第4章 阶段测评(一)[4.1～4.2]（Word练习）-【精讲精练】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册（人教A版）

第4章　阶段测评(一)[4.1～4.2] (时间：50分钟，满分：100分) 一、选择题：本题共6小题，每小题5分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．(2024·全国甲卷)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S9＝1，则a3＋a7＝(　　) A．－2　　　　　　　 B． C．1 D． 解析　设等差数列{an}的公差为d， 由S9＝9a1＋d＝9(a1＋4d)＝1， 得a1＋4d＝， 则a3＋a7＝a1＋2d＋a1＋6d＝2a1＋8d＝2(a1＋4d)＝，故选D． 答案　D 2．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝an－n，则a4＝(　　) A．－3 B．－5 C．－4 D．－6 解析　因为a1＝1，an＋1＝an－n(n∈N*)， 所以，a2－a1＝－1，a3－a2＝－2，a4－a3＝－3， 累加可得a4－a1＝－1－2－3＝－6， 解得a4＝a1－6＝1－6＝－5.故选B． 答案　B 3．在数列{an}中，an＋1＝若a1＝，则a2025＝(　　) A． B． C． D． 解析　a1＝<1，∴a2＝2a1＝<1， ∴a3＝2a2＝>1，∴a4＝2a3－3＝<1， ∴a5＝2a4＝，…，可以看出四个循环一次，故a2025＝a4×506＋1＝a1＝. 故选B． 答案　B 4．设等差数列{an}，{bn}的前n项和分别是Sn，Tn，若＝，则＝(　　) A． B． C． D． 解析　因为等差数列{an}，{bn}的前n项和分别是Sn，Tn，所以＝＝＝＝＝. 故选B． 答案　B 5．(2023·全国甲卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a2＋a6＝10，a4a8＝45，则S5＝(　　) A．25 B．22 C．20 D．15 解析　法一　设等差数列{an}的公差为d，首项为a1，依题意可得， a2＋a6＝a1＋d＋a1＋5d＝10，即a1＋3d＝5， 又a4a8＝(a1＋3d)(a1＋7d)＝45， 解得d＝1，a1＝2， 所以S5＝5a1＋×d＝5×2＋10＝20. 故选C． 法二　a2＋a6＝2a4＝10，a4a8＝45， 所以a4＝5，a8＝9， 从而d＝＝1， 于是a3＝a4－d＝5－1＝4， 所以S5＝5a3＝20. 故选C． 答案　C 6．(2025·烟台期末)设和分别表示正实数x的整数部分、小数部分，例如＝1，＝0.2.已知数列满足a1＝2＋，an＋1＝＋，n∈N*，则a2025＝(　　) A．2025＋ B．2026＋ C．4050＋ D．4052＋ 解析　已知a1＝2＋，因为1<<2，所以[a1]＝[2＋]＝3，{a1}＝2＋－3＝－1. 根据an＋1＝[an]＋，可得a2＝[a1]＋＝3＋，化简得到a2＝4＋. 因为1<<2，所以[a2]＝[4＋]＝5，{a2}＝4＋－5＝－1. 同理可得a3＝[a2]＋＝5＋＝5＋＋1＝6＋. 通过前面的计算，可以发现数列的规律，an＝2n＋(n∈N*)． 当n＝2025时，a2025＝2×2025＋＝4050＋. 故选C． 答案　C 二、选择题：本题共2小题，每小题6分，共12分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 7．等差数列的前n项和为Sn，S9＝9，a3＋a9＝6，则(　　) A．d＝2 B．S11＝22 C．Sn≥S4 D．a2025＝4040 解析　设等差数列的首项为a1，公差为d， 依题意 解得a1＝－7，d＝2， 所以an＝2n－9，Sn＝n2－8n， 对于A，由上面可知d＝2，故A正确； 对于B，S11＝112－11×8＝33，故B错误； 对于C，Sn＝n2－8n＝2－16， 故当n＝4时，Sn取得最小值为S4，故Sn≥S4，故C正确； 对于D，a2025＝2×2025－9＝4041，故D错误． 故选AC． 答案　AC 8．(2025·武汉期末)已知数列的通项公式为an＝2n＋1，的前n项和为Sn，则下列说法正确的是(　　) A．a5＋a6＝a1＋a3＋a7 B．数列是公差为4的等差数列 C．S6－2S3＝18 D．数列的最大项为2 解析　对于A，数列的通项公式为an＝2n＋1，故a5＋a6＝11＋13＝24， a1＋a3＋a7＝3＋7＋15＝25，即a5＋a6≠a1＋a3＋a7，A错误； 对于B，a2n－1＝2＋1＝4n－1，则a2－1－a2n－1＝4－1－＝4， 故数列是公差为4的等差数列，B正确； 对于C，数列的通项公式为an＝2n＋1，为首项是a1＝3，公差为2的等差数列， 故Sn＝＝＝n， 则S6－2S3＝48－2×15＝18，C正确； 对于D，＝＝， 而n＋＝n＋， 当n增大时，n＋的值随着增大，故＝随着n增大而减小， 故当n＝1时，数列取最大项为＝＝1，D错误． 故选BC． 答案　BC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 9．记Sn为等差数列{an}的前n项和．已知a5＝10，S5＝20，则数列{an}的通项公式为an＝________. 解析　设等差数列{an}的公差为d， 根据等差数列{an}的前n项和公式可得 S5＝＝5a3＝20，解得a3＝4， 又a5－a3＝2d，可得d＝3. 所以通项公式为an＝a3＋(n－3)d＝3n－5. 答案　3n－5 10．(2025·合肥期末)将数列与的所有公共项从小到大排列形成一个新的数列，则an＝________. 解析　易知数列是以1为首项，2为公差的等差数列，即1,3,5,7,9，…， 数列是以4为首项，3为公差的等差数列，即4,7,10,13，…， 所以是首项为7，公差为6的等差数列，得到an＝7＋6＝6n＋1. 答案　6n＋1 11．无穷数列{an}满足：只要ap＝aq(p，q∈N*)，必有ap＋1＝aq＋1，则{an}称为“和谐递进数列”．若{an}为“和谐递进数列”，且a1＝1，a2＝2，a4＝1，a6＋a8＝6，则a8＝________，S2022＝________. 解析　因为{an}为“和谐递进数列”，且a1＝1， a2＝2，a4＝1， 即a1＝a4，则a2＝a5＝2，a3＝a6，a4＝a7＝1， a5＝a8＝2，…，an＝an＋3， 所以数列{an}是周期数列，且周期为3， 又a6＋a8＝6，所以a6＝4，则a3＝4， 所以a1＋a2＋a3＝1＋2＋4＝7， 且2022＝3×674， 所以S2022＝674(a1＋a2＋a3)＝4718. 答案　2　4718 四、解答题：本题共3小题，共43分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 12．(13分)在数列{an}中，已知an＝，且a2＝，a3＝. (1)求通项公式an； (2)求证：{an}是递增数列． (1)解析　由an＝，且a2＝，a3＝可得 解得 因此an＝. 所以，数列{an}的通项公式为an＝，n∈N*. (2)证明　根据递增数列的定义可知， an＋1－an＝－ ＝ ＝>0， 即an＋1>an， 故{an}是递增数列． 13．(15分)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a4＝13，S7＝13a1. (1)求数列{an}的通项公式； (2)求证：{}是等差数列． (1)解析　设等差数列{an}的公差为d， 由a4＝13，S7＝13a1，得a1＋3d＝13,7a1＋d＝13a1，解得a1＝7，d＝2， 所以an＝a1＋(n－1)d＝2n＋5. (2)证明　结合(1)可得Sn＝na1＋d＝7n＋n2－n＝n2＋6n， 所以 ＝＝n＋3， 故 ＝1＋3＝4， －＝(n＋4)－(n＋3)＝1， 所以数列{}是以4为首项，以1为公差的等差数列． 14．(15分)数列{an}的通项公式为an＝n2＋kn. (1)若an≥a6恒成立，求实数k的取值范围； (2)数列{an}仅第7项最小，求实数k的取值范围． 解析　(1)由an＝n2＋kn，得an＝n2＋kn＝2－，对称轴为n＝－， 因为不等式an≥a6恒成立，所以≤－≤， 所以－13≤k≤－11， 即实数k的取值范围为[－13，－11]． (2)由an＝n2＋kn，得对称轴为n＝－， 因为数列{an}仅第7项最小， 所以<－<， 解得－15<k<－13， 即实数k的取值范围为(－15，－13). 学科网（北京）股份有限公司 $