第7章 7.2.3 同角三角函数的基本关系式（课件PPT）-【精讲精练】2025-2026学年高中数学必修第三册（人教B版）

该高中数学课件围绕“同角三角函数的基本关系式”展开，通过课前案自主学习梳理教材、导学引入，衔接三角函数定义与新关系，为学生搭建从已知到未知的学习支架，课堂案互动探究深化理解，形成完整学习链。 其亮点在于分阶段设计与思维引导，课前自主抽象关系培养数学眼光，课中互动探究结合答案及失分警示（如分类讨论漏情况扣分），强化数学思维的严谨性。分层递进的教学方法帮助学生构建知识体系，教师可高效开展教学，提升学生推理与应用能力。

第七章　三角函数 7.2　任意角的三角函数 7.2.3　同角三角函数的基本关系式 返回目录 第七章　三角函数 数学•必修　第三册(配RJB版) 1 返回目录 第七章　三角函数 数学•必修　第三册(配RJB版) 1 目 录 课前案·自主学习 01 02 CONTENTS 03 课堂案·互动探究 课后案·学业评价 返回目录 第七章　三角函数 数学•必修　第三册(配RJB版) 1 课前案·自主学习 01 返回目录 第七章　三角函数 数学•必修　第三册(配RJB版) 1 导学 同角三角函数的基本关系 返回目录 第七章　三角函数 数学•必修　第三册(配RJB版) 1 返回目录 第七章　三角函数 数学•必修　第三册(配RJB版) 1 R 返回目录 第七章　三角函数 数学•必修　第三册(配RJB版) 1 1±2sin αcos α 返回目录 第七章　三角函数 数学•必修　第三册(配RJB版) 1 返回目录 第七章　三角函数 数学•必修　第三册(配RJB版) 1 返回目录 第七章　三角函数 数学•必修　第三册(配RJB版) 1 返回目录 第七章　三角函数 数学•必修　第三册(配RJB版) 1 返回目录 第七章　三角函数 数学•必修　第三册(配RJB版) 1 返回目录 第七章　三角函数 数学•必修　第三册(配RJB版) 1 返回目录 第七章　三角函数 数学•必修　第三册(配RJB版) 1 课堂案·互动探究 02 返回目录 第七章　三角函数 数学•必修　第三册(配RJB版) 1 返回目录 第七章　三角函数 数学•必修　第三册(配RJB版) 1 返回目录 第七章　三角函数 数学•必修　第三册(配RJB版) 1 返回目录 第七章　三角函数 数学•必修　第三册(配RJB版) 1 返回目录 第七章　三角函数 数学•必修　第三册(配RJB版) 1 返回目录 第七章　三角函数 数学•必修　第三册(配RJB版) 1 返回目录 第七章　三角函数 数学•必修　第三册(配RJB版) 1 返回目录 第七章　三角函数 数学•必修　第三册(配RJB版) 1 返回目录 第七章　三角函数 数学•必修　第三册(配RJB版) 1 返回目录 第七章　三角函数 数学•必修　第三册(配RJB版) 1 返回目录 第七章　三角函数 数学•必修　第三册(配RJB版) 1 返回目录 第七章　三角函数 数学•必修　第三册(配RJB版) 1 返回目录 第七章　三角函数 数学•必修　第三册(配RJB版) 1 返回目录 第七章　三角函数 数学•必修　第三册(配RJB版) 1 返回目录 第七章　三角函数 数学•必修　第三册(配RJB版) 1 返回目录 第七章　三角函数 数学•必修　第三册(配RJB版) 1 返回目录 第七章　三角函数 数学•必修　第三册(配RJB版) 1 返回目录 第七章　三角函数 数学•必修　第三册(配RJB版) 1 返回目录 第七章　三角函数 数学•必修　第三册(配RJB版) 1 返回目录 第七章　三角函数 数学•必修　第三册(配RJB版) 1 返回目录 第七章　三角函数 数学•必修　第三册(配RJB版) 1 返回目录 第七章　三角函数 数学•必修　第三册(配RJB版) 1 返回目录 第七章　三角函数 数学•必修　第三册(配RJB版) 1 点击进入Word 课后案·学业评价 03 返回目录 第七章　三角函数 数学•必修　第三册(配RJB版) 1 谢谢观看 返回目录 第七章　三角函数 数学•必修　第三册(配RJB版) 1 学业标准 学科素养 1.理解并掌握同角三角函数的基本关系．(难点) 2．会用同角三角函数的基本关系进行三角函数式的求值、化简和证明．(重点、难点) 1.通过推导同角三角函数的基本关系，培养逻辑推理等核心素养． 2．通过同角三角函数基本关系的应用，提升数学运算等核心素养． 　已知角α终边上一点P(－3，－4). (1)求sin α，cos α，tan α的值． (2)计算sin2α＋cos2α， eq \f(sinα,cos α)的值． (3)是否对任意角α都有sin2α＋cos2α＝1， eq \f(sinα,cos α)＝tan α eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α≠kπ＋\f(π,2)，k∈Z))成立？若成立，试证明． [提示]　(1)sin α＝－ eq \f(4,5)，cos α＝－ eq \f(3,5)，tan α＝ eq \f(4,3). (2)1； eq \f(4,3) (3)是．利用三角函数定义证明(略). ◎结论形成 1．同角三角函数的基本关系式成立的条件 当α∈___时，sin2α＋cos2α＝1成立； 当α≠___________________时， eq \f(sinα,cos α)＝tan α成立． kπ＋ eq \f(π,2)，k∈Z 2．关系式的变形 sin2α＋cos2α＝1⇒ eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(sin2α＝1－cos2α；,cos2α＝1－sin2α；,sinα＝______________；,cosα＝±\r(1－sin2α)；,(sinα±cos α)2＝____________________Ｗ．)) tan α＝ eq \f(sin α,cos α)⇒ eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(sin α＝tan αcos α；,cos α＝\f(sin α,tan α)．)) [点拨]　 对同角三角函数基本关系式的理解 (1)注意“同角”，这里“同角”有两层含义，一是“角相同”，二是对“任意”一个角(在使函数有意义的前提下)关系式都成立，即与角的表达形式无关，如sin23α＋cos23α＝1成立，但是sin2α＋cos2β＝1就不一定成立． (2)sin2α是(sinα)2的简写，读作“sin α的平方”，不能将sin2α写成sinα2，前者是α的正弦的平方，后者是α2的正弦，两者是不同的，要弄清它们的区别，并能正确书写． 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)sin2 20°＋cos2 20°＝1.(　　) (2)对任意的角α，都有tan α＝ eq \f(sin α,cos α)成立．(　　) (3)sin2α＋cos2β＝1.(　　) (4)若cos α＝ eq \f(1,2)，则sin α＝ eq \f(\r(3),2).(　　) 答案　(1)√　(2)×　(3)×　(4)× 2．下列等式中恒成立的个数为(　　) ①sin21＝1－cos21； ②sin2α＋cos2α＝sin23＋cos23； ③sin α＝tan αcos α eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α≠\f(π,2)＋kπ，k∈Z)). A．1 B．2 C．3 D．0 答案　C 3．已知α∈ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，且sin α＝ eq \f(3,5)，则tan α＝(　　) A． eq \f(3,4) B．－ eq \f(3,4) C． eq \f(4,3) D．－ eq \f(4,3) 解析　由sin α＝ eq \f(3,5)，α∈ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))得 cos α＝－ eq \r(1－sin2α)＝－ eq \f(4,5)， 所以tanα＝ eq \f(sin α,cos α)＝－ eq \f(3,4)，故选B. 答案　B 4．已知sin α＝ eq \f(1,3)，tan α＝－ eq \f(\r(2),4)，则cos α值为_________． 解析　cos α＝ eq \f(sin α,tan α)＝ eq \f(1,3)÷ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2),4)))＝－ eq \f(2\r(2),3). 答案　－ eq \f(2\r(2),3) 题型一　利用同角三角函数的基本关系式求值 eq \a\vs4\al(多维探究) 角度1　已知一个角的三角函数值，求该角的其他三角函数值 　[教材例1提升](1)已知α是第二象限角，且cos α＝－ eq \f(12,13)，则tan α的值是(　　) A． eq \f(12,13) B．－ eq \f(12,13) C． eq \f(5,12) D．－ eq \f(5,12) (2)已知tan α＝－ eq \f(15,8)，则sin α的值为____________________． [解析]　(1)∵α为第二象限角， ∴sin α＝ eq \r(1－cos2α)＝ eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(12,13)))\s\up12(2))＝ eq \f(5,13)， ∴tanα＝ eq \f(sin α,cos α)＝ eq \f(\f(5,13),－\f(12,13))＝－ eq \f(5,12). (2)∵tan α＝－ eq \f(15,8)，∴ eq \f(sin2α,cos2α)＝ eq \f(225,64)， 即 eq \f(sin2α,1－sin2α)＝ eq \f(72,242)，解得sinα＝± eq \f(15,17). [答案]　(1)D　(2)± eq \f(15,17) 已知角的一个三角函数值求其他 三角函数值的方法 (1)已知角α的某一种三角函数值，求角α的其余三角函数值，要注意公式的合理选择，一般是先选用平方关系，再用商数关系． (2)若角α所在的象限已经确定，求另两种三角函数值时，只有一组结果；若角α所在的象限不确定，应分类讨论，有两组结果．　 角度2　已知tan α，求关于sin α和cos α齐次式的值 　(1)已知tan α＝2，则 eq \f(2sin α＋3cos α,sin α－cos α)＝(　　) A．－2 B．3 C．6 D．7 (2)已知 eq \f(sin α＋3cos α,2cos α－sin α)＝2，则cos 2α＋sin αcos α＝(　　) A． eq \f(6,5) B． eq \f(3,5) C． eq \f(2,5) D．－ eq \f(3,5) [解析]　(1)因为tan α＝2，所以 eq \f(2sin α＋3cos α,sin α－cos α)＝ eq \f(2tan α＋3,tan α－1)＝ eq \f(2×2＋3,2－1)＝7，故选D. (2)∵ eq \f(sin α＋3cos α,2cos α－sin α)＝ eq \f(tan α＋3,2－tan α)＝2，∴tan α＝ eq \f(1,3)， 则cos2α＋sinαcos α＝ eq \f(cos2α＋sinαcos α,cos2α＋sin2α)＝ eq \f(1＋tanα,1＋tan2α)＝ eq \f(6,5). [素养聚焦]　在本例中，通过利用三角函数基本关系求三角函数值的计算，培养数学运算核心素养． 已知角α的正切求关于sinα，cos α 的齐次式的方法 (1)关于sin α，cos α的齐次式就是式子中的每一项都是关于sin α，cos α的式子且它们的次数相同，设为n次，将分子分母同除以cos α的n次幂，其式子可化为关于tan α的式子，再代入求值． (2)若无分母时，把分母看作1，并将1用sin2α＋cos2α来代换，将分子、分母同除以cos2α，可化为关于tanα的式子，再代入求值．　 [触类旁通] 1．(1)已知tan α＝－ eq \f(3,4)，且α为第二象限角，则cos α＝(　　) A．－ eq \f(4,5) B． eq \f(4,5) C．－ eq \f(3,5) D． eq \f(3,5) (2)(2025·吉林长春期末)已知tan α＝4，则 eq \f(3sin α＋2cos α,sin α－2cos α)的值为_______. 解析　(1)因为tan α＝－ eq \f(3,4)，所以sin α＝－ eq \f(3,4)cos α， 又sin2α＋cos2α＝1，所以 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,4)cosα))2＋cos2α＝1， 所以cos2α＝ eq \f(16,25)，又α为第二象限角， 所以cosα＝－ eq \f(4,5). (2)原式分子分母同时除以cos α得 eq \f(3sin α＋2cos α,sin α－2cos α)＝ eq \f(3tan α＋2,tan α－2)＝ eq \f(3×4＋2,4－2)＝7. 答案　(1)A　(2)7 题型二　三角函数式的化简与证明 　(1)化简：sin2αtanα＋ eq \f(cos2α,tanα)＋2sin αcos α； (2)已知tan2α＝2tan2β＋1，求证：sin2β＝2sin2α－1. [解析]　(1)原式 ＝sin2α· eq \f(sinα,cos α)＋cos2α· eq \f(cosα,sin α)＋2sin αcos α ＝ eq \f(sin 4α＋cos 4α＋2sin2αcos2α,sinαcos α) ＝ eq \f((sin2α＋cos2α)2,sinαcos α)＝ eq \f(1,sin αcos α). (2)证明　因为tan2α＝2tan2β＋1， 所以tan2α＋1＝2tan2β＋2， 所以 eq \f(sin2α,cos2α)＋1＝2 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(sin2β,cos2β)＋1))， 通分可得 eq \f(1,cos2α)＝ eq \f(2,cos2β)， 即cos2β＝2cos2α，所以1－sin2β＝2(1－sin2α)， 即sin2β＝2sin2α－1. 1．证明恒等式常用的思路是①从一边证到另一边，一般由繁到简；②两边“凑”，即证左边、右边都等于第三者；③比较法(作差、作比法). 2．常用的技巧有①巧用“1”的代换；②化切为弦；③多项式运算技巧的应用(分解因式). 3．解决此类问题要有整体代换思想．　 [触类旁通] 2．求证： eq \f(1－2sinx cos x,cos2x－sin2x)＝ eq \f(1－tanx,1＋tan x). 证明　左边＝ eq \f(cos2x＋sin2x－2sinx cos x,cos2x－sin2x) ＝ eq \f((cosx－sin x)2,(cos x－sin x)(cos x＋sin x)) ＝ eq \f(cos x－sin x,cos x＋sin x)＝ eq \f(1－tan x,1＋tan x)＝右边． 题型三　sin α±cos α与sin α·cos α之间关系的应用 　(多选题)(2025·江苏徐州月考)已知α∈(0，π)，且sin α＋cos α＝ eq \f(1,5)，则(　　) A． eq \f(π,2)<α<π B．sin αcos α＝－ eq \f(12,25) C．cos α－sin α＝ eq \f(7,5) D．cos α－sin α＝－ eq \f(7,5) [解析]　对A，B，由题意 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin α＋cos α))2＝ eq \f(1,25)， 即 1＋2sin αcos α＝ eq \f(1,25)， 故sin αcos α＝－ eq \f(12,25)，故B正确； 因为α∈(0，π)，故sin α>0，cos α<0，则 eq \f(π,2)<α<π，故A正确； 对C，D， eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos α－sin α))2＝1－2sin αcos α＝ eq \f(49,25)，因为 eq \f(π,2)<α<π，故cos α－sin α＝－ eq \f(7,5)，故C错误，D正确． [答案]　ABD 1．sin α＋cos α，sin α－cos α，sin αcos α三个式子中，已知其中一个，可以求其他两个，即“知一求二”，它们之间的关系是(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α. 2．求sin α＋cos α或sin α－cos α的值，要注意根据角的终边位置，利用三角函数线判断它们的符号．　 [触类旁通] 3．(2025·江苏淮安月考)若 eq \f(sin α－2cos α,sin α－3cos α)＝ eq \f(3,2)，则sin2α－cos2α＝(　　) A．－5 B．5 C． eq \f(12,13) D．－ eq \f(12,13) 解析　因为 eq \f(sinα－2cos α,sin α－3cos α)＝ eq \f(\f(sin α－2cos α,cos α),\f(sin α－3cos α,cos α))＝ eq \f(tan α－2,tan α－3)＝ eq \f(3,2)，解得tan α＝5，因此，sin2α－cos2α＝ eq \f(sin2α－cos2α,sin2α＋cos2α)＝ eq \f(\f(sin2α－cos2α,cos2α),\f(sin2α＋cos2α,cos2α))＝ eq \f(tan2α－1,tan2α＋1)＝ eq \f(25－1,25＋1)＝ eq \f(12,13). 答案　C [缜密思维提能区] 规范答题 忽视角的取值范围致误 [典例]　(13分)若sinA＝ eq \f(4,5)，且A是三角形的一个内角，求 eq \f(5sin A＋8,15cos A－7)的值． [规范解答]　因为sin A＝ eq \f(4,5)，A∈(0，π)，(1分) 所以cos A＝± eq \r(1－sin2A)＝± eq \f(3,5).(5分) 当cosA＝ eq \f(3,5)时， eq \f(5sin A＋8,15cos A－7)＝ eq \f(5×\f(4,5)＋8,15×\f(3,5)－7)＝6；(9分) 当cos A＝－ eq \f(3,5)时， eq \f(5sin A＋8,5cos A－7)＝ eq \f(5×\f(4,5)＋8,15×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(－3,5)))－7)＝－ eq \f(3,4).(13分) [纠错心得] 1．在解题过程中要充分利用题中的条件，判断出所需要的符号． 2．要明确三角函数在每个象限内的符号，要记准并应用熟练． 3．解答题中的最后答案要准确、完整并且规范． 知识落实 技法强化 (1)同角三角函数的基本关系式． (2)利用同角三角函数的基本关系式求值、化简与证明． (1)本节课应用了由部分到整体、整体代换的思想方法． (2)求值时注意α的范围，如果无法确定，一定要对α所在的象限进行分类讨论． $