化为切函数． (3)注意“1”的变式应用：如1＝sin2α＋cos2α＝tan eq \f(π,4).　 [触类旁通] 3．(1)若 eq \f(sin (π－θ)＋cos (θ－2π),sin θ＋cos (π＋θ))＝ eq \f(1,2)，则tan θ等于(　　) A． eq \f(1,3) B．－ eq \f(1,3) C．－3 D．3 (2)化简： eq \f(cos (5π＋α),sin (－3π－α))·tan (π＋α)＝____________________． 解析　(1) eq \f(sin (π－θ)＋cos (θ－2π),sin θ＋cos (π＋θ))＝ eq \f(sin θ＋cos θ,sin θ－cos θ)＝ eq \f(1,2)，分子分母同除以cos θ，得 eq \f(tan θ＋1,tan θ－1)＝ eq \f(1,2)， 解得tan θ＝－3. (2)原式＝ eq \f(cos (π＋α),－sin (π＋α))·tan α＝ eq \f(－cos α,sin α)· eq \f(sin α,cos α)＝－1. 答案　(1)C　(2)－1 [缜密思维提能区] 规范答题 分类讨论思想在三角函数化简中的应用 [典例]　(13分)化简sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4k－1,4)π－α))＋cos eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4k＋1,4)π＋α))，k∈Z. [规范解答]　原式＝sin eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(kπ－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α))))＋ cos eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(kπ＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α)))).(3分) ①当k为奇数时， 设k＝2n＋1(n∈Z)，则 原式＝sin eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1((2n＋1)π－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α))))＋cos eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1((2n＋1)π＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α)))) ＝sin eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2nπ＋π－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α))))＋cos eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2nπ＋π＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α)))) ＝sin eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(π－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α))))＋cos eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(π＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α))))(8分) ＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α))－cos eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α)).(10分) ②当k为偶数时，设k＝2n(n∈Z)，则 原式＝sin eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2nπ－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α))))＋cos eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2nπ＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α)))) ＝－sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α))＋cos eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α)).(13分) [纠错心得] 1．在化简三角函数式时，首先要细心观察所要化简的角之间有何联系，找出它们的内在关系，由此转化为利用公式进行化简． 2．若含有参数时，要注意是否需进行分情况讨论． 3．在解答题中要注意答题的规范性和完整性． 知识落实 技法强化 (1)特殊关系角的终边对称性． (2)诱导公式①②③④. (1)记忆本节课的诱导公式的口诀是：函数名不变，符号看象限． (2)利用诱导公式要特别注意三角函数值符号的确定． $