5.3诱导公式(二) 课件-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学课件聚焦诱导公式五~六，在诱导公式一~四基础上，通过表格对比终边关系、思考探究特殊位置关系等自主导学内容，搭建知识支架，帮助学生衔接旧知，自主推导新公式。 其亮点在于以逻辑推理和数学运算为核心，设置明辨是非辨析公式适用范围，典例与即学即练结合，分层训练求值、证明等问题。如典例2证明恒等式，引导学生分步推理转化，提升推理能力。学生能深化公式理解与应用，教师可直接使用分层案例，高效落实教学目标。

01 02 必备知识•自主导学 关键能力•师生共研 5.3　诱导公式(二) 内容概览 【学习目标】 1.在诱导公式二~四的基础上,掌握诱导公式五~六的推导过程.(直观想象、逻辑推理) 2.能够运用诱导公式一~六解决与三角函数有关的求值、化简、证明问题.(逻辑推理、数学运算) 01 必备知识•自主导学 诱导公式五~六 1.公式五 诱导公式 图形表示 终边关系 sin (-α)=cos α 角-α与角α的终边关于直线 y=x对称. cos (-α)=sin α 2.公式六 诱导公式 图形表示 终边关系 sin (+α)=cos α 角-α与角α的终边关于直线y=x 对称;+α与-α的终边关于y轴对称. cos (+α)=-sin α 【思考】 借助单位圆,还可以建立角的终边之间的哪些特殊位置关系?由此还能得到三角函数值之间的哪些恒等关系? 提示:设角α和-α的终边与单位圆分别交于点P,Q,根据三角函数定义可知: P(cos α,sin α),Q(cos(-α),sin(-α)),而射线OP,OQ关于直线y=-x对称, 因此有sin(-α) =-cos α,cos(-α) =-sin α成立. 【点拨】 1.公式五、六记忆口诀“函数名改变,符号看象限”. 2.对形如“k·±α”(k=0,1,2,3)的诱导公式,当k=0,2时函数名不变,当k=1,3时函数名改变;统一的记忆口诀“奇变偶不变,符号看象限”. 【明辨是非】(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)诱导公式五、六中的角α只能是锐角.( ) 提示:诱导公式五、六中的角α是任意角,故错误. (2)sin (α-) =cos α.( ) 提示:sin (α-) =-sin (-α) =-cos α,故错误. (3)若α为第二象限角,则sin (+α) =cos α.( ) (4)对任意角α,sin (-α) =sin α都不成立.( ) 提示:当α=时,sin (-α) =sin α成立,故错误. × × √ × 02 关键能力•师生共研 类型1求值问题(数学运算) 【典例1】(1)若sin α=,则(　　) A.cos (-α) = B.sin (-α) = C.sin (π+α)= D.sin (π-α)=- 【解析】选A.因为sin α=,所以cos (-α) =sin α=,sin (-α) =cos α=±, sin (π+α)=-sin α=-,sin (π-α)=sin α=. (2)若sin (+α) =,则cos (-α) =(　　) A.- B. C.- D. 【解析】选B.因为(+α) +(-α) =, 所以-α=-(+α), 所以cos (-α) =cos [-(+α)] =sin (+α) =. 【总结升华】 利用诱导公式解决求值问题 (1)定关系:确定已知角与所求角之间的关系; (2)定公式:选择相应的诱导公式; (3)得结论:根据选择的诱导公式,将所求角的三角函数转化为已知角的三角函数值,从而得到结果. 【即学即练】 1.(2025·南京高一检测)已知cos α=-,<α<π,则cos(+α)的值为(　　) A.- B.- C. D. 【解析】选D.由cos α=-,<α<π,得sin α>0, 所以cos(+α) =sin α==. 2.已知sin (+α) =,则cos (α-) =(　　) A.- B.- C. D.± 【解析】选D.由题意得sin (+α) =cos α=,所以cos (α-) =sin α=±. 类型2证明恒等式(逻辑推理) 【典例2】设tan (α+) =m. 求证:=. 【证明】左边== =, 把tan (α+) =m代入,得原式==右边,故原等式成立. 【总结升华】 利用诱导公式证明恒等式 (1)方法:从左向右推导或左右归一; (2)注意:化简要遵循一定的原则,如先负化正,再大化小,先不变名称变形,再变名称变形等. 【即学即练】 求证:=-cos θ. 【证明】左边== =-cos θ, 所以左边=右边,故原式成立. 类型3综合应用(逻辑推理、数学运算) 【典例3】(1)已知α是第三象限角,且sin α=-,求f(α)=的值; (2)已知sin β+cos β=(0<β<π),求tan β的值. 【解析】(1)因为α是第三象限角,且sin α=-, 所以cos α=-=-=-, 又f(α)===cos α,所以f(α)=-. (2)因为sin β+cos β=①, 所以(sin β+cos β)2=1+2sin βcos β=, 即2sin βcos β=-<0, 又0<β<π,所以<β<π,由(sin β-cos β)2=1-2sin βcos β=1+=, 得sin β-cos β=②,联立①②得sin β=,cos β=-,所以tan β==-. 【总结升华】 利用诱导公式解决综合类问题 (1)综合应用诱导公式一~六,结合同角三角函数的基本关系解题; (2)解题的过程中注意运用弦切互化、“1”的代换、公式变形等方法解题. 【即学即练】 1.(2024·六盘水高一检测)设α∈(,),β∈(,),且sin (α+) =cos β,则(　　) A.α+β= B.α-β= C.α+β= D.α-β= 【解析】选D.依题意得cos β=sin (α+) =cos [-(α+)] =cos (-α) =cos (α-), α∈(,),α-∈(0,),而β∈(,), 所以α-=β,α-β=. 2.(2025·佛山高一检测) 已知f(α)=. (1)若f(α)=-,且α∈(0,π),求α的值; (2)若f(α+) =,求sin2(-α) +sin (-α)的值. 【解析】(1)f(α)===cos α, 因为f(α)=-,所以cos α=-,又α∈(0,π),所以α=. (2)由(1)知f(α+) =cos (α+), 因为f(α+) =,所以cos (α+) =, 令x=α+,则cos x=,α=x-, 所以sin2(-α) +sin (-α) =sin2(π-x)+sin (-x) =sin2x+cos x=1-cos2x+cos x=. 【教材深一度】 诱导公式在三角形中的应用 (1)sin=sin C,sin=sin B,sin(B+C)=sin A; (2)cos=-cos C,cos=-cos B,cos(B+C)=-cos A; (3)tan=-tan C,tan=-tan B,tan(B+C)=-tan A; (4)sin=cos;sin=cos,sin=cos; (5)cos=sin,cos=sin,cos=sin. 【典例4】已知A,B,C为△ABC的内角. (1)求证:cos2+cos2=1; (2)若cos(+A) sin(+B) tan(C-π)<0, 求证:△ABC为钝角三角形. 【证明】(1)因为在△ABC中,A+B=π-C, 所以=-,所以cos=cos(-) =sin, 所以cos2+cos2=sin2+cos2=1. (2)因为cos(+A) sin(+B) tan(C-π)<0, 所以-sinA·(-cos B)·tan C<0, 即sin Acos Btan C<0. 又A,B,C∈(0,π),所以sin A>0, 所以cos Btan C<0, 即cos B<0,tan C>0或tan C<0,cos B>0, 所以B为钝角或C为钝角, 所以△ABC为钝角三角形. $