第4章 4.2.1 第1课时 等差数列的概念及简单表示（Word教参）-【精讲精练】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册（人教A版）

本讲义聚焦等差数列的概念、等差中项、通项公式及函数视角这一核心知识点，从奥运会举重级别、鞋码等生活实例引入，通过导学问题引导学生观察规律，抽象出定义，推导通项公式，再从函数角度深化理解，构建从具体到抽象的学习支架。 资料以情境化问题驱动学习，如用生活数列实例培养数学眼光，通过定义推导和判定提升逻辑推理等数学思维，结合函数分析强化数学语言表达。课中助力教师引导探究，课后学生可通过例题变式巩固，弥补知识盲点。

4.2　等差数列 4.2.1　等差数列的概念 学业标准 素养目标 1．理解等差数列的概念． 2．掌握等差数列的判定方法．(重点) 3．掌握等差数列的通项公式及等差中项的概念，并能简单应用．(难点) 4．能利用等差数列的性质解决相关的问题．(重点、难点) 1．通过等差数列概念的学习，培养数学抽象等核心素养． 2．根据等差数列的判断与证明，提升逻辑推理、数学运算等核心素养． 3．通过等差数列性质的学习，培养数学运算、逻辑推理等核心素养. 第1课时　等差数列的概念及简单表示 导学1　等差数列的定义 1．奥运会女子举重共设置7个级别，其中较轻的4个级别体重(单位：kg)分别为48,53,58,63. 2．鞋的尺码，按照国家规定，有22,22.5,23,23.5,24,24.5，…. 　上面两组数能构成数列吗？ [提示]　能． 　若上面两组数构成数列，试观察它们从第2项起，每一项与前一项的差有什么特点． [提示]　各等于同一个常数． ◎结论形成 定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示. 导学2　等差中项 　已知等差数列2,5,8,11,14,17，任意连续三项之间有什么样的关系？ [提示]　三个数成等差数列，且前一项与后一项的和是中间项的2倍． ◎结论形成 等差中项：如果三个数a，A，b成等差数列，这时A叫做a与b的等差中项，并且2A＝a＋b. 导学3　等差数列的通项公式 若一等差数列{an}的首项为a1，公差是d. 　试用a1，d表示a2，a3，a4. [提示]　a2＝a1＋d，a3＝a1＋2d，a4＝a1＋3d. 　由此猜想等差数列的通项公式an. [提示]　an＝a1＋(n－1)d. ◎结论形成 已知等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则： 递推公式 通项公式 an＋1－an＝d an＝a1＋(n－1)d 导学4　从函数角度认识等差数列 若数列{an}是等差数列，首项为a1，公差为d，则an＝a1＋(n－1)d＝dn＋(a1－d)． (1)an是一次函数f(x)＝dx＋(a1－d)当x＝n时的函数值； (2) 函数f(x)＝dx＋(a1－d)的图象表示的是斜率为d，截距为a1－d的直线，(n，an)为该直线上的点； (3)任意一次函数f(x)＝kx＋b(k，b为常数)，都可以构成等差数列{kn＋b}，其首项为(k＋b)，公差为k. 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)数列1,1,1,1,1是等差数列．(　　) (2)若一个数列从第2项起每一项与前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．(　　) (3)任意两个实数都有等差中项．(　　) (4)等差数列的公差是相邻两项的差．(　　) 答案　(1)√　(2)×　(3)√　(4)× 2．已知等差数列{an}中，首项a1＝4，公差d＝－2，则通项公式an等于(　　) A．4－2n　　　　　 B．2n－4 C．6－2n D．2n－6 解析　∵a1＝4，d＝－2， ∴an＝4＋(n－1)×(－2)＝6－2n. 答案　C 3．(多选题)数列{an}的通项公式an＝2n＋5，则此数列(　　) A．是公差为2的等差数列 B．是公差为5的等差数列 C．是首项为7的等差数列 D．是公差为n的等差数列 解析　∵an＝2n＋5＝2(n－1)＋7， ∴首项a1＝7，公差d＝2， 故选AC． 答案　AC 4．已知实数m是1和5的等差中项，则m＝(　　) A． B．± C．3 D．±3 答案　C 题型一　等差数列的通项公式及应用 　在等差数列{an}中． (1)已知a5＝－1，a8＝2，求a1与d； (2)已知a1＋a6＝12，a4＝7，求a9. [解析]　(1)∵a5＝－1，a8＝2， ∴解得 (2)设数列{an}的公差为d. 由已知得解得 ∴an＝1＋(n－1)×2＝2n－1， ∴a9＝2×9－1＝17. 在等差数列{an}中，首项a1与公差d是两个最基本的元素，有关等差数列的问题，如果条件与结论间的联系不明显，则均可化成有关a1，d的关系列方程组求解，但是要注意公式的变形及整体计算，以减少计算量．　 [触类旁通] 1．2026是等差数列4,6,8，…的(　　) A．第1009项　　　　　　 B．第1010项 C．第1011项 D．第1012项 解析　∵此等差数列的公差d＝2，∴an＝4＋(n－1)×2＝2n＋2，令2026＝2n＋2， ∴n＝1012. 答案　D 2．已知等差数列{an}中，a15＝33，a61＝217，试判断153是不是这个数列的项？如果是，是第几项？ 解析　设首项为a1，公差为d， 则an＝a1＋(n－1)d， 由已知 解得 所以an＝－23＋(n－1)×4＝4n－27， 令an＝153，即4n－27＝153，解得n＝45∈N*， 所以153是所给数列的第45项． 题型二　等差中项的应用 　已知等差数列{an}，满足a2＋a3＋a4＝18，a2a3a4＝66.求数列{an}的通项公式． [解析]　∵a2＋a3＋a4＝18， ∴3a3＝18，a3＝6. ∴解得或 当时，a1＝16，d＝－5， ∴an＝a1＋(n－1)d＝16＋(n－1)·(－5)＝－5n＋21. 当时，a1＝－4，d＝5， ∴an＝a1＋(n－1)d＝－4＋(n－1)·5＝5n－9. 三个数a，b，c成等差数列的条件是b＝(或2b＝a＋c)，可用来进行等差数列的判定或有关等差中项的计算问题．如若证{an}为等差数列，可证2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)．　 [触类旁通] 3．在－1与7之间顺次插入三个数a，b，c，使这五个数成等差数列，求此数列． 解析　∵－1，a，b，c,7成等差数列， ∴b是－1与7的等差中项，则b＝＝3， 又a是－1与3的等差中项， ∴a＝＝1. 又c是3与7的等差中项，∴c＝＝5. ∴该数列为－1,1,3,5,7. 题型三　等差数列的判定与证明 (一题多变) 　已知数列{an}，满足a1＝2，an＋1＝. (1)数列是否为等差数列？请说明理由； (2)求an. [解析]　(1)数列是等差数列，理由如下： ∵a1＝2，an＋1＝， ∴＝＝＋，∴－＝， 即是首项为＝， 公差为d＝的等差数列． (2)由上述可知＝＋(n－1)d＝， ∴an＝. [母题变式] 1．(变条件、变结论)将例题中的条件“a1＝2，an＋1＝”换为“a1＝4，an＝4－(n>1)，记bn＝”． (1)试证明数列{bn}为等差数列； (2)求数列{an}的通项公式． (1)证明　bn＋1－bn＝－ ＝－＝－ ＝＝. 又b1＝＝， ∴数列{bn}是首项为，公差为的等差数列． (2)解析　由(1)知bn＝＋(n－1)×＝n. ∵bn＝，∴an＝＋2＝＋2. ∴数列{an}的通项公式为an＝＋2. 2．(变条件、变结论)将例题中的条件“a1＝2，an＋1＝”换为“a1＝1，a2＝2,2an＋1＝2an＋3(n≥2，n∈N*)”．试判断数列{an}是否是等差数列． 解析　当n≥2时，由2an＋1＝2an＋3，得an＋1－an＝，但a2－a1＝1≠，故数列{an}不是等差数列． [素养聚焦] 通过等差数列的判断与证明，把逻辑推理、数学运算等核心素养体现在解题过程中． 等差数列的判定方法有以下三种： (1)定义法：an＋1－an＝d(常数)(n∈N*)⇔{an}为等差数列； (2)等差中项法：2an＋1＝an＋an＋2 (n∈N*)⇔{an}为等差数列； (3)通项公式法：an＝an＋b(a，b是常数，n∈N*)⇔{an}为等差数列．　 [触类旁通] 4．已知数列中，a1＝，an－an＋1＝2anan＋1. (1)证明：数列是等差数列． (2)求数列的通项公式． (1)证明　由已知得，＝2，－＝＝＝2， 所以数列是以2为首项，2为公差的等差数列． (2)解析　由(1)知，＝＋2(n－1)＝2n， ∴an＝. 知识落实 技法强化 (1)等差数列的有关概念． (2)等差数列的通项公式． (3)证明等差数列的方法. 证明数列是等差数列时常用定义法、公式法．但若要说明一个数列不是等差数列，则只需举出一个反例即可. 学科网（北京）股份有限公司 $