第4章 教考衔接1 构造法求解数列问题（Word教参）-【精讲精练】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册（人教A版）

本高中数学讲义聚焦数列递推关系构造新数列这一核心知识点，通过2019年全国卷Ⅱ真题引入，溯源教材基础题，系统梳理形如aₙ₊₁=paₙ+f(n)、相邻项差及倒数为特殊数列等类型的构造方法，搭建从真题到教材再到方法归纳的学习支架。 资料特色在于真题与教材紧密结合，通过分类探究培养学生用数学眼光观察递推式特征，用数学思维推理构造新数列（如等比、等差），用数学语言表达通项公式。课中辅助教师系统授课，课后助力学生通过典型例题巩固，查漏补缺，提升解决数列问题的能力。

一、真题展示 (2019·全国卷Ⅱ)已知数列{an}和{bn}满足a1＝1，b1＝0,4an＋1＝3an－bn＋4,4bn＋1＝3bn－an－4. (1)证明：{an＋bn}是等比数列，{an－bn}是等差数列； (2)求{an}和{bn}的通项公式． 二、真题溯源 [教材P41第11题] 已知数列{an}的首项a1＝，且满足an＋1＝. (1)求证：数列为等比数列； (2)若＋＋＋…＋<100，求满足条件的最大整数n. 三、类法探究 高考中与数列相关的计算与证明问题中经常出现利用递推关系构造新数列问题，此类问题一般含有一定的技巧性，难度中等． 类型一　形如an＋1＝pan＋f(n)型 　(1)(多选题)数列{an}的首项为1，且an＋1＝2an＋1，Sn是数列{an}的前n项和，则下列结论正确的是(　　) A．a3＝7 B．数列{an＋1}是等比数列 C．an＝2n－1 D．Sn＝2n＋1－n－1 (2)已知数列{an}的前n项和为Sn，an＋1＝Sn＋2n＋1，a1＝2，则Sn＝(　　) A．(n＋1)·2n　　　 B．(n＋1)·2n－1 C．n·2n－1 D．n·2n [解析]　(1)∵an＋1＝2an＋1， 可得an＋1＋1＝2(an＋1)， 又a1＋1＝2， ∴数列{an＋1}是以2为首项，2为公比的等比数列，故B正确； 则an＋1＝2n，∴an＝2n－1，故C错误； 则a3＝7，故A正确； ∴Sn＝－n＝2n＋1－n－2，故D错误． 故选AB． (2)因为an＋1＝Sn＋2n＋1，则Sn＋1－Sn＝Sn＋2n＋1，于是得－＝1， 因此数列是公差为1的等差数列，首项＝1，则＝1＋(n－1)×1＝n，所以Sn＝n·2n. 故选D． [答案]　(1)AB　(2)D 1．形如an＋1＝αan＋β(α≠0,1，β≠0)的递推式可用构造法求通项，构造法的基本原理是在递推关系的两边加上相同的数或相同性质的量，构造数列的每一项都加上相同的数或相同性质的量，使之成为等差数列或等比数列． 2．递推公式an＋1＝αan＋β的推广式an＋1＝αan＋β×γn(α≠0,1，β≠0，γ≠0,1)，两边同时除以γn＋1后得到＝·＋，转化为bn＋1＝kbn＋(k≠0,1)的形式，通过构造公比是k的等比数列求解．　 类型二　相邻项的差为特殊数列(形如an＋1＝pan＋qan－1型) 　甲、乙两人拿两颗质地均匀的骰子做抛掷游戏．规则如下：由一人同时掷两颗骰子，观察两颗骰子向上的点数之和，若两颗骰子的点数之和为两位数，则由原掷骰子的人继续掷；若掷出的点数之和不是两位数，就由对方接着掷．第一次由甲开始掷，设第n次由甲掷的概率为Pn，则P3＝________，求Pn与Pn－1的关系，Pn＝________. [解析]　两颗骰子的点数之和为两位数的概率为＝. 第n次由甲掷有两种情况： ①第n－1次由甲掷，第n次由甲掷，概率为Pn－1； ②第n－1次由乙掷，第n次由甲掷， 概率为(1－Pn－1)． 这两种情况是互斥的，所以当n≥2时，Pn＝Pn－1＋(1－Pn－1)，即Pn＝－Pn－1＋， 所以Pn－＝－， P1－＝1－＝， 则数列是以为首项，－为公比的等比数列， 所以Pn＝＋n－1，所以P3＝. [答案]　　－Pn－1＋(n≥2) 可以化为an＋1－x1an＝x2(an－x1an－1)，其中x1，x2是方程x2－px－q＝0的两个根，若1是方程的根，则直接构造数列{an－an－1}，若1不是方程的根，则需要构造两个数列，采取消元的方法求数列{an}．　 类型三　倒数为特殊数列 　(多选题)(2025·河池期末)数列满足an＋1＝，a1＝1，则下列说法正确的是(　　) A．数列是递减数列 B．数列是等差数列 C．数列是等比数列 D．a10＝ [解析]　∵a1＝1，根据递推公式可得an>0， ∵an＋1＝， ∴＝＝1＋， ∴＋1＝＋2＝2， ∴数列是首项为2，公比为2的等比数列，故C正确； ∴＋1＝2n，∴＝2n－1， 即an＝，随着n的增大an减小，故A正确； a2－a1＝－1＝－≠a3－a2＝－＝－，故数列不是等差数列，即B错误； ∴a10＝＝，故D错误． 故选AC． [答案]　AC 两边同时取倒数转化为＝·＋的形式，化归为bn＋1＝pbn＋q型，求出的表达式，再求an.　 学科网（北京）股份有限公司 $