第11章解三角形单元测试卷-2025-2026学年高一下学期数学苏教版必修第二册

第11章　解三角形　单元测试卷 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.在△ABC中,A=,BC=6,AB=2,则C= (　　) A. B. C. D. 2.已知三角形的两边长分别为4,5,它们夹角的余弦值是方程2x2+3x-2=0的根,则第三边长是 (　　) A. B. C. D. 3.大型城雕“商”字坐落在商丘市睢阳区神火大道与南京路交汇处,“商”字城雕有着厚重悠久的历史和文化,它时刻撬动着人们认识商丘、走进商丘的欲望.吴斌同学在五一期间到商丘旅游,经过“商”字城雕时,他想利用解三角形的知识测量一下该雕塑的高度(即图1中线段AB的长度).他在该雕塑的正东C处沿着南偏西60°的方向前进7米后达到D处(A,C,D三点在同一个水平面内),此时测得图中线段AB在东北方向,且测得点B的仰角约为71.565°,则该雕塑的高度大约是(参考数据:tan 71.565°≈3) (　　) A.19米 B.20米 C.21米 D.22米 图1 4.若△ABC的内角A,B,C满足6sin A=4sin B=3sin C,则cos B等于 (　　) A. B. C. D. 5.已知△ABC的三边长分别为3,3,6,则该三角形的最大角与最小角之和为 (　　) A.120° B.145° C.150° D.120°或150° 6.在△ABC中,a,b,c分别为角A,B,C的对边,如果2b=a+c,B=30°,△ABC的面积为,那么b的值为 (　　) A. B. C.或 D.无法确定 7.在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,且a=2,b=3,cos C=,则其外接圆的半径为 (　　) A. B. C. D.9 8.在△ABC中,a-2ccos B=0,则此三角形的形状为 (　　) A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等边三角形 二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分. 9.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,下列四个命题中正确的是 (　　) A.若a2+b2-c2>0,则△ABC一定是锐角三角形 B.若==,则△ABC一定是等边三角形 C.若acos A=bcos B,则△ABC一定是等腰三角形 D.若acos B+bcos A=a,则△ABC一定是等腰三角形 10.在△ABC中,D在线段AB上,且AD=5,BD=3,若BC=2CD,cos∠CDB=-,则 (　　) A.sin∠CDB= 　 B.△ABC的面积为8 C.△ABC的周长为8+4 D.△ABC为钝角三角形 11.如图2,设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,(acos C+ccos A)=2bsin B,且∠CAB=.若点D是△ABC外一点,DC=1,DA=3,下列说法中,正确的命题是 (　　) 图2 A.△ABC的内角B= B.△ABC的内角C= C.四边形ABCD面积的最大值为+3 D.四边形ABCD面积无最大值 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分. 12.在△ABC中,若a=2,b+c=7,cos B=-,则b=　　　　.  13.如图3所示,位于A处的信息中心获悉:在其正东方向相距30海里的B处有一艘渔船遇险,在原地等待营救.信息中心立即把消息告知在其南偏西45°、相距20海里的C处的乙船,现乙船朝北偏东θ的方向沿直线CB前往B处救援,则BC=　　　　海里,cos θ=　　　　.(本题第一空2分,第二空3分)  图3 14.在非等边三角形ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,其中a为最大边,如果sin2(B+C)<sin2B+sin2C,则角A的取值范围为　　　　.  四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分)已知A,B,C为△ABC的三个内角,a,b,c分别是角A,B,C对应的三条边,a=2,cos C=-. (1)若sin A=2sin B,求b,c; (2)若cos(A-)=,求c. 16.(15分)已知在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且a=3, b=2c. (1)若A=,求△ABC的面积; (2)若2sin B -sin C=1,求△ABC的周长. 17.(15分)在①2sin A-sin B=2sin Ccos B,②(a+c)(sin A-sin C)=(a-b)sin B,③S△ABC=c(asin A+bsin B-csin C)这三个条件中任选一个,补充到下面的问题中并作答. 问题:在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且　　　　.  (1)求角C; (2)若c=2,求2a-b的取值范围. 注:若选择不同的条件分别解答,则按第一个解答计分. 18.(17分)如图4(1)鲨鱼的牙齿呈三角形,牙根处有凹陷.为测量鲨鱼牙齿的面积,把鲨鱼牙齿视为如图4(2)的平面模型,测得AB=5,BC=8,∠ABC=60°. (1)若CD=5,AD=3,求平面凹四边形ABCD的面积; (2)若∠ADC=120°,求平面凹四边形ABCD面积的最小值. 图4 19.(17分)已知△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,向量m=(b+a+c,b),n=(c,b-a+c),且m∥n. (1)若=3,AD=1,求△ABC面积的最大值; (2)若△ABC为锐角三角形,且a=3,求△ABC周长的取值范围. 第11章 答案解析 1.A　由正弦定理=,得sin C===.又BC=6>AB=2,所以A>C,则C为锐角,所以C=. 2.B　设三角形长为4,5的两边的夹角为θ,由2x2+3x－2=0,得x=或x=－2(舍去),∴cos θ=,∴第三边长为=. 3.C　在△ACD中,∠CAD=135°,∠ACD=30°,CD=7米, 由正弦定理,得=, 所以AD==7(米). 在Rt△ABD中,∠BDA=71.565°, 所以AB=AD×tan 71.565°≈7×3=21(米). 故选C. 4.D　由正弦定理得,a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C,∴6a=4b=3c,∴a=b,c=b,∴cos B===. 5.A　依题意知边长为3和6的这两条边所对应的角分别为最小角和最大角.设边长为3的边对应的角为B,由余弦定理,得cos B==,又0°<B<180°,所以B=60°,则该三角形的最大角与最小角之和为180°－B=120°. 6.B　因为△ABC的面积为acsin B=acsin 30°=,所以ac=2.由余弦定理得b2=a2+c2－2accos B=(a+c)2－2ac－ac=(2b)2－4－2,所以3b2=4+2,则b==. 7.C　∵c2=a2+b2－2abcos C=4+9－2×2×3×=9,∴c=3.又sin C===,∴△ABC的外接圆的半径为=. 8.A　由正弦定理得sin A－2sin Ccos B=0. 又A+B+C=π,所以sin A=sin(B+C), 即sin(B+C)=2sin Ccos B,所以sin Bcos C+cos Bsin C=2sin Ccos B,整理得sin Bcos C－sin Ccos B=0,所以sin(B－C)=0. 又B和C是三角形的内角,所以B=C,故此三角形为等腰三角形. 9.BD　A选项,当a=4,b=2,c=3时,a2+b2－c2>0,但b2+c2－a2<0,故△ABC为钝角三角形,错误. B选项,因为==,所以tan A=tan B=tan C,且A,B,C∈(0,π),所以A=B=C,故△ABC为等边三角形,正确. C选项,因为acos A=bcos B,所以sin Acos A=sin Bcos B,所以sin 2A=sin 2B,则A=B或A+B=,故△ABC不一定是等腰三角形,错误. D选项,因为acos B+bcos A=a,所以sin Acos B+sin Bcos A=sin A,所以sin(A+B)=sin A,即sin C=sin A,又A,B,C∈(0,π),所以A=C,即△ABC为等腰三角形,正确. 10.BCD　因为cos∠CDB=－,所以sin∠CDB==,故A错误; 设CD=a,则BC=2a,在△BCD中,BC2=CD2+BD2－2BD·CD·cos∠CDB,解得a=,所以S△BCD=BD×CD×sin∠CDB=×3××=3,所以S△ABC=S△BCD=8,故B正确; 因为∠ADC=π－∠CDB,所以cos∠ADC=cos(π－∠CDB)=－cos∠CDB=,在△ADC中,AC2=AD2+CD2－2AD·CDcos∠ADC,解得AC=2,所以C△ABC=AB+AC+BC=(3+5)+2+2=8+4,故C正确; 因为AB=8为最大边,所以cos C==－<0,即C为钝角,所以△ABC为钝角三角形,故D正确. 11. ABC　∵(acos∠ACB+ccos∠CAB)=2bsin B,∴(sin∠CAB·cos∠ACB+sin∠ACBcos∠CAB)=2sin2B,∴sin(∠CAB+∠ACB)=2sin2B, ∴sin B=2sin2B,∴sin B=. ∵∠CAB=,∴B∈(0,),∴B=,∴∠ACB=π－∠CAB－B=,因此A,B正确; 四边形ABCD面积等于S△ABC+S△ACD=AC2+AD×DC×sin∠ADC=(AD2+DC2－2AD×DC×cos∠ADC)+AD×DC×sin∠ADC=×(9+1－6cos∠ADC)+×3×1×sin∠ADC=+3sin(∠ADC－)≤+3,因此C正确,D错误. 12.4　在△ABC中,由余弦定理得cos B=,则－==,化简得8c－7b+4=0,与已知条件b+c=7联立,可解得b=4,c=3. 13.10　　易知∠CAB=135°,在△ABC中, 由余弦定理可得BC===10. 所以cos∠ACB==,sin∠ACB=, 所以cos θ=cos(45°+∠ACB)=cos∠ACB－sin∠ACB=×－×=. 14.(,)　由题意得sin2A<sin2B+sin2C,再由正弦定理得a2<b2+c2,即b2+c2－a2>0,则cos A=>0,∴0<A<.又a为最大边,∴A>.故角A的取值范围为(,). 15.(1)由sin A=2sin B及正弦定理,得a=2b, ∵a=2,∴b=1, 由余弦定理可得cos C==－,得c=. (2)∵cos(A－)=,∴cos A+sin A=, 又sin2A+cos2A=1,∴cos A=或cos A=. ∵cos C=－>－,∴C∈(,),∴A∈(0,),A+B=π－C∈(,). 若cos A=,则cos A<=cos(π－C)=cos(A+B),∴A>A+B,显然不成立,(特别要注意结合三角形内角和舍增根) ∴cos A=,∴sin A=. 由cos C=－可得sin C=, 由正弦定理=得,c=. 16.(1)由余弦定理a2=b2+c2－2bccos A,得9=4c2+c2－4c2×(－),解得c=,所以b=, 因此S△ABC=bcsin A=×××=. (2)由b=2c,结合正弦定理,得sin B=2sin C,又2sin B－sin C=1,所以3sin C=1,所以sin C=, 又b>c,所以C一定为锐角,所以cos C=, 由余弦定理c2=a2+b2－2abcos C,得c2=9+4c2－2×3×2c×,解得c=. 当c=时,b=,此时△ABC的周长l=a+b+c=a+3c=3+4－; 当c=时,b=,此时△ABC的周长l=a+b+c=a+3c=3+4+. 故△ABC的周长为3+4±. 17.方案一　选①. (1)在△ABC中,2sin A－sin B=2sin Ccos B, 则2sin(B+C)－sin B=2sin Ccos B, ∴2sin Bcos C+2cos Bsin C－sin B=2sin Ccos B, 即2sin Bcos C－sin B=0,∵sin B≠0, ∴cos C=,又C∈(0,π),∴C=. (2)由正弦定理得===, ∴a=sin A,b=sin B, 则2a－b=sin A－sin B=sin A－sin(A+)=2sin A－2cos A=4sin(A－), ∵A∈(0,),∴A－∈(－,),∴sin(A－)∈(－,1), ∴2a－b∈(－2,4),即2a－b的取值范围为(－2,4). 方案二　选②. (1)(a+c)(sin A－sin C)=(a－b)sin B, 由正弦定理得(a+c)(a－c)=b(a－b), ∴a2+b2－c2=ab, ∴cos C==,∵C∈(0,π),∴C=. 第(2)问步骤同方案一(2). 方案三　选③. (1)∵S△ABC=c(asin A+bsin B－csin C), 则absin C=c(asin A+bsin B－csin C), 由正弦定理得abc=c(a2+b2－c2),∴a2+b2－c2=ab, ∴cos C==,∵C∈(0,π),∴C=. 第(2)问步骤同方案一(2). 图D 1 18.如图D 1,连接AC, 作△ABC中,AB=5,BC=8, ∠ABC=60°, 由余弦定理可得,AC==7. (1)在△ACD中,AD=3,CD=5,AC=7,cos∠ADC===－, ∴sin∠ADC=, ∴S△ADC=×3×5×=, 又S△ABC=×8×5×=10, ∴S四边形ABCD=S△ABC－S△ADC=10－=. (2)在△ACD中,AC2=49=AD2+CD2－2AD·CDcos∠ADC=AD2+CD2+AD·CD≥3AD·CD, 即AD·CD≤, ∴S△ADC=AD·CDsin 120°≤,S四边形ABCD=S△ABC－S△ADC=10－S△ADC≥, ∴平面凹四边形ABCD面积的最小值为, 当且仅当AD=CD=时等号成立. 19.(1)∵m∥n,∴(b+a+c)(b－a+c)－3bc=0,即b2+c2－a2=bc, 由余弦定理可得,cos A=,而0<A<π,所以A=, ∵=+=+=+(－)=+, ∴=(+)2=++·=||2+||2+||||cos, ∴c2+b2+bc=1,即c2+9b2+3bc=16, 而c2+9b2≥6bc,当且仅当c=3b时取“=”,16=c2+9b2+3bc≥9bc,当且仅当c=3b时取“=”, ∴bc≤,∴△ABC的面积S=bcsin=bc≤. 故当c=3b时,△ABC面积取得最大值,为. (2)由正弦定理得===2, ∴b=2sin B,c=2sin C,则b+c=2[sin B+sin(－B)]=2(sin B+cos B+sin B)=6sin(B+), ∵△ABC是锐角三角形,∴∴<B<,则<B+<, ∴sin(B+)∈(,1], ∴三角形周长a+b+c=3+6sin(B+)∈(3+3,9]. 学科网（北京）股份有限公司 $