第4章 4.2.1 第2课时 等差数列的性质（Word练习）-【精讲精练】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册（人教A版）

第4章　4.2　4.2.1　第2课时 [必备知识·基础巩固] 1．(2025·惠州期末)已知为等差数列，a2＝3，a6＝11，则a4等于(　　) A．7 B．6 C． D． 解析　由于为等差数列，所以2a4＝a2＋a6＝14，故a4＝7.故选A． 答案　A 2．已知数列为等差数列，若a2＋a4＝4，则a1＋a5＝(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 解析　由等差数列性质知a1＋a5＝ a2＋a4＝4. 故选D． 答案　D 3．(多选题)若{an}是等差数列，下列数列仍为等差数列的是(　　) A．{|an|} B．{an＋1－an} C．{pan＋q}(p，q为常数) D．{2an＋n} 解析　数列－1,1,3是等差数列，取绝对值后：1,1,3不是等差数列，A不成立．若{an}是等差数列，利用等差数列的定义，{an＋1－an}为常数列，故是等差数列，B成立．若{an}的公差为d，则(pan＋q)－(pan－1＋q)＝p(an－an－1)＝pd为常数，故{pan＋q}是等差数列，C成立．(2an＋n)－(2an－1＋n－1)＝2(an－an－1)＋1＝2d＋1，故{2an＋n}是等差数列，D成立．故选BCD． 答案　BCD 4．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分六钱，令前三人所得与后二人等，各人所得均增，问各得几何？”其意思是：“已知A，B，C，D，E五个人分重量为6钱(‘钱’是古代的一种重量单位)的物品，A，B，C三人所得钱数之和与D，E二人所得钱数之和相同，且A，B，C，D，E每人所得钱数依次成递增等差数列，问五个人各分得多少钱的物品？”在这个问题中，C分得物品的钱数是(　　) A． B． C． D． 解析　设5个人分得的物品的钱数为等差数列中的项a1，a2，a3，a4，a5，则a1＋a2＋a3＝a4＋a5，a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝6＝5a3，a3＝. 答案　C 5．已知等差数列{an}中，a2＝3，a6＝11，则a12＝________. 解析　设等差数列{an}的公差为d，则a6－a2＝4d＝11－3＝8，d＝2，所以a12＝a6＋6d＝11＋6×2＝23. 答案　23 6．若三个数成等差数列，它们的和为9，平方和为59，则这三个数的积为________. 解析　设这三个数为a－d，a，a＋d， 则 解得或 所以这三个数为－1,3,7或7,3，－1. 所以这三个数的积为－21. 答案　－21 7．在等差数列{an}中，若a＋2a2a8＋a6a10＝16，则a4a6＝________. 解析　∵等差数列{an}中，a＋2a2a8＋a6a10＝16， ∴a＋a2(a6＋a10)＋a6a10＝16， ∴(a2＋a6)(a2＋a10)＝16， ∴2a4·2a6＝16，∴a4a6＝4. 答案　4 8．梯子的最高一级宽33 cm，最低一级宽110 cm，中间还有10级，各级的宽度成等差数列，计算中间各级的宽度． 解析　用{an}表示梯子自上而下各级宽度所成的等差数列， 由已知，得a1＝33，a12＝110，n＝12. 由通项公式，得a12＝a1＋(12－1)d， 即110＝33＋11d，解得d＝7. 因此，a2＝33＋7＝40，a3＝40＋7＝47，a4＝54，a5＝61，a6＝68，a7＝75，a8＝82，a9＝89，a10＝96，a11＝103. 所以梯子中间各级的宽度从上到下依次是40 cm，47 cm，54 cm,61 cm,68 cm,75 cm,82 cm，89 cm，96 cm，103 cm. [关键能力·综合提升] 9．(2025·贵阳期末)在等差数列中，a3＋a5＋a7＝18，则a1＋a9＝(　　) A．6 B．8 C．10 D．12 解析　在等差数列中，a3＋a5＋a7＝3a5＝18，解得a5＝6. 由于a1＋a9＝2a5，所以a1＋a9＝12. 故选D． 答案　D 10．(多选题)在等差数列{an}中，公差d>0，a1＋a2＋…＋a10＝0，则下列一定成立的是(　　) A．a1<0 B．a10>0 C．a5＋a6＝0 D．a2＋a11<0 解析　由d>0，得{an}是递增数列，因此由a1＋a2＋…＋a10＝0得a1<0，a10>0，故A，B正确； a1＋a2＋…＋a10＝5(a1＋a10)＝5(a5＋a6)＝0，即a5＋a6＝0，a1＋a10＝0，故C正确； a2＋a11＝a1＋a10＋2d>0，故D错误． 故选ABC． 答案　ABC 11．在等差数列{an}中，a5＋a6＝4，则log2(2a1·2a2·…·2a10)＝________. 解析　在等差数列{an}中，a5＋a6＝4， 所以a1＋a10＝a2＋a9＝a3＋a8＝a4＋a7＝a5＋a6＝4， 所以a1＋a2＋…＋a10＝(a1＋a10)＋(a2＋a9)＋(a3＋a8)＋(a4＋a7)＋(a5＋a6)＝5(a5＋a6)＝20， 则log2(2a1·2a2·…·2a10)＝log22a1＋a2＋…＋a10＝a1＋a2＋…＋a10＝20. 答案　20 12．已知等差数列{an}，若a1＋a2＋a3＋…＋a12＝21，则a2＋a5＋a8＋a11＝________. 解析　∵a1＋a2＋a3＋…＋a12＝21， ∴a1＋a12＝a2＋a11＝a3＋a10＝a4＋a9＝a5＋a8＝a6＋a7＝＝， ∴a2＋a5＋a8＋a11＝7. 答案　7 13．已知首项为a1，公差d为正整数的等差数列{an}满足下列两个条件：①a3＋a5＋a7＝93；②满足an>100的n的最小值是15.试求公差d和首项a1的值． 解析　因为a3＋a5＋a7＝93， 所以3a5＝93，所以a5＝31， 所以an＝a5＋(n－5)d>100， 所以n>＋5. 因为n的最小值是15，所以14≤＋5<15， 所以6<d≤7， 又d为正整数，所以d＝7，a1＝a5－4d＝3. [核心素养·探索创新] 14．等差数列{an}，{bn}满足对任意n∈N*都有＝，则＋＝________. 解析　由等差数列的性质可得b3＋b9＝b4＋b8＝2b6，a7＋a5＝2a6， 所以＋＝＝＝＝1. 答案　1 15．两个等差数列5,8,11，…和3,7,11，…都有100项，那么它们共有多少相同的项？ 解析　设已知的两数列的所有相同的项构成的新数列为{cn}，c1＝11， 又等差数列5,8,11，…的通项公式为an＝3n＋2， 等差数列3,7,11，…的通项公式为bn＝4n－1. 所以数列{cn}为等差数列，而已知的两个数列的公差分别为3和4， 所以{cn}的公差d＝3×4＝12，① 所以cn＝11＋(n－1)×12＝12n－1. 又a100＝302，b100＝399，cn＝12n－1≤302，② 得n≤25，可见已知两数列共有25个相同的项． 学科网（北京）股份有限公司 $