微专题3三角形中的“三条线”讲义-2026届高三数学二轮专题复习

该高中数学讲义聚焦三角形中线、角平分线、高线相关的解三角形高考核心考点，按三条线分专题整合知识，构建正余弦定理应用的内在联系。通过考点梳理、方法指导、真题训练等环节，帮助学生突破中档难度问题，体现复习教学的系统性和针对性。 资料以专题化方法提炼为亮点，如角平分线定理、中线长定理的系统总结，结合典型例题培养学生数学思维与符号表达能力。设置高考真题与模拟题分层练习，保障复习效率，助力学生快速提升解题能力，为教师精准把控复习节奏提供实用指导。

微专题3　三角形中的“三条线” 近几年高考：与三角形的“三条线线”(中线、角平分线、高线)有关的解三角形问题是高考的热点,命题形式灵活新颖,实质为在两个三角形中应用正、余弦定理解三角形,难度中档或偏下. 一、高考真题 1.(2023·新高考Ⅰ卷)已知在△ABC中,A+B=3C,2sin(A-C)=sin B. (1)求sin A; (2)设AB=5,求AB边上的高. 解　法一　(1)在△ABC中,A+B=π-C, 因为A+B=3C, 所以3C=π-C,所以C=. 因为2sin(A-C)=sin B, 所以2=, 展开并整理得(sin A-cos A)=(cos A+sin A), 得sin A=3cos A, 又sin 2A+cos 2A=1,且sin A>0, 所以sin A=. (2)由正弦定理=, 得BC=·sin A=×=3. 由余弦定理AB2=AC2+BC2-2AC·BCcos C, 得52=AC2+(3)2-2AC·3, 整理得AC2-3AC+20=0, 解得AC=或AC=2. 由(1)得,tan A=3>,所以<A<, 又A+B=,所以B>,即C<B, 所以AB<AC,所以AC=2. 设AB边上的高为h, 则·AB·h=·AC·BCsin C, 即5h=2×3×,解得h=6, 所以AB边上的高为6. 法二　(1)在△ABC中,A+B=π-C, 因为A+B=3C, 所以3C=π-C,所以C=. 因为2sin(A-C)=sin B, 所以2sin(A-C)=sin [π-(A+C)]=sin(A+C), 所以2sin Acos C-2cos Asin C=sin Acos C+cos Asin C, 所以sin Acos C=3cos Asin C, 易得cos Acos C≠0, 所以tan A=3tan C=3tan =3, 又sin A>0,tan A=,sin 2A+cos 2A=1, 所以sin A=. (2)由(1)知sin A=,tan A=3>0, 所以A为锐角,故cos A=, 所以sin B==(cos A+sin A) =×=. 由正弦定理=, 得AC===2, 故AB边上的高为AC·sin A=2×=6. 2.(2023·新高考Ⅱ卷)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知△ABC面积为,D为BC的中点,且AD=1. (1)若∠ADC=,求tan B; (2)若b2+c2=8,求b,c. 解　(1)因为D为BC的中点, 所以S△ABC=2S△ADC=2··AD·DCsin ∠ADC=2××1·DC·=, 解得DC=2, 所以BD=DC=2,a=4. 因为∠ADC=,所以∠ADB=. 在△ABD中,由余弦定理, 得c2=AD2+BD2-2AD·BDcos ∠ADB=1+4+2=7, 所以c=. 法一　在△ADC中,由余弦定理, 得b2=AD2+DC2-2AD·DC·cos ∠ADC=1+4-2=3, 所以b=. 在△ABC中,由余弦定理, 得cos B===, 所以sin B==, 所以tan B==. 法二　在△ABD中,由正弦定理,得=, 所以sin B==, 又B∈, 所以cos B==, 所以tan B==. (2)法一　因为D为BC的中点,所以BD=DC. 因为∠ADB+∠ADC=π, 所以cos ∠ADB=-cos ∠ADC, 则在△ABD与△ADC中,由余弦定理, 得=-, 得1+BD2-c2=-(1+BD2-b2), 所以2BD2=b2+c2-2=6,所以BD=, 所以a=2. 又S△ADC=××1×sin ∠ADC=, 得sin ∠ADC=1, 所以∠ADC=, 所以b=c==2. 法二　因为D为BC的中点,所以BC=2BD. 在△ABD与△ABC中,由余弦定理, 得cos B==, 整理,得2BD2=b2+c2-2=6, 得BD=,所以a=2. 以下同法一. 二．典型例题 1.三角形的角平分线 例1 (2025·厦门质检)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知cos B=,a=4,角B的角平分线交AC于点D,且BD=3. (1)求CD的长; (2)求△ABC的面积. 解　(1)设∠DBC=θ, 则cos B=cos 2θ=2cos 2θ-1=, 所以cos θ=,sin θ=. 在△BCD中,由余弦定理,得 CD2=16+18-2×4×3×, 所以CD=. (2)因为cos B=,B∈(0,π), 所以sin B=. 因为S△ABC=S△ABD+S△BCD, 所以4×c×=4×3×+c×3×, 解得c=, 所以△ABC的面积为×4××=. 规律方法　如图,在△ABC中,AD是△ABC中∠A的角平分线,且交BC于点D,则线段AD是 △ABC的一条角平分线,在解三角形有关角平分线问题常用到以下结论: (1)角度的倍数关系:∠BAC=2∠BAD=2∠CAD; (2)角平分线定理:=; (3)角平分线长公式:AD=; (4)三角形边与面积的比值关系:==; (5)三角形的面积关系:S△ABD+S△ACD=S△ABC. 训练1 (1)(2023·全国甲卷)在△ABC中,∠BAC=60°,AB=2,BC=,∠BAC的角平分线交BC于D,则AD=　　　　.  (2)(2025·武汉四调)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,且C=,c=6,△ABC面积为,D为边AB上一点,CD是∠ACB的角平分线,则CD=　　　　.  答案　(1)2　(2)1 解析　(1)由余弦定理得cos 60°=, 整理得AC2-2AC-2=0,得AC=1+. 由角平分线长公式得AD===2. (2)在△ABC中,C=,c=6, 由余弦定理可得c2=b2+a2-2bacos C, 所以62=b2+a2-2ba, 所以36=b2+a2-ba, 又△ABC面积为, 所以ba=,所以ba=4, 所以36=b2+a2-ba=(a+b)2-3×4, 所以a+b=4, 因为CD是∠ACB的角平分线,C=, 所以∠ACD=∠DCB=, 因为S△ACD+S△BCD=S△ABC, 所以AC·CDsin ∠ACD+BC·CDsin ∠BCD =AC·CBsin ∠ACB, 所以b·CD+a·CD =ba=, 所以b·CD+a·CD=4, 所以(b+a)CD=4, 所以CD=1. 2.三角形的中线 例2 (2025·青岛质检)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足cos C=-. (1)求角B; (2)若△ABC外接圆的半径为,且AC边上的中线长为,求△ABC的面积和周长. 解　(1)由cos C=-, 得2bcos C=2a-c, 利用正弦定理得2sin Bcos C=2sin A-sin C, 即2sin Bcos C=2sin(B+C)-sin C, 化简得sin C=2sin Ccos B. 因为C∈(0,π),sin C≠0,所以cos B=, 又因为B∈(0,π),所以B=. (2)由正弦定理得=2,得b=3, 设D为AC边上的中点, 则AD=CD=,BD=. 法一　在△BCD中,cos ∠CDB=, 在△ABD中,cos ∠ADB=, 因为∠ADB+∠CDB=π, 所以cos ∠ADB+cos ∠CDB=0, 所以a2+c2=17, 由余弦定理b2=c2+a2-2accos B, 可得9=c2+a2-ac,即ac=8, 由三角形的面积公式得S△ABC=acsin B=2, 又(a+c)2=a2+c2+2ac=17+2×8=33, 所以a+c=, 所以△ABC的周长为3+. 法二　利用向量的加法法则得2=+, 两边平方得4=++2·, 即25=c2+a2+ac,① 由余弦定理b2=c2+a2-2accos B, 得9=c2+a2-ac,② ①-②得16=2ac,即ac=8, 由三角形的面积公式得S△ABC=acsin B=2, 由25=c2+a2+ac, 得(a+c)2-ac=25,a+c=, 所以△ABC的周长为3+. 规律方法　如图,在△ABC中,AD是边BC上的中线,在解三角形有关中线问题常用到以下结论: (1)三角形的面积关系: S△ABD=S△ACD=S△ABC; (2)角的互补关系:∠ADB+∠ADC=π; (3)中线长定理:AB2+AC2=2(BD2+AD2); (4)中线的向量表示:=(++2||||cos ∠BAC). 训练2 (2025·长沙雅礼中学模拟)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知acos C-asin C-b+c=0. (1)求A; (2)设D是边BC中点,若cos C=-,求sin ∠ADC. 解　(1)在△ABC中,由正弦定理及acos C-asin C-b+c=0, 得sin Acos C-sin Asin C-sin B+C=0, 又sin B=sin(A+C)=sin Acos C+sin Ccos A, 则sin Acos C-sin Asin C-sin Acos C-sin Ccos A+C=0, 而sin C>0, 化简得sin A+cos A=, 即=1,而<A+<, 因此A+=,所以A=. (2)在△ABC中,由cos C=-, 得sin C=,sin B= =C+C=, 由正弦定理=,得c=4b, 由D是边BC中点, 得2=+, 则4=(+)2=b2+c2+2bccos A=41b2, 因此AD=||=b, 在△ADC中,由正弦定理=, 得sin ∠ADC=C=. 3.三角形的高线 例3 (2025·石家庄模拟)在△ABC中,三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,∠BAC=,a=,D是BC的三等分点,且BD=2DC. (1)当△ABC的面积S=时,求AD的长; (2)当·(+)=时,求AB边上的高. 解　(1)∵∠BAC=,a=, ∴由余弦定理得7=a2=b2+c2-2bccos ∠BAC=b2+c2-bc, 由S=bcsin ∠BAC=, 得bc=6, 解得b=2,c=3或b=3,c=2, 由题知BD=, 当b=2,c=3时,由余弦定理得cos B==, 则AD2=9+-2×3××=, 即AD=; 同理当b=3,c=2时,AD=, 综上所述,AD=. (2)∵=+=+=+(-)=+, ∴·(+) =·(+2) =·(-+2) =(4-)=, 即4b2-c2=7, 联立b2+c2-bc=7, 可得3b2+bc-2c2=0, 即b=c, 解得b=2,c=3, ∴AB边上的高为h=bsin ∠BAC=. 规律方法　1.高线两个作用:(1)产生直角三角形;(2)与三角形的面积相关. 2.求三角形高线长的方法: (1)等面积法,即求某边上的高,需要先求出面积和底边的长度. (2)在高产生的直角三角形里去求; (3)边、角比法,h1,h2,h3分别为△ABC边a,b,c上的高,则 h1∶h2∶h3=∶∶=∶∶. 训练3 已知△ABC的三个角A,B,C的对边分别为a,b,c,设p=(a+b+c),求证: (1)三角形的面积S=; (2)把边BC,AC,AB上的高分别记为ha,hb,hc,则 ha=, hb=, hc=. 证明　(1)设三角形的三边a,b,c的对角分别为A,B,C, 则由余弦定理可知cos C=, S=absin C=ab =ab = = = = ∵p=(a+b+c), ∴p-a=(-a+b+c), p-b=(a-b+c),p-c=(a+b-c), ∴S= =, ∴三角形的面积S=. (2)∵边BC,CA,AB上的高分别记为ha,hb,hc, 三角形的面积S=, ∴S= =aha=bhb=chc, 可解得ha=, hb=, hc=. 【精准强化练习3】 1.(2025·嘉兴模拟)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,a=3,asin B=b. (1)求角A; (2)作角A的平分线与BC交于点D,且AD=,求b+c. 解　(1)由正弦定理可得asin B=bsin A, 因为asin B=b, 所以sin A=, 因为A∈(0,π),所以A+A+=π,所以A=. (2)因为AD平分∠BAC, 所以∠BAD=∠CAD=. 因为S△DAB+S△DAC=S△ABC, 所以c·ADsin ∠DAB+b·ADsin ∠DAC =c·bsin ∠BAC, 即c+b=cb,即c+b=cb, 又由余弦定理可得 a2=b2+c2-2bc=(b+c)2-3bc, 把a=3,b+c=cb代入化简得 (b+c)2-3(b+c)-18=0, 解得b+c=6或b+c=-3(舍去), 所以b+c=6. 2.(2025·北京卷)在△ABC中,cos A=-,asin C=4. (1)求c; (2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知,使得△ABC存在,求BC的高. 条件①a=6;条件②bsin C=;条件③△ABC面积为10. 注:如果选择多个条件分别解答,则按第一个解答计分. 解　(1)因为cos A=-,A∈(0,π), 所以sin A==, 由正弦定理,得c==6. (2)如图所示, 若△ABC存在,则设其BC边上的高为AD, 若选①,a=6,因为c=6,所以C=A, 因为cos A=-<0,这表明此时△ABC有两个钝角,而这是不可能的,所以此时△ABC不存在. 若选②,bsin C=, 由正弦定理,得sin B==, 因为cos A=-,所以A∈, 所以B一定为锐角,即cos B=. 因为A+B+C=π,所以cos C=-cos(A+B)=-cos Acos B+sin Asin B =-×+×=<1, 所以△ABC存在且唯一, 在Rt△ABD中,AD=csin B=6×=, 所以△ABC存在且唯一,且BC的高为. 若选③,△ABC的面积是10, 则S△ABC=bcsin A=b×6×=10, 解得b=5, 由余弦定理可得a===9, 因为b=5,c=6, 所以b+c>a,a+c>b,a+b>c, 所以△ABC存在且唯一. 因为S△ABC=aAD=10, 所以AD=. 所以△ABC存在且唯一,且BC的高为. 3.(2025·惠州模拟)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a<b<c且tan A,tan B,tan C均为整数. (1)求tan A,tan B,tan C的值; (2)设AC的中点为D,求∠CDB的余弦值. 解　(1)由a<b<c,得A<B<C. 由A+B+C=π,得A+B+C>3A, 故0<A<,所以0<tan A<, 因为tan A为整数,所以tan A=1, 所以A=,B+C=. 因为B<C,所以=B+C>2B, 则<B<, 所以1<tan B<tan . 由tan ==-1, 得tan 2-2tan -1=0, 解得tan =1+或tan =1-(舍去), 故1<tan B<1+, 又2<1+<3,tan B为正整数,则tan B=2, 所以tan C=-tan (A+B)=-=-=3. 综上,tan A=1,tan B=2,tan C=3. (2)法一　由(1)知,tan ∠ABC=2,tan C=3. 则sin ∠ABC=,cos C=, 在△ABC中,由正弦定理得=, 则b==, 因为AC的中点为D, 所以CD=b=, 在△DBC中,由余弦定理得BD2=CD2+CB2-2CD·CB·cos C =+a2-2×a·a·=a2, 所以BD=a, 所以cos ∠CDB=cos C=. 法二(向量法)　由(1)可知cos ∠ABC=, cos C=,sin C=, 因为D是AC的中点,所以=(+), 则|BD|2=(||2+||2+2||||·cos ∠ABC)=,(*) 在△ABC中,由正弦定理得=, 则c==,① 将①代入(*)式整理得||=a, 所以cos ∠CDB=cos C=. 4.(2025·泰州调研)在△ABC中,已知tan A=,sin(A-B)=. (1)求B; (2)若AD为∠BAC的平分线,△ABC的面积为14,求AD. 解　(1)在△ABC中,tan A=>0, 所以0<A<, 因为0<B<π,所以-π<A-B<, 因为sin(A-B)=>0, 所以0<A-B<, 所以cos(A-B)==. 所以tan (A-B)==, 所以tan B=tan [A-(A-B)]===1, 又因为0<B<π,所以B=. (2)由tan A=,0<A<, 所以sin A=,cos A=, 所以sin C=sin(A+B) =sin Acos B+cos Asin B=. 记△ABC中角A,B,C所对的边为a,b,c, 由正弦定理可得=, 所以==, 所以S△ABC=bcsin A=×c2×=14, 解得c=7(负值舍去),所以b=5. 又由cos A=1-2sin 2=, 得=, 所以由S△ABC=S△ABD+S△ACD, 得14=c·AD+b·AD, 所以14=×AD+×AD, 解得AD=. 学科网（北京）股份有限公司 $ 微专题3　三角形中的“三条线” 近几年高考：与三角形的“三条线线”(中线、角平分线、高线)有关的解三角形问题是高考的热点,命题形式灵活新颖,实质为在两个三角形中应用正、余弦定理解三角形,难度中档或偏下. 一、高考真题 1.(2023·新高考Ⅰ卷)已知在△ABC中,A+B=3C,2sin(A-C)=sin B. (1)求sin A; (2)设AB=5,求AB边上的高. 2.(2023·新高考Ⅱ卷)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知△ABC面积为,D为BC的中点,且AD=1. (1)若∠ADC=,求tan B; (2)若b2+c2=8,求b,c. 二．典型例题 1.三角形的角平分线 例1 (2025·厦门质检)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知cos B=,a=4,角B的角平分线交AC于点D,且BD=3. (1)求CD的长; (2)求△ABC的面积. 规律方法　如图,在△ABC中,AD是△ABC中∠A的角平分线,且交BC于点D,则线段AD是 △ABC的一条角平分线,在解三角形有关角平分线问题常用到以下结论: (1)角度的倍数关系:∠BAC=2∠BAD=2∠CAD; (2)角平分线定理:=; (3)角平分线长公式:AD=; (4)三角形边与面积的比值关系:==; (5)三角形的面积关系:S△ABD+S△ACD=S△ABC. 训练1 (1)(2023·全国甲卷)在△ABC中,∠BAC=60°,AB=2,BC=,∠BAC的角平分线交BC于D,则AD=　　　　.  (2)(2025·武汉四调)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,且C=,c=6,△ABC面积为,D为边AB上一点,CD是∠ACB的角平分线,则CD=　　　　.  2.三角形的中线 例2 (2025·青岛质检)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足cos C=-. (1)求角B; (2)若△ABC外接圆的半径为,且AC边上的中线长为,求△ABC的面积和周长. 规律方法　如图,在△ABC中,AD是边BC上的中线,在解三角形有关中线问题常用到以下结论: (1)三角形的面积关系: S△ABD=S△ACD=S△ABC; (2)角的互补关系:∠ADB+∠ADC=π; (3)中线长定理:AB2+AC2=2(BD2+AD2); (4)中线的向量表示:=(++2||||cos ∠BAC). 训练2 (2025·长沙雅礼中学模拟)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知acos C-asin C-b+c=0. (1)求A; (2)设D是边BC中点,若cos C=-,求sin ∠ADC. 3.三角形的高线 例3 (2025·石家庄模拟)在△ABC中,三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,∠BAC=,a=,D是BC的三等分点,且BD=2DC. (1)当△ABC的面积S=时,求AD的长; (2)当·(+)=时,求AB边上的高. 规律方法　1.高线两个作用:(1)产生直角三角形;(2)与三角形的面积相关. 2.求三角形高线长的方法: (1)等面积法,即求某边上的高,需要先求出面积和底边的长度. (2)在高产生的直角三角形里去求; (3)边、角比法,h1,h2,h3分别为△ABC边a,b,c上的高,则 h1∶h2∶h3=∶∶=∶∶. 训练3 已知△ABC的三个角A,B,C的对边分别为a,b,c,设p=(a+b+c),求证: (1)三角形的面积S=; (2)把边BC,AC,AB上的高分别记为ha,hb,hc,则 ha=, hb=, hc=. 【精准强化练习3】 1.(2025·嘉兴模拟)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,a=3,asin B=b. (1)求角A; (2)作角A的平分线与BC交于点D,且AD=,求b+c. 2.(2025·北京卷)在△ABC中,cos A=-,asin C=4. (1)求c; (2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知,使得△ABC存在,求BC的高. 条件①a=6;条件②bsin C=;条件③△ABC面积为10. 注:如果选择多个条件分别解答,则按第一个解答计分. 3.(2025·惠州模拟)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a<b<c且tan A,tan B,tan C均为整数. (1)求tan A,tan B,tan C的值; (2)设AC的中点为D,求∠CDB的余弦值. 4.(2025·泰州调研)在△ABC中,已知tan A=,sin(A-B)=. (1)求B; (2)若AD为∠BAC的平分线,△ABC的面积为14,求AD. 学科网（北京）股份有限公司 $