第4章 数列 章末整合提升（Word教参）-【精讲精练】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册（人教A版）

该高中数学讲义通过表格系统梳理数列通项公式求法、等差等比数列运算及判断等核心内容，将公式法、构造法等方法分类呈现，分点讲解数列求和的裂项相消、错位相减等技巧，清晰呈现知识脉络与内在联系。 讲义亮点在于分层例题设计，如用裂项相消法解决数列求和问题，通过错位相减法规范答题步骤，培养学生数学思维与符号意识。基础题巩固方法，综合题提升能力，助力教师实施分层教学，支持学生自主复习。

(一)数列通项公式的求法 数列的通项公式是给出数列的主要方式，其本质就是函数的解析式．围绕数列的通项公式，不仅可以判断数列的类型，研究数列的项的变化趋势与规律，而且有利于求数列的前n项和．求数列的通项公式是数列的核心问题之一，主要方法有： 公式法 应用等差(等比)数列的通项公式求通项 构造法 利用递推公式构造新的数列(等差或等比) 累加法 形如an＋1－an＝f(n)型的递推公式求通项公式 累乘法 形如＝f(n)型的递推公式求通项公式 利用an＝ 由含Sn的关系式求an适合此法 　各项非零的数列{an}中，首项a1＝1，且2S＝2anSn－an(n≥2)，求数列的通项公式． [解析]　∵2S＝2anSn－an，n≥2， 且an＝Sn－Sn－1， ∴2S＝2S－2SnSn－1－Sn＋Sn－1， 整理，得－＝2，n≥2， ∴数列是以＝1为首项，以2为公差的等差数列． ∴＝1＋(n－1)·2＝2n－1， 即Sn＝， ∴an＝Sn－Sn－1＝－ ＝－，n≥2， 又a1＝1，不适合上式， ∴an＝ (二)等差(比)数列的基本运算 在等差(等比)数列的通项公式和前n项和公式中，含有5个基本量，即a1，d(q)，an，n，Sn.知道其中的三个，可以求出其余的两个，称为“知三求二”型．在解决等差(等比)数列的问题中，往往是化为基本量的运算，有时也可灵活使用等差(等比)数列的性质解题． 　等比数列{an}中，已知a1＝2，a4＝16. (1)求数列{an}的通项公式； (2)若a3，a5分别为等差数列{bn}的第3项和第5项，试求数列{bn}的通项公式及前n项和Sn. [解析]　(1)设{an}的公比为q， 由已知得16＝2q3， 解得q＝2，∴an＝2×2n－1＝2n. (2)由(1)得a3＝8，a5＝32， 则b3＝8，b5＝32. 设{bn}的公差为d，则有 解得 所以bn＝－16＋12(n－1)＝12n－28. 所以数列{bn}的前n项和 Sn＝＝6n2－22n. (三)等差数列、等比数列的判断 1．判断一个数列为等差数列的常用方法 (1)定义法：an＋1－an＝d(常数)(n∈N*)⇔{an}为等差数列． (2)等差中项法：2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)⇔{an}为等差数列． (3)通项公式法：an为n的一次函数⇔{an}为等差数列． (4)前n项和法：Sn是An2＋Bn的形式⇔{an}为等差数列． 2．判断一个数列是等比数列的常用方法 (1)定义法：＝q(q为常数且不为零)⇔{an}为等比数列． (2)等比中项法：a＝anan＋2(n∈N*且an≠0)⇔{an}为等比数列． (3)通项公式法：an＝a1qn－1(a1≠0且q≠0)⇔{an}为等比数列． 　已知数列{an}满足a1＝1，a2＝2，an＋2＝，n∈N*. (1)令bn＝an＋1－an，证明：{bn}是等比数列； (2)求{an}的通项公式． (1)[证明]　由已知条件得b1＝a2－a1＝1， 当n≥2时， bn＝an＋1－an＝－an＝－， 即bn＝－bn－1. ∴{bn}是以b1＝1为首项，q＝－为公比的等比数列． (2)[解析]　由(1)得bn＝an＋1－an＝n－1， 当n≥2时， an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1 ＝bn－1＋bn－2＋…＋b1＋a1 ＝＋1＝－·n－1. 当n＝1时，a1＝1也满足上式， ∴an＝－·n－1(n∈N*)． (四)数列求和　　　　　　　　　　　　　　　　　 (题点多探、多维探究) 数列的求和问题是数列中的重点问题，要掌握一些简单数列的求和方法，并应用数列求和解决一些数列问题，数列求和常用的方法有：①公式法(即直接应用等差数列、等比数列的求和公式求解)，②倒序相加法，③错位相减法，④裂项相消法，⑤分组转化法(即把数列的每一项分成多个项或把数列的项重新组合，使其转化为等差数列或等比数列，然后由等差数列、等比数列的求和公式求解)． 角度1　裂项相消法 　在数列中，a1＝1，n(n＋1)(an＋1－an)＝1(n∈N*)，则a2025＝(　　) A．　　　　　　　 B． C．1 D． [解析]　由n＝1， 得an＋1－an＝＝－， 所以an＝＋＋…＋＋a1 ＝＋＋…＋＋1 ＝－＋1＋1＝， 所以a2025＝.故选A． [答案]　A 　已知数列{an}的前n项和为Sn，且数列是首项为1，公差为的等差数列． (1)求{an}的通项公式； (2)设bn＝，数列{bn}的前n项和为Tn，求证：Tn<. (1)[解析]　由题意＝1＋(n－1)·＝n－， 所以Sn＝n2－n， 当n＝1时，a1＝S1＝－＝1； 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－＝3n－2， 又a1＝1适合上式， 所以数列{an}的通项公式为an＝3n－2(n∈N*)． (2)[证明]　由(1)得an＝3n－2， 可得bn＝＝ ＝， 所以Tn＝b1＋b2＋…＋bn ＝ ＝， 因为>0，所以Tn<. 角度2　错位相减法 [规范答题] 　(15分)(2024·全国甲卷)记Sn为数列{an}的前n项和，已知4Sn＝3an＋4. (1)求{an}的通项公式； (2)设bn＝(－1)n－1nan，求数列{bn}的前n项和Tn. [思维导引] 明知求 求通项公式和前n项和 探思路 由an和Sn的关系求通项，利用错位相减法求和 [规范解答]　(1)因为4Sn＝3an＋4①， 所以当n≥2时，4Sn－1＝3an－1＋4②，………………………………………2分 则当n≥2时，①－②得4an＝3an－3an－1， 即an＝－3an－1.…………………………………………………………………4分 当n＝1时，由4Sn＝3an＋4得4a1＝3a1＋4， 所以a1＝4≠0，………………………………………………………………5分 所以数列{an}是以4为首项，－3为公比的等比数列，所以an＝4×(－3)n－1.6分 (2)因为bn＝(－1)n－1nan＝(－1)n－1n×4×(－3)n－1＝4n·3n－1，………………7分 所以Tn＝4×30＋8×31＋12×32＋…＋4n·3n－1，…………………………8分 所以3Tn＝4×31＋8×32＋12×33＋…＋4n·3n，……………………………9分 上面两式相减得－2Tn＝4＋4(31＋32＋…＋3n－1)－4n·3n＝4＋4×－4n·3n＝－2＋(2－4n)·3n， 所以Tn＝1＋(2n－1)·3n. ……………………………………………………15分 学科网（北京）股份有限公司 $