第4章 4.2.1 第2课时 等差数列的性质（Word教参）-【精讲精练】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册（人教A版）

本讲义聚焦高中数学中等差数列的性质这一核心知识点，在学生掌握等差数列定义及通项公式的基础上，通过三个具体等差数列实例引导观察奇数项、偶数项及下标成等差数列的项的特征，归纳出项的关系、和的性质、子数列特性等六条性质，构建从具体到抽象的学习支架。 资料以“观察—探究—归纳—应用”为主线，通过一题多解（如性质应用的基本量法与性质法）和灵活设元技巧（如三数设为a-d,a,a+d）培养学生数学思维，结合养鸡业规模调查、《张丘建算经》问题等实际案例，引导学生用数学语言表达现实问题。课中辅助教师开展探究式教学，课后通过练习题与触类旁通帮助学生巩固知识、查漏补缺。

第2课时　等差数列的性质 导学　等差数列的性质 给出以下3个等差数列： (1)1,4,7,10,13，…，公差为3. (2)－2，－4，－6，－8，－10，…，公差为－2. (3)3,3,3,3,3，…，公差为0. 　针对上述3个等差数列观察分析：等差数列中的奇数项构成的数列是否为等差数列？偶数项呢？所有下标成等差数列的项构成的数列呢？ [提示]　奇数项、偶数项、下标成等差数列的项构成的数列均为等差数列． 　在数列(1)中，请你计算a1＋a5，a2＋a4，它们有何关系？在(2)(3)两个数列中是否也有这样的关系？ [提示]　a1＋a5＝a2＋a4，在(2)(3)中也有这种关系． 　针对数列(1)，我们计算了a1＋a5与a2＋a4的值，它们和a3的关系是什么？在(2)(3)两个数列中是否也有这样的关系？ [提示]　a1＋a5＝a2＋a4＝2a3，在(2)(3)中也满足这种关系． ◎结论形成 　等差数列的性质 (1)若{an}是公差为d的等差数列，则an＝am＋(n－m)d，d＝(m，n∈N*)． (2){an}是公差为d的等差数列，若正整数p，q，s，t满足p＋q＝s＋t，则ap＋aq＝as＋at. ①特别地，当p＋q＝2k(m，n，k∈N*)时，ap＋aq＝2ak. ②对有穷等差数列，与首末两项“等距离”的两项之和等于首末两项的和，即a1＋an＝a2＋an－1＝…＝ak＋an－k＋1＝…. (3)从等差数列中，每隔一定的距离抽取一项，组成的数列仍为等差数列． (4)若{an}是公差为d的等差数列，则 ①{c＋an}(c为任一常数)是公差为d的等差数列； ②{can}(c为任一常数)是公差为cd的等差数列； ③{an＋an＋k}(k为常数，k∈N*)是公差为2d的等差数列． (5)若{an}，{bn}分别是公差为d1，d2的等差数列，则数列{pan＋qbn}(p，q是常数)是公差为pd1＋qd2的等差数列． (6)等差数列{an}的公差为d，则d>0⇔{an}为递增数列；d<0⇔{an}为递减数列；d＝0⇔{an}为常数列. 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若{an}是等差数列，则{|an|}也是等差数列．(　　) (2)若{|an|}是等差数列，则{an}也是等差数列．(　　) (3)若{an}是等差数列，则对任意n∈N*都有2an＋1＝an＋an＋2.(　　) (4)等差数列{an}不是递增数列就是递减数列．(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)× 2．在等差数列{an}中，a100＝120，a90＝100，则公差d等于(　　) A．2　　　　　　　　 B．20 C．100 D．不确定 解析　因为a100－a90＝10d， 即120－100＝10d，所以d＝2. 答案　A 3．已知{an}为等差数列，a1＋a3＋a5＝9，a2＋a4＋a6＝15，则a3＋a4＝(　　) A．5 B．6 C．7 D．8 答案　D 4．如果等差数列{an}中，a1＝2，a3＝6，则数列{2an－3}是公差为________的等差数列． 解析　因为a3－a1＝6－2＝4， 所以2d＝4，即d＝2. 所以{2an－3}的公差为2d＝4. 答案　4 题型一　等差数列的性质　　　　　　　　　　　　　　　　　 (一题多解) 　(1)已知{an}为等差数列，a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450，则a2＋a8的值为________. (2)设数列{an}，{bn}都是等差数列，若a1＋b1＝7，a3＋b3＝21，则a5＋b5＝________. [解析]　(1)法一　根据等差数列通项公式得a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝(a1＋2d)＋(a1＋3d)＋(a1＋4d)＋(a1＋5d)＋(a1＋6d)＝5a1＋20d＝450， ∴a1＋4d＝90. ∴a2＋a8＝2a＋8d＝2(a1＋4d)＝180. 法二　∵a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450， 由等差数列的性质知：a3＋a7＝a4＋a6＝2a5. ∴5a5＝450.∴a5＝90. ∴a2＋a8＝2a5＝180. (2)法一　设数列{an}，{bn}的公差分别为d1，d2，因为a3＋b3＝(a1＋2d1)＋(b1＋2d2)＝(a1＋b1)＋2(d1＋d2)＝7＋2(d1＋d2)＝21， 所以d1＋d2＝7， 所以a5＋b5＝(a3＋b3)＋2(d1＋d2)＝21＋2×7＝35. 法二　∵数列{an}，{bn}都是等差数列， ∴数列{an＋bn}也构成等差数列， ∴2(a3＋b3)＝(a1＋b1)＋(a5＋b5)， ∴2×21＝7＋a5＋b5， ∴a5＋b5＝35. [答案]　(1)180　(2)35 等差数列运算的两条常用思路 (1)根据已知条件，列出关于a1，d的方程(组)，确定a1，d，然后求其他量． (2)利用性质巧解，观察等差数列中项的序号，若满足m＋n＝p＋q＝2r(m，n，p，q，r∈N*)，则am＋an＝ap＋aq＝2ar.　 [触类旁通] 1．等差数列{an}中． (1)若a7＝m，a14＝n，则a21＝________. (2)若a1＋a3＋a5＝－1，则a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝________. 解析　(1)∵a7，a14，a21成等差数列， ∴a7＋a21＝2a14， ∴a21＝2a14－a7＝2n－m. (2)∵a1＋a3＋a5＝(a1＋a5)＋a3＝2a3＋a3＝3a3＝－1， ∴a3＝－， ∴a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝5a3＝5×＝－. 答案　(1)2n－m　(2)－ 题型二　灵活设元求解等差数列 (一题多解) 　(1)三个数成等差数列，其和为9，前两项之积为后一项的6倍，求这三个数； (2)四个数成递增等差数列，中间两项的和为2，首末两项的积为－8，求这四个数． [解析]　(1)设这三个数依次为a－d，a，a＋d， 则 解得∴这三个数为4,3,2. (2)法一　设这四个数为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d(公差为2d)， 依题意，2a＝2，且(a－3d)(a＋3d)＝－8， 即a＝1，a2－9d2＝－8， ∴d2＝1，∴d＝1或d＝－1. 又四个数成递增等差数列，所以d＞0， ∴d＝1，故所求的四个数为－2,0,2,4. 法二　若设这四个数为a，a＋d，a＋2d，a＋3d(公差为d)， 依题意，2a＋3d＝2，且a(a＋3d)＝－8， 把a＝1－d代入a(a＋3d)＝－8， 得＝－8， 即1－d2＝－8， 化简得d2＝4，所以d＝2或－2. 又四个数成递增等差数列，所以d＞0， 所以d＝2，a＝－2. 故所求的四个数为－2,0,2,4. 常见设元技巧 (1)某两个数是等差数列中的连续两个数且知其和，可设这两个数为a－d，a＋d，公差为2d. (2)三个数成等差数列且知其和，常设这三个数为a－d，a，a＋d，公差为d. (3)四个数成等差数列且知其和，常设这四个数为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，公差为2d.　 [触类旁通] 2．已知成等差数列的四个数，四个数之和为26，第二个数与第三个数之积为40，求这个等差数列． 解析　设这四个数依次为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d(公差为2d)． 由题设知 解得或 ∴这个数列为2,5,8,11或11,8,5,2. 题型三　等差数列的实际应用 　[教材例3·拓展]甲、乙两人连续6年对某县农村养鸡业规模进行调查，提供两个不同的信息图如图．甲调查表明：从第1年每个养鸡场出产1万只鸡上升到第6年平均每个养鸡场出产2万只鸡．乙调查表明：由第1年养鸡场个数30个减少到第6年10个． 　　　　　　　　　　　　甲　　　　　　　　　乙 请你根据提供的信息回答问题． (1)第2年养鸡场的个数及全县出产鸡的总只数； (2)到第6年这个县的养鸡业规模比第1年是扩大了还是缩小了？请说明理由． [解析]　由题图可知，从第1年到第6年平均每个养鸡场出产的鸡数成等差数列，记为{an}，公差为d1，且a1＝1，a6＝2；从第1年到第6年的养鸡场个数也成等差数列，记为{bn}，公差为d2，且b1＝30，b6＝10；从第1年到第6年全县出产鸡的总只数记为数列{cn}，则cn＝anbn. (1)由a1＝1，a6＝2，得 ∴得a2＝1.2. 由b1＝30，b6＝10，得 ∴得b2＝26. ∴c2＝a2b2＝1.2×26＝31.2， 即第2年养鸡场有26个，全县出产鸡31.2万只． (2)∵c6＝a6b6＝2×10＝20<c1＝a1b1＝30， ∴到第6年这个县的养鸡业规模比第1年缩小了． [素养聚焦] 通过等差数列的实际应用，把数学建模和数学运算等核心素养体现在解题过程中． 解答数列实际应用问题的基本步骤 　 [触类旁通] 3．古代中国数学辉煌灿烂，在《张丘建算经》中记载：“今有十等人，大官甲等十人，官赐金，依等次差降之．上三人先入，得金四斤，持出；下四人后入，得金三斤，持出；中央三人未到者，亦依等次更给．问各得金几何及未到三人复应得金几何？”则该问题中未到三人共得金________斤． 解析　设十人得金按等级依次设为a1，a2，…，a10， 则a1，a2，…，a10成等差数列， 且 设等差数列a1，a2，…，a10的公差为d， 则解得d＝－， 所以a4＋a5＋a6＝(a1＋a2＋a3)＋9d＝. 答案　 知识落实 技法强化 (1)由等差数列构造新的等差数列． (2)等差数列中任意两项之间的关系． (3)等差数列的实际应用. 不注意运用性质而出错或解法烦琐. 学科网（北京）股份有限公司 $