第4章 高考新风向(1) “数列＋”新定义类64（Word教参）-【精讲精练】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册（人教A版）

本高中数学讲义聚焦高考数列新定义问题，系统梳理符号变换型、递推创新型等四类设计类型，构建“定义理解—信息提取—加工转化—深度解析”的模型化解题步骤，并通过“速增数列”判断与参数求解例题及等积数列、等方差数列进阶训练，搭建从基础到应用的学习支架。 资料以新课标核心素养为导向，通过新定义情境培养学生数学抽象能力（数学眼光），借助推理与运算发展逻辑思维（数学思维），依托模型化步骤与实例应用提升数学表达（数学语言）。课中辅助教师高效授课，课后助力学生通过典型例题与进阶训练巩固知识，查漏补缺。

[类型解读] 高考中数列新定义问题一般从以下几个方面进行设计： (1)符号变换型：通过特殊符号定义新运算； (2)递推创新型：建立非传统递推关系； (3)周期规律型：隐式或显式的周期性定义； (4)应用模型型：结合实际问题建立数列模型． 新定义问题的求解过程可以模型化，一般步骤如下所示： 　如果数列对任意的n∈N*，an＋2－an＋1>an＋1－an，则称为“速增数列”． (1)判断数列是否为“速增数列”？说明理由； (2)若数列为“速增数列”，且任意项an∈Z，a1＝1，a2＝2，ak＝2024，求正整数k的最大值． [提取信息]　题干中给出“速增数列”的定义：对任意的n∈N*，an＋2－an＋1>an＋1－an，则称为“速增数列”，即解答过程中直接使用定义求解． [加工转化]　(1)按照新定义，判断3n＋2－3n＋1>3n＋1－3n是否成立，提取公因式后利用作差进行判断； (2)根据新定义有a2－a1＝1，a3－a2≥2，a4－a3≥3，…，ak－ak－1≥k－1，累加得ak－a1≥，再结合已知求参数最大值． [深度解析]　(1)数列为“速增数列”．理由如下： 易知数列对∀n∈N*，有an＋2－an＋1＝3n＋2－3n＋1＝2×3n＋1，an＋1－an＝3n＋1－3n＝2×3n， 所以－＝2×3n＋1－2×3n＝4×3n>0，即an＋2－an＋1>an＋1－an， 所以数列为“速增数列”． (2)因为数列为“速增数列”，an∈Z，a1＝1， a2＝2， 所以对∀n∈N*，有an＋2－an＋1>an＋1－an，且 a2－a1＝1， 所以a3－a2≥2，a4－a3≥3，…，ak－ak－1≥k－1， 累加得＋＋…＋ak－ak－1≥1＋2＋3＋…＋＝， 所以ak－a1≥， 由ak＝2024，得k≤4046， 又64×63＝4032,65×64＝4160， 所以正整数k的最大值为64. [进阶训练] 1．(2025·许昌期末)在数列中，如果∀n∈N*，都有anan＋1an＋2＝K(K为常数)，那么这个数列叫做等积数列，K叫做这个数列的公积．已知是等积数列，a3＝1，a5＝2，公积为4，则a1＋a2＋…＋a2025＝________. 解析　由a3＝1，a5＝2，且a3a4a5＝4，则a4＝2，同理解得a1＝2，a2＝2，由题意可得下表： n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 … an 2 2 1 2 2 1 2 2 1 … 数列的最小正周期T＝3，由2025÷3＝675， 则a1＋a2＋…＋a2025＝675×＝675×5＝3375. 答案　3375 2．(2025·滨州期末)定义“等方差数列”：如果一个数列从第二项起，每一项的平方与它的前一项的平方的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等方差数列，这个常数叫做该数列的方公差．设数列是由正数组成的等方差数列，且方公差为1，a1＝2，则数列的前n项和Sn＝________. 解析　由题意可知：a－a＝1，又a＝4，故为等差数列， 故a＝4＋(n－1)＝n＋3，故an＝， 故＝＝－， 故数列的前n项和Sn＝(－)＋＋…＋＝－2. 答案　－2 学科网（北京）股份有限公司 $