5.4.3 正切函数的性质与图象 课件-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学课件聚焦正切函数的性质与图象，通过“必备知识•自主导学”梳理定义域、值域、周期等核心性质，结合思考、点拨及明辨是非环节，帮助学生从已学三角函数知识自然过渡，构建知识支架。 其亮点是分模块设计，“关键能力•师生共研”通过典例（如换元法求值域、诱导公式比大小）与即学即练，渗透数学抽象、逻辑推理。总结升华提炼解题方法，学生能系统掌握知识提升能力，教师可直接用于教学提高效率。

01 02 必备知识•自主导学 关键能力•师生共研 5.4.3　正切函数的性质与图象 内容概览 【学习目标】 1.了解正切函数图象的画法,理解并掌握正切函数的性质.(数学抽象、直观想象) 2.能够利用正切函数的图象与性质解决相关问题.(数学抽象、数学运算) 01 必备知识•自主导学 正切函数y=tan x的性质和图象 解析式 y=tan x 图象 定义域 (k∈Z) (k∈Z) 值域 R 周期 奇偶性 奇函数 单调性 在区间上单调递增 对称性 对称中心 π 【思考】 正切函数y=tan x在定义域上是单调递增函数吗? 提示:正切函数在每一个区间,k∈Z上单调递增,不能说在定义域上单调递增. 【点拨】 (1)正切函数无单调递减区间,在每一个区间内都是递增的,并且每个单调区间均为开区间. (2)正切曲线在x轴上方的部分下凸,在x轴下方的部分上凸,画图时,要注意曲线的光滑性及凸凹性. (3)正切曲线是由被相互平行的直线x=+kπ,k∈Z所隔开的无穷多支曲线组成的,这些平行直线也称为正切曲线的渐近线,即无限接近但不相交. 【明辨是非】(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)正切函数的值域和定义域都是R.( ) 提示:正切函数的值域为R,定义域为. (2)正切函数的对称中心为,k∈Z.( ) 提示:正切函数的对称中心为,k∈Z. (3)函数y=tan x为奇函数,故对任意x∈R都有tan (-x)=-tan x.( ) 提示:x≠+kπ,k∈Z. × × × 02 关键能力•师生共研 类型1正切函数的定义域、值域问题(数学抽象) 【典例1】函数y=tan (-x)的定义域是(　　) A.{x|x=kπ-,k∈Z} B.{x|kπ-<x<kπ+,k∈Z} C.{x|x≠kπ-,k∈Z} D.{x|x≠kπ+,k∈Z} 【分析】根据对数式中真数大于零,列出不等式tan (-x)>0,从而求解. 【解析】选B.由题意得tan (-x)>0,即tan (x-)<0,所以kπ-<x-<kπ,k∈Z, 所以kπ-<x<kπ+,k∈Z,故B项正确. 【总结升华】 求正切函数定义域、值域的方法 (1)求与正切函数有关的函数定义域时,除了求函数定义域的一般要求外,还要保证正切函数y=tan x有意义,即x≠+kπ,k∈Z. (2)求正切型函数y=Atan (ωx+φ)(A≠0,ω>0)的定义域时,要将“ωx+φ”视为一个整体.令ωx+φ≠kπ+,k∈Z,解得x. (3)处理正切函数值域问题时,应注意正切函数自身值域为R,将问题转化为某种函数的值域求解. 【即学即练】 1.函数y=sin +3tan x的定义域是　　　　　　　　　.  【解析】要使得y=sin +3tan x有意义, 则, 解得-2≤x≤2,同时去掉-和, 故函数y=sin +3tan x的定义域是: [-2,-)∪(-,)∪(,2]. 答案: [-2,-)∪(-,)∪(,2] 2.函数y=tan 2x-2tan x(|x|≤)的值域为　　　　　　　　.  【分析】利用换元法,结合正切函数的单调性、二次函数的单调性进行求解即可. 【解析】令u=tan x,因为|x|≤,所以由正切函数的单调性可知u∈[-,], 所以原函数可化为y=u2-2u,u∈[-,], 因为二次函数y=u2-2u=(u-1)2-1的图象开口向上,对称轴为u=1, 所以当u=1时,ymin=-1, 当u=-时,ymax=3+2,所以原函数的值域为[-1,3+2]. 答案:[-1,3+2] 类型2正切函数单调性及其应用(逻辑推理) 【典例2】(1)下列各式中正确的是(　　) A.tan 1>-tan 2 B.tan 735°>tan 800° C.tan >tan D.tan >tan 【分析】根据正切函数的图象与性质,结合正切函数的单调性和诱导公式,逐项判定,即可求解. 【解析】选C.对于A中,由0<1<,且<2<,由正切函数y=tan x的性质, 可得0<tan 1<tan =,tan 2<0且tan 2<tan =-, 所以-tan 2>,所以tan 1<-tan 2,所以A错误; 对于B中, 由tan 735°=tan 15°,tan 800°=tan 80°, 由正切函数y=tan x的单调性可得tan 15°<tan 80°,即tan 735°<tan 800°,所以B错误; 对于C中,由正切函数y=tan x在(,π)上为单调递增函数, 因为<,所以tan >tan ,所以C正确; 对于D中,由tan =tan (π+)=tan ,由正切函数的单调性,可得tan <tan , 即tan <tan ,所以D错误. (2)函数y=tan (-3x+)的单调递减区间是　　　　　　　　.  【解析】因为y=tan (-3x+)=-tan (3x-), 令kπ-<3x-<kπ+,k∈Z, 解得-<x<+,k∈Z, 所以函数y=tan (-3x+)的单调递减区间为(-,+),k∈Z. 答案: (-,+)(k∈Z) 【总结升华】 1.运用正切函数单调性比较大小的方法 (1)运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内. (2)运用单调性比较大小关系. 2.求函数y=tan (ωx+φ)的单调区间的方法 y=tan (ωx+φ)(ω>0)的单调区间的求法是把ωx+φ看成一个整体,解-+kπ< ωx+φ<+kπ,k∈Z即可.当ω<0时,先用诱导公式把ω化为正值再求单调区间. 【即学即练】 1.tan 1,tan 2,tan 3,tan 4从小到大的排列顺序为　　　　　　　　　.  【解析】tan 2=tan (2-π),tan 3=tan (3-π),tan 4=tan (4-π). 又因为-<2-π<3-π<4-π<1<且y=tan x在(-,)上单调递增, 所以tan (2-π)<tan (3-π)<tan (4-π)<tan 1, 即tan 2<tan 3<tan 4<tan 1. 答案:tan 2<tan 3<tan 4<tan 1 2.已知函数y=tan ωx在区间(-,)上单调递减,则(　　) A.{ω|0<ω≤1} B.{ω|-1≤ω<0} C.{ω|ω≥1} D.{ω|ω≤-1} 【解析】选B.因为y=tan ωx在(-,)上单调递减, 所以ω<0且T=≥π,所以{ω|-1≤ω<0}. 类型3与正切函数有关的奇偶性、周期性、对称性问题(逻辑推理、直观想象) 【典例3】(1)关于函数f(x)=|tan x|的性质,下列叙述不正确的是(　　) A.f(x)是偶函数 B.f(x)的图象关于直线x=kπ(k∈Z)对称 C.f(x)的最小正周期是 D.f(x)在(kπ,+kπ)(k∈Z)内单调递增 【分析】作出f(x)=|tan x|的图象,结合正切函数的性质对选项逐一判断. 【解析】选C.作出f(x)=|tan x|的图象如图所示, 对于A,f(-x)=|tan (-x)|=|tan x|=f(x),故f(x)是偶函数,故A正确,不符合题意; 对于B,结合正切函数的性质知f(x)的图象关于直线x=kπ(k∈Z)对称,故B正确,不符合题意; 对于C,f(x)的最小正周期是π,故C错误,符合题意; 对于D,结合正切函数的性质知f(x)在(kπ,+ kπ)(k∈Z)内单调递增,故D正确,不符合题意. (2)(多选)关于函数y=tan (2x-),下列说法错误的是(　　) A.函数是奇函数 B.函数在区间(0,)上单调递减 C.(,0)为其图象的一个对称中心 D.函数最小正周期为π 【解析】选ABD.因为f(x)=tan (2x-),f(-x)=tan (2(-x)-)=-tan (2x+), 所以函数y=tan (2x-)是非奇非偶函数,A说法错误,符合题意; 当x∈(0,)时2x-∈(-,), 因为y=tan t在t∈(-,)上单调递增,故B说法错误,符合题意; 因为当x=时,tan (2×-)=0,所以(,0)为其图象的一个对称中心,故C说法正确,不符合题意; y=tan (2x-)的最小正周期为,D说法错误,符合题意. 【总结升华】 1.函数f(x)=Atan (ωx+φ)周期的求解方法 (1)定义法. (2)公式法:对于函数f(x)=Atan (ωx+φ),它的最小正周期T=. (3)观察法(或图象法):观察函数的图象,看自变量间隔多少差值重复出现. 2.关于正切函数的对称性和奇偶性 (1)对于函数y=Atan,可令ωx+φ=,k∈Z,解出x后可得对称中心; (2)对于奇偶性的判断,一是直接利用定义,根据诱导公式变形进行判断;二是根据正切函数是奇函数,利用奇、偶函数的运算性质进行判断. 提醒:正切函数的对称中心为(,0),k∈Z,而不是,k∈Z. 【即学即练】 1.(多选)已知函数f(x)=tan (2x-),则下列说法正确的是(　　) A.函数f(x)的定义域为{x|x≠+,k∈Z} B.函数|f(x)|的周期与函数g(x)=|sin x|的周期相同 C.函数f(x)图象的对称中心为(+,0),k∈Z D.函数f(x)的单调递增区间为(-+,+),k∈Z 【解析】选AD.对于A,令2x-≠kπ+,k∈Z,则x≠+,k∈Z,所以函数f(x)的定义域为{x|x≠ +,k∈Z},A正确; 对于B,因为函数|f(x)|的周期与f(x)的周期相同,为T=,g(x)=|sin x|的周期T'=π,即函数|f(x)|的周期与函数g(x)=|sin x|的周期不相同,B错误; 对于C,令2x-=,k∈Z,则x=+,k∈Z, 所以函数f(x)图象的对称中心为(+,0),k∈Z,C错误; 对于D,令kπ-<2x-<kπ+,k∈Z, 则-+<x<+,k∈Z, 所以函数f(x)的单调递增区间为(-+,+),k∈Z,D正确. 2.若f(x)=tan ωx的相邻两个对称中心距离是,则正实数ω的值是　　　　.  【解析】由于f(x)=tan ωx的周期为T=, 由于相邻两个对称中心距离是T, 所以T=,则T=π⇒ω=1. 答案:1 $