第7章 7.1.2 弧度制及其与角度制的换算（课件PPT）-【精讲精练】2025-2026学年高中数学必修第三册（人教B版）

该高中数学课件聚焦“弧度制及其与角度制的换算”，涵盖弧度制概念、换算关系及弧长与面积公式。通过课前案自主学习梳理1弧度定义（半径长弧所对圆心角）、换算关键值（0、2π等）及公式（αr），为课堂互动探究搭建“自主预习-概念建构-应用准备”的学习支架。 其亮点在于以核心素养为统领，采用“三段式”结构。课前案引导学生用数学眼光抽象弧度制本质，如从弧长与半径关系提炼1弧度定义；课堂案互动探究培养数学思维，通过换算推理深化逻辑认知；课后案学业评价支持用数学语言表达，如弧长公式αr的应用。学生可分层递进学习，教师能依托结构化资料提升教学效率。

第七章　三角函数 7.1　任意角的概念与弧度制 7.1.2　弧度制及其与角度制的换算 返回目录 第七章　三角函数 数学•必修　第三册(配RJB版) 1 返回目录 第七章　三角函数 数学•必修　第三册(配RJB版) 1 目 录 课前案·自主学习 01 02 CONTENTS 03 课堂案·互动探究 课后案·学业评价 返回目录 第七章　三角函数 数学•必修　第三册(配RJB版) 1 课前案·自主学习 01 返回目录 第七章　三角函数 数学•必修　第三册(配RJB版) 1 导学1 弧度制 返回目录 第七章　三角函数 数学•必修　第三册(配RJB版) 1 半径长 圆心角 弧度 返回目录 第七章　三角函数 数学•必修　第三册(配RJB版) 1 导学2 弧度制与角度制的换算 返回目录 第七章　三角函数 数学•必修　第三册(配RJB版) 1 0 2π 正 负 零 返回目录 第七章　三角函数 数学•必修　第三册(配RJB版) 1 导学3 弧度制下弧长与面积公式 返回目录 第七章　三角函数 数学•必修　第三册(配RJB版) 1 αr 返回目录 第七章　三角函数 数学•必修　第三册(配RJB版) 1 返回目录 第七章　三角函数 数学•必修　第三册(配RJB版) 1 返回目录 第七章　三角函数 数学•必修　第三册(配RJB版) 1 返回目录 第七章　三角函数 数学•必修　第三册(配RJB版) 1 返回目录 第七章　三角函数 数学•必修　第三册(配RJB版) 1 课堂案·互动探究 02 返回目录 第七章　三角函数 数学•必修　第三册(配RJB版) 1 返回目录 第七章　三角函数 数学•必修　第三册(配RJB版) 1 返回目录 第七章　三角函数 数学•必修　第三册(配RJB版) 1 返回目录 第七章　三角函数 数学•必修　第三册(配RJB版) 1 返回目录 第七章　三角函数 数学•必修　第三册(配RJB版) 1 返回目录 第七章　三角函数 数学•必修　第三册(配RJB版) 1 返回目录 第七章　三角函数 数学•必修　第三册(配RJB版) 1 返回目录 第七章　三角函数 数学•必修　第三册(配RJB版) 1 返回目录 第七章　三角函数 数学•必修　第三册(配RJB版) 1 返回目录 第七章　三角函数 数学•必修　第三册(配RJB版) 1 返回目录 第七章　三角函数 数学•必修　第三册(配RJB版) 1 返回目录 第七章　三角函数 数学•必修　第三册(配RJB版) 1 返回目录 第七章　三角函数 数学•必修　第三册(配RJB版) 1 返回目录 第七章　三角函数 数学•必修　第三册(配RJB版) 1 返回目录 第七章　三角函数 数学•必修　第三册(配RJB版) 1 返回目录 第七章　三角函数 数学•必修　第三册(配RJB版) 1 返回目录 第七章　三角函数 数学•必修　第三册(配RJB版) 1 返回目录 第七章　三角函数 数学•必修　第三册(配RJB版) 1 返回目录 第七章　三角函数 数学•必修　第三册(配RJB版) 1 返回目录 第七章　三角函数 数学•必修　第三册(配RJB版) 1 点击进入Word 课后案·学业评价 03 返回目录 第七章　三角函数 数学•必修　第三册(配RJB版) 1 谢谢观看 返回目录 第七章　三角函数 数学•必修　第三册(配RJB版) 1 学业标准 学科素养 1.理解1弧度角的定义，了解弧度制的概念．(难点) 2．能进行角度与弧度之间的互化．(重点) 3．掌握弧度制下弧长与面积公式，能应用公式解决问题． 1.通过弧度制概念的学习，培养数学抽象等核心素养． 2．通过弧度制与角度制的互化，提升数学运算、逻辑推理等核心素养． 　在平面几何中，1°的角是怎样定义的？ [提示]　将圆周分成360等份，每一段圆弧所对的圆心角就是1°的角． 　长度等于半径长的弧所对的圆心角有多大？是否有其他单位制来度量该角？ ◎结论形成 1．1弧度的角：长度等于________的圆弧所对的________为1弧度的角，记作1 rad. 2．弧度制：以_____为单位来度量角的制度． [点拨]　 用弧度制表示角时“弧度”二字或rad可以略去不写，而只写这个角对应的弧度数． 　角度制和弧度制都是度量角的单位制，它们之间如何进行换算呢？ [提示]　由360°＝2π弧度，即180°＝π弧度． eq \f(π,4) eq \f(π,3) eq \f(π,2) eq \f(2π,3) eq \f(3π,4) ◎结论形成 1．弧度制与角度制的换算 设一个角的角度数为n，弧度数为α，则 eq \f(n,180)＝___． 2．一些特殊角与弧度数的对应关系 度 0° 1° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 270° 360° 弧度 ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ _____ 3.由弧度制与角度制的换算公式不难得到正角的弧度数是___数，负数的弧度数是___数，零角的弧度数是___． eq \f(5π,6) π eq \f(3π,2) eq \f(α,π) eq \f(π,180) eq \f(π,6) 　在弧度制下，弧长公式和扇形面积公式可以写成什么形式？你能推导吗？ [提示]　弧长公式：由公式α＝ eq \f(l,r)及0＜α＜2π可得l＝α·r；扇形面积公式：S＝ eq \f(1,2)lr. 设扇形的圆心角为α rad，则扇形的面积为 S＝ eq \f(α,2π)·πr2＝ eq \f(1,2)αr2. 又因为l＝αr，所以S＝ eq \f(1,2)lr. ◎结论形成 设扇形的半径为r，弧长为l，α为其圆心角，则 α为度数 α为弧度数 扇形的弧长 l＝ eq \f(απr,180°) l＝_____ 扇形的面积 S＝ eq \f(απr2,360°) S＝_____＝______ eq \f(1,2)lr eq \f(1,2)αr2 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)1弧度就是1°的圆心角所对的弧．(　　) (2)“1弧度的角”的大小和所在圆的半径大小无关．(　　) (3)160°化为弧度制是 eq \f(8,9)π rad.(　　) (4)1 rad的角比1°的角要大．(　　) 答案　(1)×　(2)√　(3)√　(4)√ 2．1920°的角化为弧度数为(　　) A． eq \f(16,3)　　　 B． eq \f(32,3) C． eq \f(16,3)π　　　 D． eq \f(32,3)π 解析　设1920°的弧度数为α， 则 eq \f(α,π)＝ eq \f(1920°,180°)， ∴α＝ eq \f(32π,3)，故选D. 答案　D 3．下列角中，终边在y轴正半轴上的角是(　　) A． eq \f(π,4)　　　 B．－ eq \f(π,2) C．π　　　 D．－ eq \f(3,2)π 答案　D 4．在半径为8 cm的圆中， eq \f(5π,3)的圆心角所对的弧长为(　　) A． eq \f(40,3)π cm B． eq \f(20,3)π cm C． eq \f(200,3)π cm D． eq \f(400,3)π cm 答案　A 题型一　弧度与角度的互化 　(1)把下列角度化成弧度或弧度化成角度： ①72°；②－300°；③2；④－ eq \f(2π,9). (2)已知α＝15°，β＝ eq \f(π,10)，γ＝1，θ＝105°，试比较α，β，γ，θ的大小． [解析]　(1)①设72°＝α，则 eq \f(α,π)＝ eq \f(72,180)， ∴α＝ eq \f(2π,5)，即72°＝ eq \f(2π,5). ②设－300°＝α，则 eq \f(α,π)＝ eq \f(－300,180)， ∴α＝－ eq \f(5π,3)，即－300°＝－ eq \f(5π,3) ③设2＝n°，则 eq \f(2,π)＝ eq \f(n,180)，∴n＝ eq \f(360,π)，即2＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(360,π)))° ④设－ eq \f(2π,9)＝n°，则 eq \f(－\f(2π,9),π)＝ eq \f(n,180)， ∴n＝－40，即－ eq \f(2π,9)＝－40°. (2)α＝15°＝15× eq \f(π,180)＝ eq \f(π,12)， θ＝105°＝105× eq \f(π,180)＝ eq \f(7π,12). 故α＜β＜γ＜θ. [素养聚焦]　利用弧度制与角度制引起的计算，把数学运算等核心素养体现在解题过程中． 弧度与角度的互化技巧 将角度转化为弧度时，要把带有分、秒的部分化为度之后，牢记π rad＝180°即可求解．把弧度转化为角度时，直接用弧度数乘以 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))°即可.　 [触类旁通] 1．(多选题)(2025·河南新乡月考)下列说法正确的是(　　) A．100°化成弧度是 eq \f(5,9)π rad B． eq \f(π,90) rad化成角度是2° C．－420°化成弧度是－ eq \f(5,2) rad D．－ eq \f(3,4)π rad化成角度是－75° 解析　对于A，100°＝100× eq \f(π,180) rad＝ eq \f(5,9)π rad，故A项正确； 对于B， eq \f(π,90) rad＝ eq \f(π,90)× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))°＝2°，故B项正确； 对于C，－420°＝－420× eq \f(π,180) rad＝－ eq \f(7π,3) rad，故C项错误； 对于D，－ eq \f(3,4)π rad＝－ eq \f(3,4)π× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))°＝－135°，故D项错误． 答案　AB 题型二　用弧度制表示终边相同的角 eq \a\vs4\al(一题多变) 　把下列各角化成2kπ＋α(0≤α＜2π，k∈Z)的形式，并指出是第几象限角． (1)－1500°；(2) eq \f(23π,6)；(3)－4. [解析]　(1)∵－1500°＝－1800°＋300° ＝－5×360°＋300°. ∴－1500°可化成－10π＋ eq \f(5π,3)，是第四象限角． (2)∵ eq \f(23π,6)＝2π＋ eq \f(11π,6)， ∴ eq \f(23π,6)与 eq \f(11π,6)终边相同，是第四象限角． (3)∵－4＝－2π＋(2π－4)， eq \f(π,2)＜2π－4＜π. ∴－4与2π－4终边相同，是第二象限角． [母题变式] 1．(变条件、变结论)在区间[－5π，0]上，用弧度制表示与2010°终边相同的角． 解析　∵2010°＝2010× eq \f(π,180)＝ eq \f(67π,6)＝5×2π＋ eq \f(7π,6)， 与2010°终边相同的角可以写成γ＝ eq \f(7π,6)＋2kπ(k∈Z)，又－5π≤γ＜0， ∴－3 eq \f(1,12)≤k≤－ eq \f(7,12)， ∴当k＝－3时，γ＝－ eq \f(29,6)π； 当k＝－2时，γ＝－ eq \f(17,6)π； 当k＝－1时，γ＝－ eq \f(5,6)π. 2．(变条件、变结论)用弧度表示顶点在原点，始边落在x轴的正半轴上，终边落在阴影部分内的角的集合(不包括边界，如图所示). 解析　(1)以OA为终边的角为 eq \f(π,6)＋2kπ(k∈Z)，以OB为终边的角为－ eq \f(2π,3)＋2kπ(k∈Z)，所以阴影部分(不包括边界)内的角的集合为 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\co1(－\f(2π,3)))＋2kπ＜α＜\f(π,6)＋2kπ，k∈Z)). (2)终边落在阴影部分(不含边界)的角的集合是 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)＋2kπ＜α＜\f(7π,6)＋2kπ，k∈Z)))). 用弧度制表示终边相同的角2kπ＋α(k∈Z)时，其中2kπ是π的偶数倍，而不是整数倍，还要注意角度制与弧度制不能混用．单位要统一．　 [触类旁通] 2．(2024·江西赣州高一期中)下列各角中，与－ eq \f(21π,4)终边相同的角是(　　) A．－ eq \f(π,4) B． eq \f(5π,4) C． eq \f(9π,4) D． eq \f(11π,4) 解析　因为－ eq \f(π,4)－ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(21π,4)))＝5π， eq \f(5π,4)－ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(21π,4)))＝6.5π ， eq \f(9π,4)－ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(21π,4)))＝7.5π， eq \f(11π,4)－ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(21π,4)))＝8π，所以 eq \f(11π,4)与－ eq \f(21π,4)的终边相同． 答案　D 题型三　扇形的弧长与面积公式的应用 　[教材例3提升]已知扇形的圆心角是α，半径是r，弧长为l. (1)若α＝100°，r＝2，求扇形的面积； (2)若扇形的周长为20，求扇形面积的最大值，并求此时扇形圆心角的弧度数． [解析]　(1)因为α＝100°＝100× eq \f(π,180)＝ eq \f(5π,9)， 所以扇形的面积为S＝ eq \f(1,2)lr＝ eq \f(1,2)αr2＝ eq \f(1,2)× eq \f(5π,9)×4＝ eq \f(10π,9)； (2)由题意，可知l＋2r＝20，即l＝20－2r， 所以扇形的面积为S＝ eq \f(1,2)lr＝ eq \f(1,2) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(20－2r))·r＝－ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(r－5))2＋25， 当r＝5时，扇形面积的最大值为25， 此时l＝20－2×5＝10，α＝ eq \f(l,r)＝ eq \f(10,5)＝2. 弧度制下扇形有关问题的几点注意 (1)明确弧长公式和扇形的面积公式：l＝αr，S＝ eq \f(1,2)l·r＝ eq \f(1,2)α·r2，其中α必须是弧度制的角． (2)涉及扇形的周长、弧长、圆心角、面积等计算，关键是分析已知哪些量，要求哪些量，用扇形的弧长公式、面积公式直接求解或列方程组求解． (3)扇形的周长等于弧长加两个半径长，对于扇形周长或面积的最值问题，通常转化为某个函数的最值问题．　 [触类旁通] 3．(2025·天津河东月考)已知扇形的弧长为2π，圆心角为 eq \f(π,6)弧度，则扇形的面积为____________________． 解析　扇形的弧长为2π，圆心角为 eq \f(π,6)弧度，则该扇形所在圆半径 r＝ eq \f(2π,\f(π,6))＝12，所以该扇形的面积为S＝ eq \f(1,2)×12×2π＝12π. 答案　12π 知识落实 技法强化 (1)弧度制的概念． (2)弧度制与角度制的相互转化． (3)特殊角的角度数与弧度数的对应关系． (4)扇形的弧长与面积的计算． (1)研究弧度制与角度制的互化应用由特殊到一般的思想方法． (2)表示角时不要弧度与角度混用． $