第4章 4.1 第1课时 数列的概念与简单表示法（Word教参）-【精讲精练】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册（人教A版）

本高中数学讲义聚焦“数列的概念与简单表示法”核心知识点，通过正整数倒数、彗星出现年份等实例引导学生观察数据有序排列特征，逐步归纳数列定义及项的概念，进而按项数与变化趋势（递增、递减等）分类，再探究通项公式与函数的关系（定义域为正整数集），构建“实例观察-概念抽象-分类辨析-关系理解”的学习支架。 资料以情境化问题链驱动概念生成，如“一尺之棰”剩余量等实例培养数学眼光，通过“观察-提示-结论形成”环节发展逻辑推理素养。例题分层设计，从基础判断到综合求通项公式，强化数学运算与抽象能力。课中助力教师引导探究，课后知识落实与技法强化部分帮助学生查漏补缺，提升自主学习效率。

4.1　数列的概念 学业标准 素养目标 1．理解数列的概念，了解数列的函数特性． 2．掌握数列的通项公式及应用．(重点) 3．理解递推公式并能应用．(难点) 4．掌握数列前n项和的概念，能由Sn求an.(重点) 1．通过数列概念的学习，培养数学抽象等核心素养． 2．通过学习递推公式，培养逻辑推理等核心素养． 3．通过由Sn求an，培养数学运算、逻辑推理等核心素养. 第1课时　数列的概念与简单表示法 导学1　数列的概念 观察下列示例，回答后面问题． (1)正整数1,2,3,4,5,6的倒数依次是1，，，，，. (2)－2的1次幂、2次幂、3次幂、4次幂依次是－2，4，－8，16. (3)人们在1740年发现了一颗彗星，并推算出这颗彗星每隔83年出现一次，那么从发现那次算起，这颗彗星出现的年份依次为1740,1823,1906,1989,2072，…. (4)“一尺之棰，日取其半，万世不竭”的意思为：一尺长的木棒，每日取其一半，永远也取不完．如果将“一尺之棰”视为1份，那么每日剩下的部分依次为，，，，，…. 　观察上面4个例子，它们都涉及了一些数，这些数的呈现有什么特点？ [提示]　按照一定的顺序排列． ◎结论形成 1．定义：按照确定的顺序排列的一列数称为数列． 2．项：数列中的每一个数叫做这个数列的项．a1称为数列{an}的第1项(或称为首项)，a2称为第2项，…，an称为第n项． 3．数列的表示：数列的一般形式是a1，a2，a3，…，an，…，简记为{an}. 导学2　数列的分类 　观察“导学1”中4个例子对应的数列，它们的项数分别是多少？这些数列从第2项起每一项与它前一项的大小关系又是怎样的？ [提示]　数列(1)中有6项，数列(2)中有4项，数列(3)(4)中有无穷多项；数列(1)中每一项都小于它的前一项，数列(2)中每一项的大小不确定，数列(3)中每一项都大于它的前一项，数列(4)中每一项都小于它的前一项． ◎结论形成 类别 含义 按项的 变化趋 势划分 递增数列 从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列 递减数列 从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列 常数列 各项都相等的数列 摆动数列 从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列 导学3　数列的通项公式 　观察“导学1”中的4个例子，你能否发现这些数列中，每一项与这一项的项数之间存在着某种关系？这种关系是否可以表示为一个公式？ [提示]　每一项与这一项的项数间存在一定的关系，有些可用公式表示，有些不能用公式表示． 　能够表示出的通项公式是否是函数关系式？ [提示]　数列的通项公式实际上是一个以正整数集N*或它的有限子集{1,2,3，…，n}为定义域的函数解析式． ◎结论形成 1．数列的通项公式 如果数列{an}的第n项与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式． 2．数列与函数的关系 从函数的观点看，数列可以看作是特殊的函数，关系如下表： 定义域 正整数集N*(或它的有限子集{1,2,3，…，n}) 解析式 数列的通项公式 值域 自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值 表示 方法 (1)通项公式(解析法)；(2)列表法； (3)图象法 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)数列1,2,3,4和数列1,2,4,3是同一个数列．(　　) (2)数列中的每一项都与它的序号有关．(　　) (3)an与{an}是不同的概念．(　　) (4)有些数列没有通项公式．(　　) 答案　(1)×　(2)√　(3)√　(4)√ 2．数列3,4,5,6，…的一个通项公式为(　　) A．an＝n　　　　　　 B．an＝n＋1 C．an＝n＋2 D．an＝2n 答案　C 3．数列{an}的通项公式是an＝n＋1，n∈N*，则它的图象是(　　) A．直线 B．直线上孤立的点 C．抛物线 D．抛物线上孤立的点 答案　B 4．已知数列{an}的通项公式是an＝2n－1，则a8＝________. 解析　a8＝2×8－1＝15. 答案　15 题型一　数列的概念及分类 　(1)(多选题)下列说法不正确的是(　　) A．数列1,3,5,7可表示为{1,3,5,7} B．数列1,0，－1，－2与数列－2，－1,0,1是相同的数列 C．数列的项可以相等 D．数列a，b，c和数列c，b，a一定不是同一数列 (2)下列数列，哪些是递增数列？哪些是递减数列？哪些是摆动数列？哪些是常数列？ ①2014,2016,2018,2020,2022,2024； ②0，，，…，，…； ③1，，，…，，…； ④－，，－，，…； ⑤1,0，－1，…，sin ，…； ⑥9,9,9,9,9,9. [解析]　(1){1,3,5,7}不表示数列，故A错误；数列具有有序性，故B错误；在D中，当a＝c时，数列a，b，c和数列c，b，a表示同一数列，故D错误；数列的项可以相等，故C正确． (2)①②是递增数列；③是递减数列；④⑤是摆动数列；⑥是常数列． [答案]　(1)ABD　(2)略 数列单调性的判断 判断数列的单调性，需要从第2项起，观察每一项与它的前一项的大小关系，若满足an<an＋1，则数列是递增数列；若满足an>an＋1，则数列是递减数列；若满足an＝an＋1，则数列是常数列；若an与an＋1的大小不确定时，则数列是摆动数列．　　 [触类旁通] 1．给出下列数列： (1)天文学家提丢斯(1729－1796)得出太阳到行星平均距离的经验定律时，研究了一列数：3,6,12,24,48,96,192，…. (2)无穷多个构成数列，，，，…. (3)－1的1次幂、2次幂、3次幂、4次幂…构成数列－1,1，－1,1，…. 其中，递增数列是________，常数列是________，摆动数列是________. 答案　(1)　(2)　(3) 题型二　由数列的前几项求通项公式 　[教材例2·提升]写出数列的一个通项公式，使它的前4项是下列各数． (1)－1，，－，； (2)，3，，； (3)0.9,0.99,0.999,0.999 9； (4)3,5,3,5. [解析]　(1)任何一个整数都可以看成一个分数，所以此数列各项的绝对值可以看作是自然数列的倒数，正负相间用(－1)的多少次幂进行调整，其一个通项公式为an＝(－1)n·. (2)数列可化为，，，，即，，，，…，每个根号里面可分解成两数之积，前一个因数为常数3，后一个因数为2n－1，故原数列的一个通项公式为an＝＝. (3)原数列可变形为，，，，…，故数列的一个通项公式为an＝1－. (4)数列给出前4项，其中奇数项为3，偶数项为5，所以通项公式的一种表示方法为an＝此数列还可以这样考虑，3与5的算术平均数为＝4,4＋1＝5,4－1＝3，因此数列的一个通项公式又可以写为an＝4＋(－1)n. 根据数列的前几项求通项公式的解题思路 (1)先统一项的结构，如都化成分数、根式等． (2)分析结构中变化的部分与不变的部分，探索变化部分的规律与对应序号间的函数解析式． (3)对于符号交替出现的情况，可先观察其绝对值，再用(－1)n或(－1)n＋1处理符号． (4)对于周期数列，可考虑拆成几个简单数列之和的形式，或者利用周期函数，如三角函数等．　 [触类旁通] 2．写出下列数列的一个通项公式． (1)0,3,8,15,24，…； (2)1，－3,5，－7,9，…； (3)0，，，，…； (4)1,11,111,1 111，…. 解析　(1)观察数列中的数，可以看到0＝1－1，3＝4－1,8＝9－1,15＝16－1,24＝25－1，…，所以它的一个通项公式是an＝n2－1. (2)数列各项的绝对值为1,3,5,7,9，…，是连续的正奇数，并且数列的奇数项为正，偶数项为负，所以它的一个通项公式为an＝(－1)n＋1(2n－1)． (3)因为5＝22＋1,10＝32＋1,17＝42＋1，所以数列的一个通项公式为an＝(n∈N*)． (4)原数列的各项可变为×9，×99，×999，×9 999，…，易知数列9,99,999,9 999，…的一个通项公式为an＝10n－1.所以原数列的一个通项公式为an＝(10n－1)． 题型三　根据通项公式写数列的项 (一题多变) 　已知数列{an}的通项公式an＝，n∈N*.写出它的第10项． [解析]　a10＝＝. [母题变式] (变结论)对于本例中的数列{an}． (1)求an＋1； (2)求a2n. 解析　(1)an＋1＝＝. (2)a2n＝＝. [素养聚焦]利用通项公式写出数列中的项，把数学抽象、数学运算等核心素养体现在解题过程中． 数列的通项公式给出了第n项an与它的位置序号n之间的关系，只要用序号代替公式中的n，就可以求出数列的相应项．　 [触类旁通] 3．根据下面数列{an}的通项公式，写出它的前5项． (1)an＝； (2)an＝(－1)nn. 解析　(1)a1＝，a2＝，a3＝，a4＝，a5＝. (2)a1＝－1，a2＝2，a3＝－3，a4＝4，a5＝－5. 知识落实 技法强化 (1)数列的概念与分类． (2)数列的通项公式． (3)数列与函数的关系. 用归纳法求数列的通项公式时归纳不全面；不注意用(－1)n进行调节，不注意分子、分母间的联系. 学科网（北京）股份有限公司 $