第5章 5.1.2 第2课时 导数的几何意义（Word练习）-【精讲精练】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册（人教A版）

第5章　5.1　5.1.2　第2课时 [必备知识·基础巩固] 1．若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为2x－y＋1＝0，则(　　) A．f′(x0)＞0　　　　 B．f′(x0)＜0 C．f′(x0)＝0 D．f′(x0)不存在 解析　由切线方程可以看出其斜率是2，又曲线在该点处的切线的斜率就是函数在该点处的导数． 答案　A 2．如图，函数y＝f(x)的图象在点P(2，y)处的切线是l，则f(2)＋f′(2)等于(　　) A．－4 B．3 C．－2 D．1 解析　直线l的方程为＋＝1， 即x＋y－4＝0. 又由题意可知f(2)＝2，f′(2)＝－1， ∴f(2)＋f′(2)＝2－1＝1. 答案　D 3．(多选题)已知函数f(x)满足f(1)＝3，f′(1)＝－3，则下列关于f(x)的图象描述正确的是(　　) A．f(x)的图象在x＝1处的切线斜率大于0 B．f(x)的图象在x＝1处的切线斜率小于0 C．f(x)的图象在x＝1处位于x轴上方 D．f(x)的图象在x＝1处位于x轴下方 解析　f′(1)＝－3＜0，则f(x)的图象在x＝1处的切线斜率小于0；又f(1)＝3＞0，所以f(x)的图象在x＝1处位于x轴上方． 答案　BC 4．(多选题)下列各点中，在曲线y＝x3－2x上，且在该点处的切线倾斜角为的是(　　) A．(0,0) B．(1，－1) C．(－1,1) D．(1,1) 解析　设切点坐标为(x0，y0)， 则y′|x＝x0＝ ＝3x－2＝tan ＝1， 所以x0＝±1， 当x0＝1时，y0＝－1. 当x0＝－1时，y0＝1. 答案　BC 5．已知函数y＝f(x)在点(2,1)处的切线与直线3x－y－2＝0平行，则y′|x＝2＝________. 解析　因为直线3x－y－2＝0的斜率为3，所以由导数的几何意义可知y′|x＝2＝3. 答案　3 6．已知函数f(x)在x0处的导数为f′(x0)＝1，则函数f(x)在x0处切线的倾斜角为________. 解析　设切线的倾斜角为α，则tan α＝f′(x0)＝1，又α∈[0°，180°)，∴α＝45°. 答案　45° 7．已知函数f(x)＝x2＋3，则f(x)在(2，f(2))处的切线方程为________________. 解析　∵f(x)＝x2＋3，x0＝2， ∴f(2)＝7， Δ y＝f(2＋Δ x)－f(2)＝4·Δ x＋(Δ x)2， ∴＝4＋Δ x. ∴ ＝4，即f′(2)＝4. 又切线过(2,7)点，所以f(x)在(2，f(2))处的切线方程为y－7＝4(x－2)， 即4x－y－1＝0. 答案　4x－y－1＝0 8．求曲线y＝x2－2x上点P(a,0)处的切线方程． 解析　由P在曲线上可得a2－2a＝0，解得a＝0或a＝2. 由导数的定义得y′＝ ＝ ＝ ＝ (2x＋Δ x－2)＝2x－2. 所以y′|x＝0＝2×0－2＝－2， y′|x＝2＝2×2－2＝2. 故在点P1(0,0)处的切线方程为y－0＝－2(x－0)，即y＝－2x. 在点P2(2,0)处的切线方程为y－0＝2(x－2)， 即y＝2x－4. [关键能力·综合提升] 9．如图，曲线y＝f(x)在点P(1，f(1))处的切线l过点(2,0)，且f′(1)＝－2，则f(1)的值为(　　) A．－1　 　 B．1 C．2　　　 D．3 解析　曲线y＝f(x)在点P(1，f(1))处的切线l过点(2,0)，且f′(1)＝－2，所以切线l的方程为y＝－2(x－2)．因为切点在曲线上也在切线上，所以f(1)＝－2×(1－2)＝2.故选C． 答案　C 10．(多选题)若曲线y＝x2＋ax＋b在点(0，b)处的切线方程是x－y＋1＝0，则(　　) A．a＝1 B．a＝－1 C．b＝－1 D．b＝1 解析　因为点(0，b)在直线x－y＋1＝0上， 所以b＝1. 又y′＝ ＝2x＋a， 所以过点(0，b)的切线的斜率为y′|x＝0＝a＝1. 答案　AD 11．若曲线y＝f(x)＝x2＋2x在点P处的切线垂直于直线x＋2y＝0，则点P的坐标是________. 解析　设P(x0，y0)，则 f′(x0)＝ ＝ (2x0＋2＋Δ x)＝2x0＋2. 因为点P处的切线垂直于直线x＋2y＝0， 所以点P处的切线的斜率为2， 所以2x0＋2＝2，解得x0＝0， 即点P的坐标是(0,0)． 答案　(0,0) 12．若点P是抛物线y＝x2上任意一点，则点P到直线y＝x－2的最小距离为________. 解析　由题意可得，当点P到直线y＝x－2的距离最小时，点P为抛物线y＝x2的一条切线的切点，且该切线平行于直线y＝x－2，设y＝f(x)＝x2，由导数的几何意义知y′＝f′(x)＝ ＝2x＝1，解得x＝，所以P，故点P到直线y＝x－2的最小距离d＝＝. 答案　 13．已知直线x－y－1＝0与抛物线y＝ax2相切，求a的值． 解析　设切点为P(x0，y0)． 则f′(x0)＝ ＝ ＝ (2ax0＋aΔ x)＝2ax0， 即2ax0＝1. 又y0＝ax，x0－y0－1＝0， 联立以上三式，得解得a＝. [核心素养·探索创新] 14．(多选题)下列说法正确的是(　　) A．若f′(x0)不存在，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处也可能有切线 B．若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处有切线，则f′(x0)必存在 C．若f′(x0)不存在， 则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线斜率不存在 D．若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处没有切线，则f′(x0)有可能存在 解析　k＝f′(x0)，所以f′(x0)不存在只能说明曲线在该点处的切线斜率不存在，而当斜率不存在时，切线方程也可能存在，其切线方程是x＝x0，故AC正确． 答案　AC 15．试求过点P(3,5)且与曲线y＝x2相切的直线方程． 解析　y′＝ ＝ ＝2x. 设所求切线的切点为A(x0，y0)． ∵点A在曲线y＝x2上，∴y0＝x， 又A是切点， ∴过点A的切线的斜率y′|x＝x0＝2x0， ∵所求切线过P(3,5)和A(x0，y0)两点， ∴其斜率为＝. ∴2x0＝， 解之得x0＝1或x0＝5. 从而切点A的坐标为(1,1)或(5,25)． 当切点为(1,1)时，切线的斜率为k1＝2x0＝2； 当切点为(5,25)时， 切线的斜率为k2＝2x0＝10. ∴所求的切线有两条，方程分别为y－1＝2(x－1)和y－25＝10(x－5)， 即y＝2x－1和y＝10x－25. 学科网（北京）股份有限公司 $