专题1.1 探究勾股定理讲义-2025-2026学年北师大版数学八年级上册

该初中数学勾股定理单元复习讲义通过思维导图系统构建知识体系，涵盖勾股定理的定义、验证与应用三大考点，用表格梳理拼图法验证步骤，清晰呈现重难点及内在逻辑，帮助学生建立完整知识框架。 讲义亮点在于“考向分层+典例引领”设计，如考向03通过几何图形求线段平方和培养推理意识，考向04结合小鸟飞行距离问题发展应用意识。分层练习（对点提升、好题冲关）满足不同学生需求，助力教师实施精准化复习教学。

探究勾股定理 知识归纳与题型总结 思 维 导 图 培 优 讲 练 考点01 勾股定理 考点梳理 1. 定义：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，如果用a，b和c 分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么. 如图所示，是直角三角形，其中较短的直角边a叫做勾，较长的直角 边b叫做股，斜边c叫做弦. 典例引领 考向01 用勾股定理解三角形 【例1】如图，正方形的边长为，点是的中点，连接，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，根据正方形的性质得出，，求得，根据勾股定理即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形，且边长为， ∴，， ∵点是的中点， ∴， 在中，． 故答案为：． 考向02 以直角三角形三边为边长的图形面积 【例2】如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A、B、C、D的边长分别为3、5、2、3，则最大正方形E的面积是（    ）    A．13 B．29 C．47 D．94 【答案】C 【分析】本题考查的是勾股定理，掌握以直角三角形斜边为边长的正方形的面积等于两个以直角边为边长的正方形面积之和是解决此题的关键．根据勾股定理的几何意义，可得正方形的面积与正方形的面积之和等于正方形，正方形的面积与正方形的面积之和等于正方形，正方形与正方形之和等于正方形的面积，即可求得正方形的面积． 【详解】解：如图    根据勾股定理的几何意义，可得、的面积和为，、的面积和为，， ． 故选：C． 考向03 利用勾股定理求两条线段的平方和（差） 【例3】 如图，在中，，，，以为边作正方形，则正方形的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是，，斜边长为，那么．根据勾股定理可求出，进而求出正方形的面积． 【详解】解：在中，， 由勾股定理得：， ． 故选：B． 对点提升 【对点1】如图，一根电线杆在离地面米处各用米长的铁丝向两侧地面拉线固定，则两个固定点之间的距离是 ． 【答案】米/ 【分析】本题考查勾股定理的实际应用，把电线杆、铁丝、地面构成的图形转化为直角三角形是解题关键． 将电线杆与地面的垂直关系转化为直角三角形，利用勾股定理求出单侧固定点到电线杆底部的距离，再计算两侧固定点的间距． 【详解】解：电线杆、铁丝与地面构成直角三角形， 直角边（电线杆高度）：米， 斜边（铁丝长度）：米， 设单侧固定点到电线杆的距离米，则： ， ， 解得（米）， 故两个固定点之间的距离为：（米）． 故答案为：米． 【对点2】把三个正方形的一边首尾相接组成下图，已知正方形的面积为，如果正方形的面积为，那么正方形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了以直角三角形三边为边长的图形面积，结合勾股定理和正方形的面积公式，正方形的面积等于正方形的面积与正方形的面积之和，解题的关键是掌握以直角三角形的两条直角边为边长的正方形的面积和等于以斜边为边长的正方形的面积． 【详解】解：∵正方形的面积为，正方形的面积为， ∴正方形的面积为， 故选：． 【对点3】如图，在中，，，，记长为，长为．当，的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的应用． 过点A作于点E，先求出，，再根据勾股定理找到等量关系，进而得出答案． 【详解】解：过点A作于点E， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴， ∴的值不变． 故选：D． 考点02 勾股定理的验证 考点梳理 勾股定理的验证主要通过拼图法完成，这种方法是以数形转换为指导思想，图形拼补为手段，各部分面积之间的关系为依据来实现的.用两种方式表示图形面积（算两次》，根据面积相同得到等量关系，进而进行等量变换得到勾股定理公式是证明勾股定理的常见方法. 拼图法验证勾股定理的一般步骤： （1）拼出图形 直角梯形（3个直角三角形） （2）用两种方式表示图形面积 ， （3）根据面积相同得到等量关系 （4）恒等变形 （5）推导出勾股定理 典例引领 考向01 例如勾股定理证明线段平方关系 【例1】如图，为的斜边上的高，设，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了勾股定理，直角三角形的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 由勾股定理得出，则可得出答案． 【详解】证明：在中，根据勾股定理，得， 在中，根据勾股定理，得， 在中，根据勾股定理，得， ∵， ∴， ∴． 考向02 勾股定理的证明方法 【例2】我国是最早了解勾股定理的国家之一，据《周髀算经》记载，勾股定理的证明是在商代由商高发现的，故又称之为“商高定理”；三国时代的赵爽对周髀算经内的勾股定理作出了详细注释，又给出了另外一个证明，古代印度、希腊、阿拉伯等许多国家也都很重视对勾股定理的研究和应用．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的证明方法，掌握利用两种不同的方法计算同一个图形的面积来验证勾股定理是解题的关键．分别利用两种不同的方法计算各选项中的大正方形或梯形的面积，即可解答． 【详解】解：A、大正方形的面积为，也可以看作4个直角三角形和一个小正方形的面积之和， 则其面积为， ∴，故选项A能证明勾股定理； B、大正方形的面积为，也可以看作2个小长方形和2个小正方形的面积之和， 则其面积为， ∴，故选项B不能证明勾股定理； C、大正方形的面积为，也可以看作4个直角三角形和一个小正方形的面积之和， 则其面积为， ∴，即，故选项C能证明勾股定理； D、梯形的面积为，也可以看作3个直角三角形的面积之和， 则其面积为， ∴，即，故选项D能证明勾股定理． 故选：B． 对点提升 【对点1】如图，在等腰中，，点是上一点，作等腰，且，连接． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质以及勾股定理，熟记全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）根据等腰直角三角形的性质得出，，，再证明，即可得出结论； （2）根据全等三角形的性质结合勾股定理可得出结论． 【详解】（1）证明：在等腰中，，在等腰中， ， ，，， ， ． ． （2）由（1）知， ∵在等腰中，， ． ， ． ． ， ． 【对点2】如图，边长为m的正方形中有一个边长为n的小正方形，若将图1的阴影部分拼成一个长方形，如图3，利用图1和图3的阴影部分的面积． (1)你能得到的公式是___________ ； (2)爱思考的小聪看到三边为a，b，c的直角三角形(如图4)，四个这样全等的直角三角形与中间小正方形组成大正方形，他想利用大正方形的两种不同的面积表示方法得到等式．请你代替小聪来表示这个大正方形的面积： 方法一：___________ ；(用a，b，c来表示) 方法二：___________ ；(用a，b，c来表示) (3)你能得出一个关于a，b，c的等式：___________ ； (4)若三边为a，b，c的直角三角形中，，求c的值． 【答案】(1) (2)方法一：，方法二： (3) (4)10 【分析】本题考查了勾股定理的证明，平方差公式的几何背景． （1）根据阴影部分的面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积和长方形的面积两种方法列式即可； （2）根据大正方形的面积等于小正方形的面积加上四个直角三角形的面积和正方形的面积公式列式即可； （3）根据两种方法表示出的大正方形的面积相等整理即可得解； （4）将，代入（3）中等式计算即可． 【详解】（1）解：由图可知：； 故答案为：； （2）解：方法一：， 方法二：； 故答案为：，； （3）解：由（2）得，， 即， ∴． 故答案为：； （4）解：当，时，， 解得：（负值舍去）． 考点03 勾股定理的应用 考点梳理 利用勾股定理可以解决与直角三角形有关的问题，主要应用如下： （1)已知直角三角形的任意两边长，求第三边长； （2)已知直角三角形的任意一边长，确定另外两边长的关系； （3)解决包含平方关系的几何问题； （4)构造方程计算有关线段的长度问题，解决生产生活中的一些实际问题. 典例引领 考向01 以弦图为背景的计算题 【例1】青朱出入图（如图）是东汉末年数学家刘徽根据“割补术”运用数形关系证明勾股定理引入的图形，该图中的两个青入的三角形分别与两个青出的三角形全等，朱入与朱出的三角形全等，朱方与青方是两个正方形．为便于叙述，将其绘成图，若记朱方对应正方形的边长为，青方对应正方形的边长为，已知，，则图中的阴影部分面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理的证明，完全平方公式的应用，解答本题的关键是熟练运用勾股定理解决问题．根据题意可得，可以求出，即可得到图2中的阴影部分面积为，用，表示后，结合完全平方公式计算即可． 【详解】解：如图， 朱方对应正方形的边长为，青方对应正方形的边长为， ，， 朱入与朱出的三角形全等， 即， ， 两个青入的三角形分别与两个青出的三角形全等， 即，， ，， 阴影部分面积为 ， ，， ， 即阴影部分的面积为， 故答案为： 考向02 用勾股定理构造图形解决问题 【例2】勾股定理是人类数学文化的一颗璀璨明珠，是用代数思想解决几何问题最重要的工具，也是数形结合的纽带之一．如图，当秋千静止时，踏板B离地的垂直高度，将它往前推至C处时（即水平距离），踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，则绳索的长是（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，将实际问题转化为勾股定理问题是解题的关键． 设，则，故，在中利用勾股定理求解即可． 【详解】解：由题意可知，， ∴， 设，则， ∴， 在中，， ∴，解得：． ∴绳索的长是． 故选：C． 考向03 求旗杆高度 【例3】数学综合实验课上，同学们在测量学校旗杆的高度时发现：将旗杆顶端升旗用的绳子垂到地面还多1米；当把绳子的下端拉开5米后，下端刚好接触地面．根据以上数据，同学们准确求出了旗杆的高度，你知道他们是如何计算出来的吗？ 【答案】旗杆的高度为12米．过程见解析 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，根据题意构造出直角三角形是解题的关键． 设旗杆高，则绳子长为，根据勾股定理列式计算即可； 【详解】解：设旗杆高，则绳子长为， ∵旗杆垂直于地面， ∴旗杆、绳子与地面构成直角三角形， 由题意列式为，解得， ∴旗杆的高度为12米． 考向04 求小鸟飞行距离 【例4】如图，有两棵树，一棵高12米，另一棵高6米，两树相距8米，一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行 米． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，矩形的性质，掌握根据题意画出对应的图形是解题的关键． 先画出几何图形，然后求出直角边，用勾股定理计算求解． 【详解】解：如图，设大树高为，小树高为，过C点作，连接， 根据题意，可知四边形是矩形， ，， ， 根据勾股定理可得， 一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，小鸟至少飞行． 故答案为：． 考向05 求大树折断前的高度 【例5】2025年9月22日，“桦加沙”超强台风掠过深圳，风暴中，一棵树从树腰处被吹断．如图所示，大树从树腰（点）断裂，树顶落在离树根（点）8米处（点），已知树原高16米，则树断裂处距树根为（　　）米 A．10 B．8 C．6 D．5 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的应用，读懂题意，构造直角三角形，熟练运用勾股定理列方程求解是解决问题的关键． 设树断裂处距树根为米，则米，在中，由勾股定理列方程求解即可得到答案． 【详解】解：设树断裂处距树根为米，则米， 在中，，米，米，米，则由勾股定理可得，即， 解得， 树断裂处距树根为米， 故选：C． 对点提升 【对点1】如图，正方形是用八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为，，，若，则的值为（   ） A．65 B．70 C．75 D．80 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的应用、全等三角形的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键 找到图中的等量关系并熟练使用勾股定理解答． 【详解】解：∵八个直角三角形全等，四边形，，是正方形， ∴，，， ∴ ， ∵， ， ， ∴ ． 故选：C ． 【对点2】《九章算术》卷九“勾股”中记载：“今有立木，系索其末，委地三尺．引索却行，去本八尺而索尽．问索长几何？”译文为：在直立于地面的一根木杆的顶端处，系一根绳索，绳索自然下垂后拖在地面上的长度为3尺（如图1）．在距木杆底端处8尺的地面上点处拉绳索，整根绳索恰好被拉直（如图2）．问绳索有多长？ (1)请通过已学知识解决这个实际问题； (2)将这个问题一般化，即已知直角三角形的勾长（较短的直角边）为，弦长（斜边）与股长（较长的直角边）的差为，弦长为，请用，表示，其结果为 ． 【答案】(1)绳索长尺 (2) 【分析】本题考查了勾股定理，理解题意，正确运用勾股定理是解此题的关键． （1）设绳索长尺，则尺，利用勾股定理计算即可得解； （2）由勾股定理计算即可得解． 【详解】（1）解：设绳索长尺，则尺， 由勾股定理可得：， ∴， ∴， 故绳索长尺； （2）解：由题意并结合勾股定理可得， 整理可得：， ∴． 【对点3】学完勾股定理之后，同学们想利用升旗的绳子、卷尺测算出学校旗杆的高度．爱动脑筋的小亮设计了一个方案：如图，小亮将升旗的绳子拉直到末端刚好接触地面，测得此时绳子末端距旗杆底端，然后将绳子末端拉直到距离旗杆处，测得此时绳子末端距离地面的高度为．如果设旗杆的高度为（滑轮上方的部分忽略不计），求x的值． 【答案】12.25米． 【分析】本题考查的知识点是勾股定理的应用，解题的关键是熟练地掌握勾股定理的应用． 由左图，根据勾股定理得，绳长的平方，右图，根据勾股定理得，绳长的平方，建立方程，解方程即得． 【详解】解：设旗杆的高为x米， 由左图，根据勾股定理得，绳长的平方，右图，根据勾股定理得，绳长的平方， ∴， 解得，米． 答：旗杆的高度是12.25米． 【对点4】如图，两树高分别为10米和4米，相距8米，一只鸟从一树的树梢飞到另一树的树梢，则小鸟至少要飞（　　） A．8米 B．9米 C．10米 D．11米 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树梢进行直线飞行，所飞行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出，熟练掌握其性质，合理添加辅助线是解决此题的关键． 【详解】如图，过C点作于E，则四边形是矩形，连接， 由题意知：大树高为，小树高为， ∴，，， 在中， 答：小鸟至少飞行米， 故选：C． 【对点5】九章算术中记载了一个“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？题意是：一根竹子原高1丈（1丈尺），中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面多高？则折断处离地面的高度为 尺． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．设折断处离地面的高度为尺，则尺，在中，由勾股定理得出方程，求解即可． 【详解】解：设折断处离地面的高度为尺，则尺， 在中，由勾股定理得：， ， 解得：， 即折断处离地面的高度为尺， 故答案为：． 好 题 冲 关 能力提升 1、 选择题 1．如图，“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若，大正方形的面积为39，则小正方形的边长为（    ） A． B．3 C． D．6 【答案】A 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用． 观察图形可知，小正方形的面积大正方形的面积个直角三角形的面积，利用已知，大正方形的面积为39，可以得出直角三角形的面积，进而求出答案． 【详解】解：由题意可知：每个直角三角形面积为，则四个直角三角形面积为，大正方形面积为，小正方形面积为， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴小正方形的面积为， ∴小正方形的边长为． 故选：A． 2．“赵爽弦图”巧妙的利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的大正方形，若图中的直角三角形的短直角边是5，小正方形的面积是36，则大正方形的面积是（   ） A．121 B．146 C．169 D．196 【答案】B 【分析】本题主要考查勾股定理；先求出小正方形的边长，再求出直角三角形的长直角边，再根据勾股定理计算即可． 【详解】解：∵小正方形的面积是36， ∴小正方形的边长为， ∵直角三角形的短直角边是5， ∴直角三角形的长直角边是， ∴大正方形的面积为， 故选：B． 3．如图，，过点P作且，再过点，作且，又过点作且，…依此法继续作下去，则的长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理，找到图形变化的规律是解题的关键．由勾股定理求出，，的长，依此类推可知，即可求解． 【详解】解：在直角三角形中，由勾股定理得：， 在直角三角形中，由勾股定理得：， 在直角三角形中，由勾股定理得：， …， 依此类推，为正整数， 当时，， 故选： 4．如图，在中，于点D，且，则的长为（   ） A．30 B．24 C．18 D．32 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理，掌握勾股定理并正确运算是解题关键． 先将，转化为，利用勾股定理求出，再用勾股定理求出即可． 【详解】解：由，得， 在中，，即， 解得， 在中，， 故选：A． 5．如图，在中，，，，点D在边上，将沿直线折叠，使边落在斜边上，点C的对应点为点E，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了翻折变换的性质，勾股定理的应用，先根据勾股定理求得的长，再根据折叠的性质求得，的长，从而利用勾股定理可求得的长． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， 根据折叠得， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得， ∴． 故选：B． 6．如图，三角形纸片中，点是边上一点，连接，把沿着直线翻折，得到，交于点，连接交于点，若，，，的面积为，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先由沿着直线翻折，得到，证明垂直平分，再由，根据勾股定理求得，再由，得，则，即可列面积等式求得，则，再根据勾股定理求得． 【详解】解：∵沿着直线翻折，得到， ∴垂直平分， ∴，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的长是， 故选A． 7．如图，在四边形中，，，过点A作于点E，若，，则的长为（   ） A．10 B．12 C．14 D．16 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质及勾股定理，解题的关键是通过角度关系证明，从而实现线段的转化． 通过角度互余证，用证得、，最后在中用勾股定理求出答案． 【详解】∵， ∴； ∵， ∴， ∴； ∴． 在和中 ∴ ∴， ∵，， ∴ 在 中， ． 故选：A． 8．如图，，P是上异于B、C的一点，则的值是（   ） A．20 B．25 C．24 D．16 【答案】D 【分析】本题考查了“等腰三角形的性质”“勾股定理”，通过设而不求思想，通过等腰三角形的性质和勾股定理，设出参数，分别表示，，是解题关键． 过点A作的垂线，设，，通过勾股定理用含m和n的式子表示，再计算消参即可． 【详解】解：如图，过点A作，垂足为D， ∵， ∴， 设，则， ∴， 设，则，， ∴， ∴． 故选： D． 9．如图是学校举办的数学文化节设计的标志，在中，，以的边为边作三个正方形，点G落在上，若，空白部分的面积为，则阴影部分面积为（   ） A． B．12 C．15 D．17 【答案】D 【分析】此题考查了勾股定理，全等三角形的判定和性质，正确识别图形是解题关键． 根据余角的性质得到，进而推出，根据全等三角形的性质得到，推出，根据勾股定理得到，又因为，可得到，进而得到，求出，进而求解即可． 【详解】解：四边形是正方形， ，， ∵， ， ， ， 在与中， ， ， ， ， 在中，， ， ， ， ， ， ∵空白部分的面积为， ∴， ， ， ， ， 阴影部分面积为 ， 故选：D． 10．定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫作“倍长三角形”．若是“倍长三角形”，有一条边的长度为1，则它的较长直角边的长度所有可能取值有（   ） A．4种 B．5种 C．6种 D．7种 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用， 根据“倍长三角形”的定义和直角三角形勾股定理，分三种倍长关系情况讨论，结合一边长为1，求解较长直角边的所有可能取值，共有5种不同值． 【详解】解：设较长直角边为 ，较短直角边为 ，斜边为 ，则 ，倍长关系有三种情况：；；； 又有一条边长为 1，分别讨论： 当，则， 若，则； 若，则； 若，则，； 较长直角边可能为； 当，则， 若，则； 若，则； 若，则，， 较长直角边可能为； 当时，不符合三角形三边关系，不符合题意， 综上，较长直角边所有可能取值为 ，共 5 种． 故选：B． 2、 填空题 11．如图，在中，，，点是边上的一个动点，将沿所在的直线折叠，点的对应点为点，若，则，两点之间的距离为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了折叠的性质，勾股定理，连接交与点O，由折叠的性质可知垂直且平分，进而可得出，，由勾股定理求出，再根据等面积法即可求出，进而求出． 【详解】解：连接交与点O， 将沿所在的直线折叠，点的对应点为点， ∴垂直且平分， ∴，， 在中，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 12．如图，在中，，，，，那么的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理的应用，通过 “公共高相等” 建立方程是解题关键． 设，由，可知，再利用公共高，结合勾股定理建立方程求解． 【详解】解：设，由，可知， 在中，， 在中，， 故， 解得，即． 故答案为：． 13．如图，图中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，已知正方形A，B，C，D的边长分别是，，9，，则最大的正方形E的边长是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．先根据勾股定理可得，即可求出，同理可得，接下来求出，则此题可解． 【详解】解：由题可得，如图所示： 由勾股定理可得：， ，B，F都是正方形， ， ， 同理可得， ， 最大正方形E的边长为 故答案为： 14．我们新定义一种三角形：两边的平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做“可爱三角形”．若是“可爱三角形”，，，则 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键；根据“可爱三角形”的定义，两边的平方和等于第三边平方的2倍，结合直角三角形勾股定理，列出方程求解即可． 【详解】解：在中，，，设，，则根据勾股定理，有，即， 由“可爱三角形”的定义，需考虑三种情况：  ①若，但，前后矛盾，故不成立 ； ②若，即，则代入， 得，整理得， 解得（负根舍去），则， ∴（负根舍去），即； ③若，即，则代入， 得，整理得， 解得，则， ∴（负根舍去），； 综上所述：或； 故答案为：或． 15．如图，四边形中，，，．现将沿翻折，点的对应点为，交边于点，若恰好是的角平分线，则的长为 ． 【答案】4 【分析】此题考查了折叠的性质、角平分线的定义，全等三角形的判定与性质，熟练掌握性质定理是解题关键． 分别延长与，延长线交于点，根据角平分线的性质及垂直关系进行角度之间的等量代换，证得，进而证明，借助全等三角形的性质得出答案． 【详解】解：如图所示，分别延长与，延长线交于点， 由折叠的性质得，，， ， ， 是的角平分线， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：4 3、 解答题 16．《九章算术》中记载了这样一道题：“今有开门去阃（kǔn，门槛的意思）一尺，不合二寸，问门广几何？”题目大意是：如图〔图（2）为图（1）的平面示意图〕，推开双门，点C和点D距离门槛都为1尺，双门间隙的距离为2寸，求的长．（注：1尺寸） 【答案】寸 【分析】本题考查勾股定理，取的中点，由题意可知：，寸，设寸，则：寸，根据勾股定理列出方程进行求解即可． 【详解】解：取的中点，由题意可知：，寸， 设寸，则：寸，寸， 在中，由勾股定理，得：， ∴， 解得：， ∴寸． 17．综合与实践 【动手操作】用四张全等的直角三角形纸片（如图1，两直角边长分别为，，斜边为）拼成含有正方形的图案（如图2），拼图时直角三角形纸片不能互相重叠． (1)【探究】研究发现可利用面积的不同表示方法证明勾股定理：在图2中，大正方形的面积可表示为 ，也可表示为 ，因此，化简可得 ； (2)【实践】利用图1中的4个三角形组合成如图3所示的几个新图形，在图①-③中，图 可证明勾股定理； (3)【发现】若将图1的2个三角形拼成如图4所示的图形，聪聪认真观察图4后发现，此图也可用面积法证明勾股定理，请你帮聪聪完成证明过程． 【答案】(1)；； (2)① (3)见解析 【分析】本题考查勾股定理的证明，图形的面积计算，代数恒等变形，用两种方法表示图形面积是解题关键． （1）明确大正方形面积的两种表示方法，通过面积相等建立等式，化简后得到勾股定理； （2）判断图形能否用面积法证明勾股定理，核心是能否用两种方式表示图形面积，进而推导出； （3）图4的图形类型为梯形，用梯形面积公式和“两个直角三角形+一个小三角形”的面积和建立等式，化简得到勾股定理． 【详解】（1）解：大正方形可拆分为边长为的正方形和4个直角边分别为，的直角三角形， 故大正方形的面积可表示为， 大正方形边长为， 大正方形面积也可表示为， ， 化简得． 答：；；． （2）解：图①可拆分为边长为的正方形和4个直角边分别为，的直角三角形， 其面积为， 图①是边长为的正方形， 其面积也可以表示为， ， 化简得， 故图①可证明勾股定理． 图②、③无法由两种面积表达方式推导出勾股定理． 答：①． （3）证明：图4可拆分为2个直角边长分别为，的直角三角形和一个直角边为的等腰直角三角形， 图4的面积可表示为， 图4是上底为，下底为，高为的梯形， 图4的面积也可表示为， ， 化简得． 18．如图，在中，，，D为上一点，且D到A，B两点的距离相等． (1)用直尺和圆规作出点D的位置；（不写作法，保留作图痕迹） (2)连接，若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)4 【分析】本题主要考查了勾股定理，线段垂直平分线的尺规作图，线段垂直平分线的判定定理，熟知相关知识是解题的关键． （1）D到A，B两点的距离相等，则点D在线段的垂直平分线上，据此作图即可； （2）设，则，由勾股定理得，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：如图所示，点D即为所求； （2）解：如图， ∵D到A，B两点的距离相等， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理，得， ∴， 解得， ∴． 19．【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于，从而得到等式，化简便得结论．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”． (1)【方法运用】千百年来，人们对勾股定理的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春在年构造发现了一个新的证法：把两个全等的直角和如图2放置，其中，，，，显然．请用a，b，c分别表示出四边形，梯形，的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，证明勾股定理． (2)【方法迁移】请利用“双求法”解决下面的问题： ①如图3，小正方形边长为1，连接小正方形的三个顶点，可得，则边上的高为 ． ②如图4，在中，，，，求边上的高． 【答案】(1)见解析 (2)①；② 【分析】本题考查了勾股定理，三角形的面积，全等三角形的性质，掌握相关知识是解题的关键． （1）先证明，再根据梯形的面积，，四边形的面积，四边形的面积梯形的面积的面积，即可推出结论； （2）设边上的高为，根据割补法求出的面积，再利用的面积可求出结果； （3）由勾股定理得，，再结合列方程求解即可． 【详解】（1）证明：把两个全等的直角和如图2放置， ， 又， ， ， 即， 梯形的面积，， 四边形的面积 ， ∵四边形的面积梯形的面积的面积， ∴ ∴． （2）解：①：设边上的高为， 由勾股定理得，， 的面积， 的面积， ， 即边上的高为， 故答案为：； ②如图， 在中，，，，， 由勾股定理得，， ， 又∵， ∴， ， ． 答：边上的高为． 20．【问题背景】 如图①，在四边形中，和称为它的对角，若这个四边形满足：，则这个四边形叫做“对角互补四边形”． 【问题解决】 (1)若四边形是“对角互补四边形”，且，求的度数； (2)如图②，，平分，A是射线上一动点，C是射线上的动点，且四边形是“对角互补四边形”． ①若是等腰三角形，求的度数； ②若，若，求的长． 【答案】(1) (2)①或；② 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理的应用. （1）根据四边形是“对角互补四边形”，求得，根据题意列方程即可得到结论； （2）①根据“对角互补四边形”的定义得到，根据角平分线的定义得到，当时，求得（不符合题意，舍去），当时，求得；当时，求得； ②如图②，过点B作于G，于H，根据已知条件得到，根据四边形是“对角互补四边形”，求得，根据全等三角形的性质得到，解方程即可得到结论． 【详解】（1）解：∵四边形是“对角互补四边形”， ∴， ∵， ∴ ， ∴； （2）①∵四边形是“对角互补四边形”，， ∴， ∵平分， ∴， 当时， ∴（不符合题意，舍去）， 当时， ∴， ∴； 当时， ∴，， ∴． 综上所述：的度数为或； ②如图②，过点B作于G，于H， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是“对角互补四边形”， ∴， ∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $ 探究勾股定理 知识归纳与题型总结 思 维 导 图 培 优 讲 练 考点01 勾股定理 考点梳理 1. 定义：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，如果用a，b和c 分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么. 如图所示，是直角三角形，其中较短的直角边a叫做勾，较长的直角 边b叫做股，斜边c叫做弦. 典例引领 考向01 用勾股定理解三角形 【例1】如图，正方形的边长为，点是的中点，连接，则的长为 ． 考向02 以直角三角形三边为边长的图形面积 【例2】如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A、B、C、D的边长分别为3、5、2、3，则最大正方形E的面积是（    ）    A．13 B．29 C．47 D．94 考向03 利用勾股定理求两条线段的平方和（差） 【例3】 如图，在中，，，，以为边作正方形，则正方形的面积是（    ） A． B． C． D． 对点提升 【对点1】如图，一根电线杆在离地面米处各用米长的铁丝向两侧地面拉线固定，则两个固定点之间的距离是 ． 【对点2】把三个正方形的一边首尾相接组成下图，已知正方形的面积为，如果正方形的面积为，那么正方形的面积为（   ） A． B． C． D． 【对点3】如图，在中，，，，记长为，长为．当，的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（    ） A． B． C． D． 考点02 勾股定理的验证 考点梳理 勾股定理的验证主要通过拼图法完成，这种方法是以数形转换为指导思想，图形拼补为手段，各部分面积之间的关系为依据来实现的.用两种方式表示图形面积（算两次》，根据面积相同得到等量关系，进而进行等量变换得到勾股定理公式是证明勾股定理的常见方法. 拼图法验证勾股定理的一般步骤： （1）拼出图形 直角梯形（3个直角三角形） （2）用两种方式表示图形面积 ， （3）根据面积相同得到等量关系 （4）恒等变形 （5）推导出勾股定理 典例引领 考向01 例如勾股定理证明线段平方关系 【例1】如图，为的斜边上的高，设，，．求证：． 考向02 勾股定理的证明方法 【例2】我国是最早了解勾股定理的国家之一，据《周髀算经》记载，勾股定理的证明是在商代由商高发现的，故又称之为“商高定理”；三国时代的赵爽对周髀算经内的勾股定理作出了详细注释，又给出了另外一个证明，古代印度、希腊、阿拉伯等许多国家也都很重视对勾股定理的研究和应用．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（    ） A． B． C． D． 对点提升 【对点1】如图，在等腰中，，点是上一点，作等腰，且，连接． (1)求证：； (2)求证：． 【对点2】如图，边长为m的正方形中有一个边长为n的小正方形，若将图1的阴影部分拼成一个长方形，如图3，利用图1和图3的阴影部分的面积． (1)你能得到的公式是___________ ； (2)爱思考的小聪看到三边为a，b，c的直角三角形(如图4)，四个这样全等的直角三角形与中间小正方形组成大正方形，他想利用大正方形的两种不同的面积表示方法得到等式．请你代替小聪来表示这个大正方形的面积： 方法一：___________ ；(用a，b，c来表示) 方法二：___________ ；(用a，b，c来表示) (3)你能得出一个关于a，b，c的等式：___________ ； (4)若三边为a，b，c的直角三角形中，，求c的值． 考点03 勾股定理的应用 考点梳理 利用勾股定理可以解决与直角三角形有关的问题，主要应用如下： （1)已知直角三角形的任意两边长，求第三边长； （2)已知直角三角形的任意一边长，确定另外两边长的关系； （3)解决包含平方关系的几何问题； （4)构造方程计算有关线段的长度问题，解决生产生活中的一些实际问题. 典例引领 考向01 以弦图为背景的计算题 【例1】青朱出入图（如图）是东汉末年数学家刘徽根据“割补术”运用数形关系证明勾股定理引入的图形，该图中的两个青入的三角形分别与两个青出的三角形全等，朱入与朱出的三角形全等，朱方与青方是两个正方形．为便于叙述，将其绘成图，若记朱方对应正方形的边长为，青方对应正方形的边长为，已知，，则图中的阴影部分面积为 ． 考向02 用勾股定理构造图形解决问题 【例2】勾股定理是人类数学文化的一颗璀璨明珠，是用代数思想解决几何问题最重要的工具，也是数形结合的纽带之一．如图，当秋千静止时，踏板B离地的垂直高度，将它往前推至C处时（即水平距离），踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，则绳索的长是（   ）． A． B． C． D． 考向03 求旗杆高度 【例3】数学综合实验课上，同学们在测量学校旗杆的高度时发现：将旗杆顶端升旗用的绳子垂到地面还多1米；当把绳子的下端拉开5米后，下端刚好接触地面．根据以上数据，同学们准确求出了旗杆的高度，你知道他们是如何计算出来的吗？ 考向04 求小鸟飞行距离 【例4】如图，有两棵树，一棵高12米，另一棵高6米，两树相距8米，一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行 米． 考向05 求大树折断前的高度 【例5】2025年9月22日，“桦加沙”超强台风掠过深圳，风暴中，一棵树从树腰处被吹断．如图所示，大树从树腰（点）断裂，树顶落在离树根（点）8米处（点），已知树原高16米，则树断裂处距树根为（　　）米 A．10 B．8 C．6 D．5 对点提升 【对点1】如图，正方形是用八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为，，，若，则的值为（   ） A．65 B．70 C．75 D．80 【对点2】《九章算术》卷九“勾股”中记载：“今有立木，系索其末，委地三尺．引索却行，去本八尺而索尽．问索长几何？”译文为：在直立于地面的一根木杆的顶端处，系一根绳索，绳索自然下垂后拖在地面上的长度为3尺（如图1）．在距木杆底端处8尺的地面上点处拉绳索，整根绳索恰好被拉直（如图2）．问绳索有多长？ (1)请通过已学知识解决这个实际问题； (2)将这个问题一般化，即已知直角三角形的勾长（较短的直角边）为，弦长（斜边）与股长（较长的直角边）的差为，弦长为，请用，表示，其结果为 ． 【对点3】学完勾股定理之后，同学们想利用升旗的绳子、卷尺测算出学校旗杆的高度．爱动脑筋的小亮设计了一个方案：如图，小亮将升旗的绳子拉直到末端刚好接触地面，测得此时绳子末端距旗杆底端，然后将绳子末端拉直到距离旗杆处，测得此时绳子末端距离地面的高度为．如果设旗杆的高度为（滑轮上方的部分忽略不计），求x的值． 【对点4】如图，两树高分别为10米和4米，相距8米，一只鸟从一树的树梢飞到另一树的树梢，则小鸟至少要飞（　　） A．8米 B．9米 C．10米 D．11米 【对点5】九章算术中记载了一个“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？题意是：一根竹子原高1丈（1丈尺），中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面多高？则折断处离地面的高度为 尺． 好 题 冲 关 能力提升 1、 选择题 1．如图，“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若，大正方形的面积为39，则小正方形的边长为（    ） A． B．3 C． D．6 2．“赵爽弦图”巧妙的利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的大正方形，若图中的直角三角形的短直角边是5，小正方形的面积是36，则大正方形的面积是（   ） A．121 B．146 C．169 D．196 3．如图，，过点P作且，再过点，作且，又过点作且，…依此法继续作下去，则的长度为（   ） A． B． C． D． 4．如图，在中，于点D，且，则的长为（   ） A．30 B．24 C．18 D．32 5．如图，在中，，，，点D在边上，将沿直线折叠，使边落在斜边上，点C的对应点为点E，则的长为（   ） A． B． C． D． 6．如图，三角形纸片中，点是边上一点，连接，把沿着直线翻折，得到，交于点，连接交于点，若，，，的面积为，则的长是（   ） A． B． C． D． 7．如图，在四边形中，，，过点A作于点E，若，，则的长为（   ） A．10 B．12 C．14 D．16 8．如图，，P是上异于B、C的一点，则的值是（   ） A．20 B．25 C．24 D．16 9．如图是学校举办的数学文化节设计的标志，在中，，以的边为边作三个正方形，点G落在上，若，空白部分的面积为，则阴影部分面积为（   ） A． B．12 C．15 D．17 10．定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫作“倍长三角形”．若是“倍长三角形”，有一条边的长度为1，则它的较长直角边的长度所有可能取值有（   ） A．4种 B．5种 C．6种 D．7种 2、 填空题 11．如图，在中，，，点是边上的一个动点，将沿所在的直线折叠，点的对应点为点，若，则，两点之间的距离为 ． 12．如图，在中，，，，，那么的值是 ． 13．如图，图中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，已知正方形A，B，C，D的边长分别是，，9，，则最大的正方形E的边长是 ． 14．我们新定义一种三角形：两边的平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做“可爱三角形”．若是“可爱三角形”，，，则 ． 15．如图，四边形中，，，．现将沿翻折，点的对应点为，交边于点，若恰好是的角平分线，则的长为 ． 3、 解答题 16．《九章算术》中记载了这样一道题：“今有开门去阃（kǔn，门槛的意思）一尺，不合二寸，问门广几何？”题目大意是：如图〔图（2）为图（1）的平面示意图〕，推开双门，点C和点D距离门槛都为1尺，双门间隙的距离为2寸，求的长．（注：1尺寸） 17．综合与实践 【动手操作】用四张全等的直角三角形纸片（如图1，两直角边长分别为，，斜边为）拼成含有正方形的图案（如图2），拼图时直角三角形纸片不能互相重叠． (1)【探究】研究发现可利用面积的不同表示方法证明勾股定理：在图2中，大正方形的面积可表示为 ，也可表示为 ，因此，化简可得 ； (2)【实践】利用图1中的4个三角形组合成如图3所示的几个新图形，在图①-③中，图 可证明勾股定理； (3)【发现】若将图1的2个三角形拼成如图4所示的图形，聪聪认真观察图4后发现，此图也可用面积法证明勾股定理，请你帮聪聪完成证明过程． 18．如图，在中，，，D为上一点，且D到A，B两点的距离相等． (1)用直尺和圆规作出点D的位置；（不写作法，保留作图痕迹） (2)连接，若，，求的长． 19．【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于，从而得到等式，化简便得结论．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”． (1)【方法运用】千百年来，人们对勾股定理的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春在年构造发现了一个新的证法：把两个全等的直角和如图2放置，其中，，，，显然．请用a，b，c分别表示出四边形，梯形，的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，证明勾股定理． (2)【方法迁移】请利用“双求法”解决下面的问题： ①如图3，小正方形边长为1，连接小正方形的三个顶点，可得，则边上的高为 ． ②如图4，在中，，，，求边上的高． 20．【问题背景】 如图①，在四边形中，和称为它的对角，若这个四边形满足：，则这个四边形叫做“对角互补四边形”． 【问题解决】 (1)若四边形是“对角互补四边形”，且，求的度数； (2)如图②，，平分，A是射线上一动点，C是射线上的动点，且四边形是“对角互补四边形”． ①若是等腰三角形，求的度数； ②若，若，求的长． 1 / 5 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