5.4.2正弦函数、余弦函数的性质(一) 课件-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学课件聚焦正弦函数、余弦函数的周期性与奇偶性，通过“必备知识·自主导学”模块，以周期函数定义为起点，结合表格对比两函数定义域、周期及奇偶性，设置思考与点拨环节，搭建从抽象定义到具体函数性质的认知支架，衔接函数基本概念与三角函数特性。 其亮点在于融入数学抽象、直观想象等核心素养，通过“明辨是非”题强化概念辨析，如判断“π/2是否为y=sinx的周期”培养严谨思维。典例采用定义法、公式法、图象法求周期，结合“即学即练”与变式题分层巩固，总结升华提炼方法助学生结构化认知，既深化学生理解，又为教师提供系统教学资源提升效率。

01 02 必备知识•自主导学 关键能力•师生共研 5.4.2　正弦函数、余弦函数的性质(一) 内容概览 【学习目标】 1.了解周期函数、周期、最小正周期的意义.(数学抽象) 2.会求函数y=Asin (ωx+φ)及y=Acos (ωx+φ)(其中A,ω,φ为常数,且A≠0,ω>0)的周期.(直观想象) 3.掌握y=sin x,y=cos x的奇偶性,会判断简单三角函数的奇偶性.(数学抽象) 01 必备知识•自主导学 一、周期函数 1.函数的周期性 一般地,设函数f(x)的定义域为D,如果存在一个__________,使得对每一 个x∈D都有x+T∈D,且___________,那么函数f(x)就叫做周期函数._______ ____叫做这个函数的周期. 2.最小正周期 如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个___________,那么这个最小正 数就叫做f(x)的最小正周期. 非零常数T f(x+T)=f(x) 非零常 数T 最小的正数 二、正弦函数、余弦函数的周期性与奇偶性 函数 y=sin x y=cos x 图象 定义域 R R 周期 2kπ(k∈Z且k≠0) 2kπ(k∈Z且k≠0) 最小正周期 2π ___ 奇偶性 _______ _______ 2π 奇函数 偶函数 【思考】 是不是所有的函数都有最小正周期?举例说明. 提示:不是所有的函数都有最小正周期.例如,常函数f(x)=C(C为常数),x∈R是周期函数,但它没有最小正周期. 【点拨】 1.函数的周期性 (1)关键词“每一个x”体现了对定义域中每一个值都成立. (2)周期函数的周期不唯一,任何T的非零整数倍都是函数的周期. (3)三角函数的周期是函数的整体性质,我们在研究函数时,只需研究一个周期上的图象和性质即可. (4)若不加特殊说明,一般求三角函数的周期的问题,求的是函数的最小正周期. 2.函数奇偶性 (1)判断函数奇偶性应把握好的两个方面: 一看函数的定义域是否关于原点对称; 二看f(x)与f(-x)的关系. (2)对于三角函数奇偶性的判断,有时可根据诱导公式先将函数式化简后再判断. 提醒:研究函数性质应遵循“定义域优先”的原则. (3)正弦函数是奇函数,余弦函数是偶函数. 【明辨是非】(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)因为sin (+)=sin ,所以是函数y=sin x的一个周期.( ) (2)函数f(x)=1是周期函数,无最小正周期.( ) (3)因为sin (2x+2π)=sin 2x,所以函数y=sin 2x的最小正周期为2π.( ) (4)函数y=sin x,x∈(-π,π]是奇函数.( ) × √ × × 02 关键能力•师生共研 类型1正弦函数、余弦函数的周期性(数学抽象) 【典例1】求下列三角函数的最小正周期: (1)y=7sin x,x∈R; (2)y=sin 2x,x∈R; (3)y=sin (x-),x∈R; (4)y=|cos x|,x∈R. 【解析】(1)因为7sin (x+2π)=7sin x,由周期函数的定义知,y=7sin x的最小正周期为2π. (2)因为sin 2(x+π)=sin (2x+2π)=sin 2x,所以y=sin 2x的最小正周期为π. (3)因为sin [(x+6π)-]=sin (x+2π-)=sin (x-),所以y=sin (x-)的最小正周期为6π. (4)y=|cos x|的图象如图(实线部分)所示. 由图象可知,y=|cos x|的最小正周期为π. 【总结升华】 求三角函数最小正周期的常用方法 定义法 利用周期函数的定义求解. 公式法 对形如y=Asin (ωx+φ)或y=Acos (ωx+φ)(A,ω,φ是常数,A≠0, ω≠0) 的函数,T=. 图象法 利用变换的方法或作出函数的图象,通过观察得到最小正周期. 【即学即练】 求下列三角函数的最小正周期: (1)y=|sin x|; (2)y=cos πx; (3)y=3sin (x+); (4)y=2cos (2x-). 【解析】(1)由f(x)=|sin x|,f(x+π)=|sin (x+ π)| =|sin x|=f(x),得y=|sin x|的最小正周期为 π(或通过图象判断). (2)由y=cos πx,得T===2. (3)由y=3sin (x+),得T===4π. (4)由y=2cos (2x-),得T===π. 类型2正弦函数、余弦函数的奇偶性(直观想象) 【典例2】(1)已知函数f(x)=sin (-x+),则函数f(x)为(　　) A.奇函数 B.偶函数 C.既是奇函数又是偶函数 D.非奇非偶函数 【解析】选B.函数的定义域为R,关于原点对称. 因为f(x)=sin (-x+)=cos x, 所以f(-x)=cos (-x)=cos x=f(x), 所以f(x)是偶函数. (2)判断下列函数的奇偶性,并说明理由. ①y=|sin x|;②y=;③y=sin x+tan x;④y=+. 【解析】①对任意x∈R,因为f(-x)=|sin (-x)|=|-sin x|=|sin x|=f(x),所以函数y=|sin x|为偶函数. ②定义域为{x|x≠2kπ-,k∈Z},因为定义域不关于原点对称,所以函数y=为非奇非偶函数. ③定义域为{x|x≠kπ+,k∈Z},关于原点对称.因为f(-x)=sin (-x)+tan (-x)=-sin x-tan x =-f(x),所以函数y=sin x+tan x是奇函数. ④由得cos x=1,所以x=2kπ(k∈Z),此时f(x)=0,故该函数既是奇函数又是偶函数. 【总结升华】 判断函数奇偶性的思路 【即学即练】 判断下列函数的奇偶性,并说明理由: (1)y=sin 3x; (2)y=xsin x; (3)y=2sin (x+). 【分析】先求出函数的定义域,求出f(-x),然后利用函数奇偶性的定义进行判断即可. 【解析】(1)函数的定义域为R, f(-x)=sin 3(-x)=-sin 3x=-f(x), 则y=f(x)=sin 3x为奇函数. (2)函数的定义域为R, f(-x)=-xsin (-x)=xsin x=f(x), 则y=f(x)=xsin x为偶函数. (3)函数的定义域为R,f(0)=2sin =1≠0,所以y=2sin (x+)不是奇函数, f(-)=2sin 0=0,f()=2sin =,f(-)≠f(),则y=2sin (x+)不是偶函数,所以y=f(x)=2sin (x+)是非奇非偶函数. 类型3三角函数奇偶性与周期性的综合应用(数学运算、逻辑推理) 【典例3】(一题多变)[母题]定义在R上的函数f(x)既是偶函数,又是周期函数,若f(x)的最小正周期为π,且当x∈[0,)时,f(x)=sin x,则f()等于(　　) A.- B. C.- D. 【解析】选D.f()=f(-2π)=f(-)=f()=sin =. [变式]在[母题]条件中,把“偶函数”变成“奇函数”,其他不变,则f()的值 为　　　　.  【解析】f()=f(-2π)=f(-)=-f()=-sin =-. 答案:- 【即学即练】 函数y=f(x)是R上的周期为3的偶函数,且f(-1)=3,则f(2 026)=　　　　.  【解析】T=3,且f(x)为偶函数.又2 026=675×3+1,所以f(2 026)=f(675×3+1) =f(1)=f(-1)=3. 答案:3 教材深一度 抽象函数的奇偶性与周期性 【典例4】(教材习题T18改编)已知周期函数y=f(x)的图象如图所示. (1)求函数的最小正周期; (2)画出函数y=f(x+1)的图象; (3)写出函数y=f(x)的解析式. (4)画出函数y=f(x+)-的图象,并研究其奇偶性、周期性. 【解析】(1)根据题函数图象可知,函数的最小正周期T=2. (2)函数y=f(x+1)的图象如图所示: (3)函数y=f(x)的解析式为 f(x)=|x-2k|,x∈[2k-1,2k+1],k∈Z. 由图象可知函数y=f(x)在定义域为一个周期内的解析式为y=|x|,x∈[-1,1], 当x∈[2k-1,2k+1]时,x-2k∈[-1,1], 所以y=f(x-2k)=|x-2k|,因为函数y=f(x)的周期为2,所以f(x)=f(x-2k),故y=f(x)的解析式为f(x)=|x-2k|,x∈[2k-1,2k+1],k∈Z. (4)函数y=f(x+)-的图象如图所示,函数是R上周期为2的奇函数. 【结论】 1.抽象函数的奇偶性与对称性 (1)奇函数关于原点对称,偶函数关于y轴对称. (2)若f(x+a)是偶函数,则函数f(x)图象的对称轴为x=a;若f(x+a)是奇函数,则函数f(x)图象的对称中心为(a,0). 2.抽象函数的周期性 对f(x)定义域内任一自变量x: (1)若f(x+a)=-f(x),则T=2a(a≠0). (2)若f(x+a)=,则T=2a(a≠0). (3)若f(x+a)=-,则T=2a(a≠0). (4)若f(x+a)+f(x)=c,则T=2a(a≠0,c为常数). [变式]已知f(x)是定义在R上的奇函数,且函数f(x+1)为偶函数,当-1≤x≤0时, f(x)=x3,则f()等于(　　) A. B.- C. D.- 【解析】选A.由函数f(x+1)为偶函数, 可得函数f(x)的图象关于直线x=1对称,所以f(2+x)=f(-x), 因为f(x)是定义在R上的奇函数, 所以f(4+x)=f(-2-x)=-f(2+x)=-f(-x)=f(x),可得函数f(x)的周期为4, 所以f()=f()=-f(-)=- (-)3=. $