第5章 5.1.2 第1课时 导数的概念（Word练习）-【精讲精练】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册（人教A版）

第5章　5.1　5.1.2　第1课时 [必备知识·基础巩固] 1．已知函数f(x)＝2x2－4的图象上一点(1，－2)及附近一点(1＋Δ x，－2＋Δ y)，则＝(　　) A．4　　　　　 　　　 B．4x C．4＋2Δ x D．4＋2(Δ x)2 解析　因为Δ y＝f(1＋Δ x)－f(1)＝2(1＋Δ x)2－4－(2×12－4)＝4Δ x＋2(Δ x)2， 所以＝＝4＋2Δ x. 答案　C 2．函数y＝x3在x＝1处的导数为(　　) A．2 B．－2 C．3 D．－3 解析　＝ ＝ ＝3x2＋3Δ x·x＋(Δ x)2， 所以 ＝3x2，y′|x＝1＝3. 答案　C 3．设函数f(x)＝ax＋3，若f′(1)＝3，则a等于(　　) A．2 B．－2 C．3 D．－3 解析　因为f′(1)＝ ＝ ＝a. 因为f′(1)＝3，所以a＝3. 故选C． 答案　C 4．(多选题)若函数f(x)在x＝x0处存在导数，则 的值(　　) A．与x0有关 B．与h有关 C．与x0无关 D．与h无关 解析　由导数的定义可知，函数f(x)在x＝x0处的导数与x0有关，与h无关，故选AD． 答案　AD 5．(2025·安阳期末)若 ＝3，则f′＝________. 解析　由题意： ＝－ ＝－f′＝3， 所以f′＝－9. 答案　－9 6．若f′(x0)＝2，则 ＝________. 解析　 ＝－ ＝－f′(x0)＝－1. 答案　－1 7．设函数y＝f(x)＝ax2＋2x，若f′(1)＝4，则a＝________. 解析　f′(1)＝ ＝ ＝ ＝2a＋2， 所以2a＋2＝4，所以a＝1. 答案　1 8．求函数y＝在x＝2处的导数． 解析　∵Δ y＝－＝－1 ＝－， ∴＝－. ∴f′(2)＝ ＝－ ＝－1. [关键能力·综合提升] 9．如果函数y＝f(x)在x＝1处的导数为1，那么 ＝(　　) A． B．1 C．2 D． 解析　因为f′(1)＝1， 所以 ＝1， 所以 ＝ ＝. 答案　A 10．已知车轮旋转的角度与时间的平方成正比．若车轮开始转动后的第一圈需要1 s，则车轮转动开始后第2 s时的瞬时速度为(　　) A．π B．2π C．4π D．8π 解析　设角度θ关于时间t的函数关系式为θ(t)＝kt2(k≠0)，由已知得2π＝k·12，即k＝2π， 故θ(t)＝2πt2. 第2 s时的瞬时速度即为θ′(2)． 由于＝＝2πΔ t＋8π， 所以θ′(2)＝ ＝ (2πΔ t＋8π)＝8π， 即第2 s时的瞬时速度为8π. 答案　D 11．已知物体运动的速度与时间之间的关系是v(t)＝t2＋2t＋2，则在时间间隔[1,1＋Δ t]内的平均加速度是________，在t＝1时的瞬时加速度是________. 解析　在[1,1＋Δ t]内的平均加速度为＝＝Δ t＋4， ＝4. 答案　Δ t＋4　4 12．过曲线y＝x2＋1上两点P(1,2)和Q(1＋Δ x，2＋Δ y)作曲线的割线，当Δ x＝0.1时，割线的斜率k＝________，当Δ x＝0.001时，割线的斜率k＝________. 解析　∵Δ y＝(1＋Δ x)2＋1－(12＋1) ＝2Δ x＋(Δ x)2，∴＝2＋Δ x， ∴割线斜率为2＋Δ x. 当Δ x＝0.1时，割线PQ的斜率k＝2＋0.1＝2.1. 当Δ x＝0.001时， 割线PQ的斜率k＝2＋0.001＝2.001. 答案　2.1　2.001 13．如果一个质点从固定点A开始运动，时间t的位移(单位：m)函数为y＝f(t)＝t3＋3，求当t＝4 s时的瞬时速度． 解析　因为质点在t＝4 s到(4＋Δ t)s的位移改变量Δ y＝(Δ t＋4)3＋3－(43＋3) ＝(Δ t)3＋12(Δ t)2＋48Δ t， 所以该时间段内的平均速度 ＝＝ ＝(Δ t)2＋12Δ t＋48. v′(4)＝ [(Δ t)2＋12Δ t＋48]＝48. 所以质点在t＝4 s时的瞬时速度为48 m/s. [核心素养·探索创新] 14．对于函数y＝f(x)，已知 ＝，则f′(x0)＝(　　) A． B． C． D． 解析　根据题意 ＝ ＝ ＝ ＋ ＝2f′(x0)． 所以f′(x0)＝. 答案　B 15．若一物体的运动方程如下：(位移单位：m，时间单位：s) s＝f(t)＝ 求：(1)物体在t∈[3,5]内的平均速度； (2)物体的初速度v0； (3)物体在t＝1时的瞬时速度． 解析　(1)因为物体在t∈[3,5]内的时间变化量为Δ t＝5－3＝2，位移变化量为Δ s＝3×52＋2－(3×32＋2)＝3×(52－32)＝48， 所以物体在t∈[3,5]内的平均速度为 ＝＝24 (m/s)． (2)求物体的初速度v0，即求物体在t＝0时的瞬时速度． 因为物体在t＝0附近位移的平均变化率为 ＝ ＝ ＝3Δ t－18， 所以物体在t＝0处位移的瞬时变化率为 ＝ (3Δ t－18)＝－18， 即物体的初速度v0＝－18 m/s. (3)物体在t＝1时的瞬时速度即为物体在t＝1处位移的瞬时变化率． 因为物体在t＝1附近位移的平均变化率为 ＝ ＝ ＝3Δ t－12， 所以物体在t＝1处位移的瞬时变化率为 ＝ (3Δ t－12)＝－12， 即物体在t＝1时的瞬时速度为－12 m/s. 学科网（北京）股份有限公司 $