第6章 三角（单元测评卷）高一数学沪教版

第6章 三角 单元测评卷 建议用时：120分钟，满分：150分 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．某扇形的弧所对的圆心角为，且半径等于5，则其面积为 . 【答案】 【分析】根据已知求出圆心角的弧度，再由扇形面积公式求面积. 【详解】由题设，圆心角为， 所以扇形面积为. 故答案为： 2．已知在第二象限，则的值为 . 【答案】 【分析】根据给定条件，利用同角公式求解. 【详解】由在第二象限，得， 所以. 故答案为：. 3．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．则B的值为 ． 【答案】 【分析】由正弦定理及同角三角函数的基本关系得解. 【详解】∵， ∴由正弦定理得， 又，故， ∴， ∵， ∴， 故答案为： 4．已知，则 ． 【答案】/ 【分析】运用两角和的余弦公式展开并代入的值即可. 【详解】. 故答案为：. 5．若方程的两根为与，则 . 【答案】/ 【分析】应用根与系数关系及和角正切公式求值即可. 【详解】由题设，，， 所以. 故答案为： 6．函数的最大值为 . 【答案】 【分析】根据两角差的正弦公式，化简得到，即可求解. 【详解】由 当时，即 所以的最大值为： 故答案为： 7．在中，内角所对的边分别为，则当取得最大值时， 【答案】 【分析】由余弦定理求出的最大值及等号成立的条件，再结合诱导公式和半角公式求出. 【详解】中，， 由余弦定理， 得， 所以，当且仅当时，等号成立， 此时为等腰三角形，. 由，有， 所以. 故答案为：. 8．已知，若，则 ． 【答案】/0.4 【分析】根据已知，应用商数关系及平方关系可得，再应用二倍角正弦公式求函数值. 【详解】由， 所以，则. 故答案为： 9．如图，自动卸货汽车采用液压机构．已知车厢的最大仰角为，油泵顶点与车厢支点之间的距离为，的长为，与过的水平线交于点，的长为.则与水平线之间的夹角的大小为 .（以角度制表示，精确到） 【答案】 【分析】首先在中求和，再在中，根据正弦定理，即可求解. 【详解】中，根据余弦定理， ，则， 中，根据余弦定理，即，得， 则，所以. 故答案为： 10．已知，若，，则的值为 . 【答案】 【分析】先利用同角的正余弦的平方关系可求得，，再根据两角差的正弦公式求值即可. 【详解】因为，所以， 因为，， 所以，， 所以 . 故答案为： 11．已知三角形ABC为等腰三角形，其中，，在AB、AC上分别取D、E两点，若沿线段DE折叠该三角形时，顶点A恰好落在边BC上.则线段AD的长度的最小值为 . 【答案】 【分析】设，求出、、关于所设参数的表达式，在中应用正弦定理求，再根据的取值范围求最值． 【详解】设落在边BC的处，则两点关于折线对称，连接， 由于，，则, ,进而可得, 设， 则，，． 在中，． 在中，， 由正弦定理知：，即， 所以，即， 由于，则， 故当，即时，此时取到最大值， 故取到最大值，进而取最小值 故答案为：. 12．若对任意的，存在，满足不等式，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】求出的最大值后结合绝对值不等式可得关于的不等式，故可求其范围. 【详解】, 因为，则，故，当且仅当时等号成立， 故的最大值为，故， 而， 当且仅当时等号成立，故， 故或， 故答案为： 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14每题4分，15、16每题5分）. 13．下列命题中，正确的是（    ） A．1弧度的角就是长为半径的弦所对的圆心角 B．若是第一象限的角，则也是第一象限的角 C．若两个角的终边重合，则这两个角相等 D．用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径有关 【答案】B 【分析】由角度制和弧度制的定义，象限角的概念，判断各选项的正误. 【详解】1弧度的角就是长为半径的弧所对的圆心角，A选项错误； 若是第一象限的角，则是第四象限的角，所以是第一象限的角，B选项正确； 当，时，与终边重合，但两个角不相等，C选项错误； 不论是用角度制还是弧度制度量角，由角度值和弧度值的定义可知度量角与所取圆的半径无关，D选项错误. 故选：B 14．在中，内角满足，则的形状为（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．正三角形 【答案】B 【分析】根据得到，求出，得到三角形形状. 【详解】， 故，即， 因为，所以， 故为等腰三角形. 故选：B 15．若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】直接利用两角和与差的余弦公式得，再利用和差化积公式得，最后代入计算即可. 【详解】因为， 所以，因为， 所以， 所以，所以， 故选：A. 16．17世纪德国著名的天文学家开普勒曾经这样说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割．如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿．”黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是一个顶角为的等腰三角形（另一种是顶角为的等腰三角形）．例如，五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，如图所示，在其中一个黄金中，．根据这些信息，可得（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出，，再根据二倍角余弦公式求出，然后根据诱导公式求出． 【详解】由题意可得：，且， ，解得：， 所以（负值不符合题意舍去）， . 故选：C 三、解答题（本大题共5题，第17-19题每题14分，第20-21题每题18分，共78分）. 17．（14分）已知.求： (1)的值； (2)求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据同角三角函数的关系求解即可； （2）根据结合同角三角函数的关系求解即可. 【详解】（1）显然，故则，解得. （6分） （2） （8分） 18．（14分）已知α为第三象限角，. (1)化简； (2)若，求的值. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据诱导公式化简即可； （2）由诱导公式可求，再由二倍角的余弦公式求解. 【详解】（1） . （7分） （2）,则. 所以. （7分） 19．（14分）已知的内角所对边的长度分别为． (1)若，求和外接圆半径的值； (2)若，求的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）首先求出，再由正弦定理计算可得； （2）利用正弦定理将边化角，再由两角和的正弦公式及诱导公式求出，即可得解. 【详解】（1）因为，则，且. 由正弦定理得（为外接圆的半径），即， 即，， 因为，所以， 因此，； （7分） （2）因为， 由正弦定理可得， 所以， 又，所以，所以，则， 又，所以. （7分） 20．（18分）吴淞口灯塔采用世界先进的北斗卫星导航遥测遥控系统，某校数学建模小组测量其高度（单位：，如示意图，垂直放置的标杆的高度，使，，在同一直线上，也在同一水平面上，仰角，.（本题的距离精确到 (1)该小组测得､的一组值为，，请据此计算的值； (2)该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到灯塔的距离（单位：，使与之差较大，可以提高测量精确度.若灯塔的实际高度为，试问为多少时，最大？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题目所给数据，解直角三角形并利用建立方程即可求解； （2）由两角差的正切公式，结合均值不等式求出的最值，再根据角的范围即可求得何时有最大值. 【详解】（1）由可得：， 同理可得， 因为， 所以， 可得. （8分） （2）由题意可得， 则， 所以， 而， 当且仅当时等号成立， 故当时，取最大值， 因为，所以， 所以时，最大. （10分） 21．（18分）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边. (1)若，求A的大小； (2)若BC边上的高等于，且，求的取值范围； (3)求实数t的取值范围，使得对任意实数x和任意角A（），恒有. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由正弦定理边化角可得，可求； （2）由三角形面积公式和余弦定理可得，进而可得，利用辅助角公式可求最大值； （3）利用二次函数的最小值可得 ，进而转化为①或②，利用基本不等式与对勾函数的最值可求实数的取值范围. 【详解】（1）因为， 所以由正弦定理可得， 整理得，即， 因为，， 所以，因为，所以； （4分） （2）因为边上的高等于， 由三角形面积公式得，即， 又由余弦定理可得，， 从而有， 所以， 因为，所以，所以， ，所以的取值范围为. （6分） （3）令 ， 所以当时， ， 所以 所以， 所以， 所以①或②， 因为，又， 所以， 由①可得， ， 所以， 所以， 由②可得， 所以， 由对勾函数性质可知，所以. 综上所述：实数的取值范围为. （8分） 【点睛】方法点睛：二次函数的最值问题，利用开口向上，在顶点处取得最小值，可得不等关系，进而转化为不等式恒成立问题处理是关键. 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 第6章 三角 单元测评卷 建议用时：120分钟，满分：150分 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．某扇形的弧所对的圆心角为，且半径等于5，则其面积为 . 2．已知在第二象限，则的值为 . 3．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．则B的值为 ． 4．已知，则 ． 5．若方程的两根为与，则 . 6．函数的最大值为 . 7．在中，内角所对的边分别为，则当取得最大值时， 8．已知，若，则 ． 9．如图，自动卸货汽车采用液压机构．已知车厢的最大仰角为，油泵顶点与车厢支点之间的距离为，的长为，与过的水平线交于点，的长为.则与水平线之间的夹角的大小为 .（以角度制表示，精确到） 10．已知，若，，则的值为 . 11．已知三角形ABC为等腰三角形，其中，，在AB、AC上分别取D、E两点，若沿线段DE折叠该三角形时，顶点A恰好落在边BC上.则线段AD的长度的最小值为 . 12．若对任意的，存在，满足不等式，则实数的取值范围是 ． 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14每题4分，15、16每题5分）. 13．下列命题中，正确的是（    ） A．1弧度的角就是长为半径的弦所对的圆心角 B．若是第一象限的角，则也是第一象限的角 C．若两个角的终边重合，则这两个角相等 D．用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径有关 14．在中，内角满足，则的形状为（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．正三角形 15．若，，则（    ） A． B． C． D． 16．17世纪德国著名的天文学家开普勒曾经这样说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割．如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿．”黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是一个顶角为的等腰三角形（另一种是顶角为的等腰三角形）．例如，五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，如图所示，在其中一个黄金中，．根据这些信息，可得（    ） A． B． C． D． 三、解答题（本大题共5题，第17-19题每题14分，第20-21题每题18分，共78分）. 17．（14分）已知.求： (1)的值； (2)求的值. 18．（14分）已知α为第三象限角，. (1)化简； (2)若，求的值. 19．（14分）已知的内角所对边的长度分别为． (1)若，求和外接圆半径的值； (2)若，求的值． 20．（18分）吴淞口灯塔采用世界先进的北斗卫星导航遥测遥控系统，某校数学建模小组测量其高度（单位：，如示意图，垂直放置的标杆的高度，使，，在同一直线上，也在同一水平面上，仰角，.（本题的距离精确到 (1)该小组测得､的一组值为，，请据此计算的值； (2)该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到灯塔的距离（单位：，使与之差较大，可以提高测量精确度.若灯塔的实际高度为，试问为多少时，最大？ 21．（18分）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边. (1)若，求A的大小； (2)若BC边上的高等于，且，求的取值范围； (3)求实数t的取值范围，使得对任意实数x和任意角A（），恒有. 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 第6章 三角 单元测评卷 建议用时：120分钟，满分：150分 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14每题4分，15、16每题5分）. 13.B 14.B 15.A. 16.C 三、解答题（本大题共5题，第17-19题每题14分，第20-21题每题18分，共78分）. 17．（14分）【详解】（1）显然，故则，解得. （6分） （2） （8分） 18．（14分）【详解】（1） . （7分） （2）,则. 所以. （7分） 19．（14分）【详解】（1）因为，则，且. 由正弦定理得（为外接圆的半径），即， 即，， 因为，所以， 因此，； （7分） （2）因为， 由正弦定理可得， 所以， 又，所以，所以，则， 又，所以. （7分） 20．（18分）【详解】（1）由可得：， 同理可得， 因为， 所以， 可得. （8分） （2）由题意可得， 则， 所以， 而， 当且仅当时等号成立， 故当时，取最大值， 因为，所以， 所以时，最大. （10分） 21．（18分）【详解】（1）因为， 所以由正弦定理可得， 整理得，即， 因为，， 所以，因为，所以； （4分） （2）因为边上的高等于， 由三角形面积公式得，即， 又由余弦定理可得，， 从而有， 所以， 因为，所以，所以， ，所以的取值范围为. （6分） （3）令 ， 所以当时， ， 所以 所以， 所以， 所以①或②， 因为，又， 所以， 由①可得， ， 所以， 所以， 由②可得， 所以， 由对勾函数性质可知，所以. 综上所述：实数的取值范围为. （8分） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $