精品解析：江苏省苏州市吴江高级中学2025-2026学年高二上学期第二次质量检测（12月月考）数学试题

吴江中学2025~2026学年第一学期第二次质量检测 高二数学 （本试卷满分150分，考试用时120分钟） 注意事项: 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求： 1.本试卷共4页，本卷满分为150分.考试时间为120分钟.考试结束后，请将答题卡交回，试卷保留，以待讲评. 2.答题前，请您务必将自己的姓名、班级号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置. 3.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写答题卡上.写在本试卷上无效. 4.如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若椭圆的一个焦点是，则实数（ ） A. B. 1 C. 15 D. 25 【答案】B 【解析】 【分析】先将椭圆化成标准式，再结合焦点坐标求解即可 【详解】由得，又椭圆的一个焦点为，故，解得 故选：B 【点睛】本题考查由椭圆方程求解参数值，关键是将椭圆方程化成标准式，看清焦点在哪个轴上，属于基础题. 2. 已知平面内两定点A(－5，0)，B(5，0)，动点M满足|MA|－|MB|＝6，则点M的轨迹方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，结合双曲线的定义，求出、、，即可求解. 【详解】由题意知，轨迹应为以A(－5，0)，B(5，0)为焦点的双曲线的右支．由c＝5，a＝3，知b2＝16，因此M点的轨迹方程为． 故选：D. 3. 抛物线的焦点到直线的距离为，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】首先确定抛物线的焦点坐标，然后结合点到直线距离公式可得的值. 【详解】抛物线的焦点坐标为， 其到直线的距离：， 解得：(舍去). 故选：B. 4. 已知方程表示双曲线，则实数k的取值范围是（ ） A. （﹣1，1） B. （0，+∞） C. [0，+∞） D. （﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） 【答案】A 【解析】 【分析】根据双曲线的标准方程特点可得，即可得到答案. 【详解】∵方程表示双曲线 ∴ ∴ 故选：A． 5. 椭圆的焦点为，点为椭圆上的动点若为钝角，点的横坐标的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据椭圆方程，得到，，设，根据为钝角，推出，再由集合椭圆的方程，即可求出结果. 【详解】因为，为椭圆的两焦点，则，， 设，则，， 因为为钝角， 所以， 又∵，∴， ∴. 故选：B. 【点睛】本题主要考查求椭圆上点的横坐标的范围，涉及向量数量积的坐标表示，属于常考题型. 6. 设，是双曲线的两个焦点，是上一点，若，且的最小内角为，则双曲线的焦距为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 根据题中条件，不妨设P是双曲线右支上的一点，由双曲线的定义可得，，得出为最小边，的最小内角，结合余弦定理，即可求出结果. 【详解】因为，是双曲线的两个焦点，P是双曲线上一点，且满足， 不妨设P是双曲线右支上的一点，由双曲线的定义可知， 所以，，因为，，所以， 所以为最小边，的最小内角， 由余弦定理可得，， 即，，， 所以. 故选：D. 【点睛】本题主要考查求双曲线的焦距，熟记双曲线的定义，以及双曲线的简单性质即可，属于常考题型. 7. 已知直线与抛物线相交于A、B两点，F为C的焦点，若,则k= A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】将y=k(x+2)代入y2=8x,得 k2x2+(4k2-8)x+4k2=0. 设交点的横坐标分别为xA,xB, 则xA+xB=-4,① xA·xB=4. 又|FA|=xA+2,|FB|=xB+2, |FA|=2|FB|, ∴2xB+4=xA+2. ∴xA=2xB+2.② ∴将②代入①得xB=-2, xA=-4+2=-2. 故xA·xB==4. 解之得k2=. 而k>0,∴k=,满足Δ>0.故选D. 8. 已知，为双曲线（，）的两个焦点，过原点的直线交双曲线于P，Q两点，若，，则双曲线C的离心率为（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据双曲线的对称性和已知条件得到四边形的性质，再由双曲线的定义和已知条件得到与的不等式，在中利用勾股定理求出离心率. 【详解】连接， 因为关于原点对称，且关于原点对称， 所以四边形是平行四边形， 又因为，则四边形为矩形， 则， 因为， 由双曲线的定义得， 则，， 在中，由勾股定理得，，即， 所以双曲线的离心率为. 故选：A 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对得6分，部分选对得部分分，错选得0分. 9. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，若椭圆M与坐标轴分别交于A，B，C，D四点，且从，，A，B，C，D这六点中，可以找到三点构成一个直角三角形，则椭圆M的离心率的可能取值为（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据椭圆的几何性质，结合已知条件找出所有可能构成直角三角形的情况，计算相应的离心率值，从而判断选项． 【详解】 如上图所示，直角可能性有5种，即①， ②，③， ④，⑤， 当①时，需满足，即，此时，，故B正确； 当②时，需满足， 即，解得， ，，解得，故C正确； 当③时，需满足，解得， ，不合题意，舍去； 当④时，需满足，解得，， 解得； 当时⑤，需满足，解得， ，不合题意，舍去； 综上，离心率的可能值为或，故BC正确． 故选：BC． 10. 平面直角坐标系中，直线与双曲线（，）的左右两支分别交于A，B两点，P是异于A，B的双曲线上一点，则下列判断正确的是（ ） A. 双曲线的离心率e的范围是 B. 双曲线的离心率e的范围是 C. 直线PA，PB的斜率分别是，，则 D. 双曲线上存在点P，使得 【答案】BCD 【解析】 【分析】由题意可得，求出离心率的范围，即可判断A，B；设，，由对称可得，求出的值，即可判断C；当或时，满足，即可判断D. 【详解】因为双曲线的渐近线方程为， 则，所以， 所以， 所以， 即双曲线的离心率e的范围是，故A错误，B正确； 对于C，设，， 因为直线与双曲线都关于原点对称， 所以点，也关于原点对称， 所以， 所以，， 所以 ，故C正确； 对于D，当时，则有， 所以， 所以， 又因为P是异于A，B的双曲线上一点， 所以当或时，成立，故D正确. 故选：BCD. 11. 已知过点的抛物线的焦点为F，准线与x轴的交点为E，过焦点F作两条互相垂直的直线分别交于和四点，则下列说法正确的有（ ） A. 若直线的斜率为1，则 B. 若点平分弦，则直线的方程为 C. 的最小值为 D. 若，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据已知条件先求出抛物线的方程，再设出四点的坐标.对于A，先求出直线的方程，与抛物线方程联立后根据韦达定理可得的值，由抛物线的定义可得；对于B，由直线过，可得直线的斜率，从而得直线的方程；对于C，设出直线的斜率，从而得其方程，联立方程可得，同理可得，根据抛物线的定义可将表示为的函数，根据基本不等式可求得最值；对于D，根据得到的一个关系式，又点的坐标满足抛物线方程，联立解得，根据韦达定理可求得，从而根据抛物线的定义可得. 【详解】将点的坐标代入抛物线的方程得 ，解得，所以抛物线，则. 由题意知直线的斜率均存在，设，如图. 对于A，因为直线过，且斜率为1，所以直线的方程为， 由消去得，所以， 由抛物线的定义可得，故A正确； 对于B，因为直线过，，所以， 所以直线的方程为，即，故B错误； 对于C，设直线的斜率为，则直线的斜率为，直线的方程为， 由消去得，所以， 同理可得， 所以 ， 当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为，故C正确； 对于D，因为，即，所以， 又， 所以，即， 代入得，解得（负值舍去）， 由选项C知，所以， 所以，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 双曲线的顶点到其渐近线的距离为__________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据题意得双曲线的顶点为，渐近线方程为，进而根据点到直线的距离求解即可. 【详解】解：根据题意得双曲线的顶点为，渐近线方程为， 根据对称性，不妨取顶点，渐近线方程为， 所以顶点到渐近线方程为的距离为 双曲线的顶点到其渐近线的距离为 故答案为： 13. 已知为抛物线的焦点，过点的直线交抛物线于，两点，若，则_________ 【答案】 【解析】 【分析】由题意可知直线的斜率存在，设出直线方程：，与抛物线联立，设出交点坐标，利用韦达定理可得，再根据，可得，从而可求出，进而求出 【详解】过抛物线的焦点F的直线交抛物线于A,B两点,且, 则直线的斜率存在，设直线为，且 所以 ，整理可得， 设，则，且（1） 由，则 （2）, 将（1）（2）联立可求出或（舍去） 所以. 故答案为： 【点睛】思路点睛：解决直线与抛物线的综合问题时，要注意： （1）注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、抛物线的条件； （2）强化有关直线与抛物线联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题． 14. 设分别为圆和椭圆上的点，则两点间的最大距离是_________. 【答案】 【解析】 【分析】求得圆心坐标和半径，设出椭圆上任意一点的坐标，利用，表示椭圆上的点到圆上点的最大距离的表达式，再利用三角函数与二次函数结合，求得这个表达式的最大值. 【详解】依题意可知圆心，半径是.设椭圆上任意一点的坐标为，此时点到圆上的点的最大距离为，即，化简得，对称轴时，取得最大值为. 【点睛】本小题主要考查圆和椭圆的位置关系，考查圆外一点到圆上的点的最大距离的表示，考查三角换元的思想方法以及化归与转化的数学思想方法.圆的标准方程给定，那么圆心和半径就确定下来.圆外一点和圆上点的距离的最大值和最小值，转化为圆外的点到圆心的距离加上半径和减去半径来表示. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在平面直角坐标系中，已知点，，关于直线的对称点分别是，，. （1）求以，为焦点，且过点P的双曲线的标准方程； （2）求以，为焦点，且过点的椭圆的标准方程. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据已知条件可知半焦距及焦点的位置，设出双曲线的方程，由点在双曲线上及的关系可列方程组，从而得解； （2）先求出，，的坐标，从而可知半焦距及焦点的位置，设出椭圆的方程，由点在椭圆上及的关系可列方程组，从而得解. 【小问1详解】 因为双曲线的焦点分别为，， 所以焦点在轴上，且半焦距， 可设双曲线的标准方程为， 又双曲线过点，所以，解得， 所以双曲线的标准方程为. 【小问2详解】 因为关于直线对称的点的坐标关系是横纵坐标互换， 所以，，关于直线的对称点分别是，，. 因为椭圆的焦点分别为，， 所以焦点在轴上，且半焦距， 可设椭圆的标准方程为， 又椭圆过点，所以，解得， 所以椭圆的标准方程为. 16. 已知抛物线：上有一点. （1）求抛物线的标准方程及其准线方程； （2）过点的直线交抛物线C于A，B两点，为坐标原点，记直线OA，OB的斜率分别为，，求证：为定值. 【答案】（1）抛物线：，准线方程为： （2） 依题意，过点的直线AB不垂直于y轴，设直线AB方程为， 由消去x并整理得：，设，则，， 于是得， 所以为定值. 【解析】 【分析】(1)根据抛物线C所过的点即可求出C的方程及其准线方程. (2)设出直线AB方程，与抛物线C的方程联立，借助韦达定理即可计算作答. 【小问1详解】 因抛物线：过点，则有，解得， 所以抛物线的标准方程是：，准线方程为：. 【小问2详解】 略 17. 已知双曲线C的方程为. （1）求与双曲线C有公共渐近线，且过点的双曲线标准方程； （2）当过点的直线与双曲线C有两个公共点时，求直线斜率取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据公共渐近线的性质直接求解； （2）根据直线与曲线有两个公共点时，，解不等式即可. 【小问1详解】 解：由已知可设双曲线方程为， 又双曲线过点，即，解得， 故双曲线方程为，即； 【小问2详解】 解：设直线的方程为，即， 联立得， ， 解得：且， 综上所述：. 18. 已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为，，点P是C上一点，，且的面积为3． （1）求C的方程． （2）过的直线l与C交于A，B两点，与直线交于点D，设，直线，，的斜率分别为，，，证明：为定值． 【答案】（1） （2） 证明： 设过的直线的方程为，， ，故， 联立直线与椭圆，整理得， 设，由韦达定理得， ， ， 为定值． 【解析】 【分析】（1）利用椭圆的定义和基本性质，利用已知条件结合离心率构造方程求出，进而求出椭圆方程； （2）设直线的方程，结合斜率公式得出，联系直线与椭圆，结合韦达定理得出，进而求出为定值，从而证明结论． 【小问1详解】 ，， ，的面积为，即， 由椭圆的定义可知，， 由勾股定理得， ， ，即， ， ， 椭圆的方程为． 【小问2详解】 略 19. 等边三角形OAB的边长为，且其三个顶点均在抛物线上. （1）求抛物线E的方程； （2）设动直线l与抛物线E相切于点P，与直线相交于点Q.证明：以PQ为直径的圆恒过某定点. （注：以抛物线上一点为切点的切线方程为） 【答案】（1） （2）证明: 设，由已知抛物线上一点为切点的切线方程为， 又因为动直线l与直线相交于点Q，则， 则l的方程为， 由，得所以， 由对称性知，以PQ为直径的圆所过定点在轴上，设为， 令对满足且 的点恒成立． 由于，， 由，得， 即　(*)， 由于(*)式对满足且 的恒成立， 所以，解得， 故以PQ为直径的圆恒过y轴上的定点． 【解析】 【分析】（1）设出的坐标为，然后代入点结合抛物线方程计算求参，求得抛物线方程； （2）结合已知得出切线斜率进而得出l的方程，联立直线方程和，求出，向量的数量积为0证得答案，并求得的坐标． 【小问1详解】 依题意，， 设，则，， 因为点在上，所以，解得， 故抛物线E的方程为． 【小问2详解】 略. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 吴江中学2025~2026学年第一学期第二次质量检测 高二数学 （本试卷满分150分，考试用时120分钟） 注意事项: 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求： 1.本试卷共4页，本卷满分为150分.考试时间为120分钟.考试结束后，请将答题卡交回，试卷保留，以待讲评. 2.答题前，请您务必将自己的姓名、班级号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置. 3.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写答题卡上.写在本试卷上无效. 4.如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若椭圆的一个焦点是，则实数（ ） A. B. 1 C. 15 D. 25 2. 已知平面内两定点A(－5，0)，B(5，0)，动点M满足|MA|－|MB|＝6，则点M的轨迹方程是（ ） A. B. C. D. 3. 抛物线的焦点到直线的距离为，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 4 4. 已知方程表示双曲线，则实数k的取值范围是（ ） A. （﹣1，1） B. （0，+∞） C. [0，+∞） D. （﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） 5. 椭圆的焦点为，点为椭圆上的动点若为钝角，点的横坐标的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 设，是双曲线的两个焦点，是上一点，若，且的最小内角为，则双曲线的焦距为（ ） A. B. C. D. 7. 已知直线与抛物线相交于A、B两点，F为C的焦点，若,则k= A. B. C. D. 8. 已知，为双曲线（，）的两个焦点，过原点的直线交双曲线于P，Q两点，若，，则双曲线C的离心率为（ ） A. B. C. 2 D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对得6分，部分选对得部分分，错选得0分. 9. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，若椭圆M与坐标轴分别交于A，B，C，D四点，且从，，A，B，C，D这六点中，可以找到三点构成一个直角三角形，则椭圆M的离心率的可能取值为（ ） A. B. C. D. 10. 平面直角坐标系中，直线与双曲线（，）的左右两支分别交于A，B两点，P是异于A，B的双曲线上一点，则下列判断正确的是（ ） A. 双曲线的离心率e的范围是 B. 双曲线的离心率e的范围是 C. 直线PA，PB的斜率分别是，，则 D. 双曲线上存在点P，使得 11. 已知过点的抛物线的焦点为F，准线与x轴的交点为E，过焦点F作两条互相垂直的直线分别交于和四点，则下列说法正确的有（ ） A. 若直线的斜率为1，则 B. 若点平分弦，则直线的方程为 C. 的最小值为 D. 若，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 双曲线的顶点到其渐近线的距离为__________． 13. 已知为抛物线的焦点，过点的直线交抛物线于，两点，若，则_________ 14. 设分别为圆和椭圆上的点，则两点间的最大距离是_________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在平面直角坐标系中，已知点，，关于直线的对称点分别是，，. （1）求以，为焦点，且过点P的双曲线的标准方程； （2）求以，为焦点，且过点的椭圆的标准方程. 16. 已知抛物线：上有一点. （1）求抛物线的标准方程及其准线方程； （2）过点的直线交抛物线C于A，B两点，为坐标原点，记直线OA，OB的斜率分别为，，求证：为定值. 17. 已知双曲线C的方程为. （1）求与双曲线C有公共渐近线，且过点的双曲线标准方程； （2）当过点的直线与双曲线C有两个公共点时，求直线斜率取值范围. 18. 已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为，，点P是C上一点，，且的面积为3． （1）求C的方程． （2）过的直线l与C交于A，B两点，与直线交于点D，设，直线，，的斜率分别为，，，证明：为定值． 19. 等边三角形OAB的边长为，且其三个顶点均在抛物线上. （1）求抛物线E的方程； （2）设动直线l与抛物线E相切于点P，与直线相交于点Q.证明：以PQ为直径的圆恒过某定点. （注：以抛物线上一点为切点的切线方程为） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $