第4章 4.3.1 第2课时 等比数列的性质及应用（Word教参）-【精讲精练】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册（人教A版）

本讲义聚焦等比数列的性质及应用核心知识点，系统梳理项的乘积性质（若m+n=p+q则aₘaₙ=aₚa_q）、子数列性质等内容，衔接前期等比数列定义与通项公式，搭建从性质理解到综合应用及实际问题解决的学习支架。 资料通过正误判断夯实基础，分层设计性质应用、等差等比综合、实际建模等题型，强化数学思维与数学语言。如“插入n个数求积”题培养抽象推理能力，“工厂产值增长”问题发展数学建模与应用意识，课中助力教师系统教学，课后便于学生巩固查漏。

第2课时　等比数列的性质及应用 导学　等比数列的性质 (1)若数列{an}，{bn}是项数相同的等比数列，则{an·bn}也是等比数列．特别地，若{an}是等比数列，c是不等于0的常数，则{c·an}也是等比数列． (2)在等比数列{an}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则aman＝apaq. (3)数列{an}是有穷数列，则与首、末两项等距离的两项的积相等，且等于首、末两项的积． (4)在等比数列{an}中，每隔k项取出一项，按原来的顺序排列，所得新数列仍为等比数列，公比为qk＋1. (5)当m，n，p(m，n，p∈N*)成等差数列时，am，an，ap成等比数列． 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)当q>1时，等比数列{an}为递增数列．(　　) (2)当q＝1时，等比数列{an}为常数列．(　　) (3){an}是等比数列，若m＋n＝p，则am·an＝ap.(　　) (4)若等比数列{an}的公比是q，则an＝amqm－n(m，n∈N*)．(　　) 答案　(1)×　(2)√　(3)×　(4)× 2．对任意等比数列{an}，下列说法一定正确的是(　　) A．a1，a3，a9成等比数列 B．a2，a3，a6成等比数列 C．a2，a4，a8成等比数列 D．a3，a6，a9成等比数列 答案　D 3．在等比数列{an}中，a1＋a2＝1，a3＋a4＝9，那么a4＋a5＝(　　) A．27　　　　　　　　　 B．27或－27 C．81 D．81或－81 解析　＝＝q2＝9.所以q＝±3. 所以a4＋a5＝(a3＋a4)·q＝±27. 答案　B 4．已知等比数列{an}中，a2＝4，a7＝，则a3a6＋a4a5的值是________. 解析　a3a6＋a4a5＝a2a7＋a2a7＝2a2a7＝2×4×＝. 答案　 题型一　等比数列的性质 　(1)在1与100之间插入n个正数，使这n＋2个数成等比数列，则插入的n个数的积为(　　) A．10n　　　　　　　 B．n10 C．100n D．n100 (2)(2024·丽江模拟)等比数列的各项均为正数，且a4a5＋a3a6＝4，则a1a2a3…a7a8＝(　　) A．8 B．16 C．32 D．64 [解析]　(1)设这n＋2个数为a1，a2，…，an＋1，an＋2， 则a2·a3·…·an＋1＝(a1an＋2)＝100＝10n. (2)由题意，a4a5＋a3a6＝4⇒2a4a5＝4⇒a4a5＝2，所以a1a2a3…a7a8＝4＝16. 故选B． 答案　(1)A　(2)B 利用等比数列的性质解题的基本思路 (1)充分发挥项的“下标”的指导作用，分析等比数列项与项之间的关系，选择恰当的性质解题． (2)在等比数列的有关运算中，常常涉及次数较高的指数运算，往往是建立关于a1，q的方程组求解，但这样解起来很麻烦．此时，常利用等比数列的性质求解，往往可使问题简单明了． [注意]　在应用等比数列的性质解题时，需时刻注意等比数列性质成立的前提条件．　 [触类旁通] 1．(2025·泰安期末)已知在等比数列中，a2＋a4＝1，a6＋a8＝9，则a4＝(　　) A． B．－ C．－ D． 解析　因为是等比数列，所以a6＋a8＝q4＝q4＝9，所以q2＝3， 所以＋a4＝＋a4＝1，解得a4＝. 故选A． 答案　A 2．在各项均为正数的等比数列中，若a1a7＝9，则2－a4＝(　　) A．6 B．12 C．56 D．78 解析　在各项均为正数的等比数列中，由等比数列的性质可得： 由a＝a1a7＝9，解得a4＝3. 所以a2a6＝a1a7＝9， 所以2－a4＝92－3＝78. 故选D． 答案　D 题型二　等差、等比数列的综合应用 　数列{an}的前n项和记为Sn，a1＝1，an＋1＝2Sn＋1(n≥1)． (1)求{an}的通项公式； (2)等差数列{bn}的各项为正，其前n项和为Tn，且T3＝15，又a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3成等比数列，求Tn. [解析]　(1)由an＋1＝2Sn＋1， 可得an＝2Sn－1＋1(n≥2)， 两式相减，得an＋1－an＝2an， 即an＋1＝3an(n≥2)． 又a2＝2S1＋1＝3，∴a2＝3a1. 故{an}是首项为1，公比为3的等比数列， ∴an＝3n－1. (2)设{bn}的公差为d， 由T3＝15，得b1＋b2＋b3＝15，可得b2＝5， 故可设b1＝5－d，b3＝5＋d. 又a1＝1，a2＝3，a3＝9， 由题意可得(5－d＋1)(5＋d＋9)＝(5＋3)2. 解得d1＝2，d2＝－10. ∵等比数列{bn}的各项为正， ∴d>0，∴d＝2. Tn＝3n＋×2＝n2＋2n. 等差数列 等比数列 不同点 (1)强调每一项与前一项的差； (2)a1和d可以为零； (3)等差中项唯一 (1)强调每一项与前一项的比； (2)a1与q均不为零； (3)等比中项有两个值 相同点 (1)都强调每一项与前一项的关系； (2)公差与公比都必须是常数； (3)数列都可以由a1，d或a1，q确定 联系 (1)若{an}为正项等比数列，则{logaan}为等差数列； (2){an}为等差数列，则{ban}为等比数列 [触类旁通] 3．在等比数列{an}中，a2＝3，a5＝81. (1)求an； (2)设bn＝log3an，求数列{bn}的前n项和Sn. 解析　(1)设{an}的首项为a1，公比为q，依题意得 解得因此an＝3n－1. (2)因为bn＝log3an＝n－1， 所以数列{bn}的前n项和Sn＝＝ . 题型三　等比数列的实际应用 　[教材例6·提升]某工厂2024年1月的生产总值为a万元，计划从2024年2月起，每月生产总值比上一个月增长m%，那么到2025年8月底该厂的生产总值为多少万元？ [解析]　设从2024年1月开始，第n个月该厂的生产总值是an万元，则an＋1＝an＋anm%， ∴＝1＋m%. ∴数列{an}是首项a1＝a，公比q＝1＋m%的等比数列． ∴an＝a(1＋m%)n－1. ∴2025年8月底该厂的生产总值为 a20＝a(1＋m%)20－1＝a(1＋m%)19(万元)． [素养聚焦] 通过等比数列的实际应用，把数学建模与数学运算体现在解题过程中． 数列实际应用题常与现实生活和生产实际中的具体事件相联系，建立数学模型是解决这类问题的核心，常用的方法有：①构造等差、等比数列的模型，然后用数列的通项公式或求和公式求解；②通过归纳得到结论，再用数列知识求解．　 [触类旁通] 4．某人买了一辆价值13.5万元的新车，专家预测这种车每年按10%的速度贬值． (1)用一个式子表示第n(n∈N*)年这辆车的价值； (2)如果他打算用满4年时卖掉这辆车，他大概能得到多少钱？ 解析　(1)从第一年起，每年车的价值(万元)依次设为a1，a2，a3，…，an， 由题意，得a1＝13.5，a2＝13.5(1－10%)， a3＝13.5(1－10%)2，…. 由等比数列定义，知数列{an}是等比数列，首项a1＝13.5，公比q＝1－10%＝0.9， ∴an＝a1·qn－1＝13.5×0.9n－1. ∴第n年车的价值为an＝13.5×0.9n－1万元． (2)当他用满4年时，车的价值为a5＝13.5×0.95－1≈8.857. ∴用满4年卖掉时，他大概能得到8.857万元． 知识落实 技法强化 (1)等比数列的性质． (2)等差、等比数列的综合应用． (3)等比数列的实际应用. 解决等比数列的问题，通常考虑两种方法 (1)基本量法：利用等比数列的基本量a1，q，先求公比，后求其他量． (2)数列性质：等比数列相邻几项的积成等比数列、与首末项等距离的两项的积相等、等比中项的性质等在解题中经常被用到. 学科网（北京）股份有限公司 $