5.4.2 正弦函数、余弦函数的性质(二) 课件-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学课件聚焦正弦函数、余弦函数的单调性、单调区间及最值与值域，通过“必备知识•自主导学”梳理基础性质，再以“关键能力•师生共研”展开进阶应用，构建从概念到技能的学习支架。 其亮点在于结合数学运算与逻辑推理，通过典例解析（如整体代换求单调区间）和即学即练，提炼比较大小、求区间的步骤方法，助力学生深化理解，教师可依托此资料提升教学效率与学生思维能力。

01 02 必备知识•自主导学 关键能力•师生共研 5.4.2　正弦函数、余弦函数的性质(二) 内容概览 【学习目标】 1.掌握y=sin x,y=cos x的单调性,并能利用单调性比较大小.(数学运算、数学抽象) 2.会求函数y=Asin (ωx+φ)及y=Acos (ωx+φ)(其中A,ω,φ为常数,且A≠0,ω>0)的单调区间.(数学运算) 3.掌握y=sin x,y=cos x的最大值与最小值,并会求简单三角函数的值域和最值.(数学运算、数学抽象) 01 必备知识•自主导学 正弦函数、余弦函数的性质 1.正弦曲线: 函数 y=sin x 图象 值域 ______ [-1,1] [-+2kπ,+2kπ],k∈Z [+2kπ,+2kπ],k∈Z +2kπ,k∈Z -+2kπ,k∈Z 单调性 在_____________________上单调递增, 在_____________________上单调递减 最值 x=时,ymax=1;x=____________时,ymin=-1 2.余弦曲线: 函数 y=cos x 图象 值域 ______ 单调性 在_________________上单调递增, 在________________上单调递减 最值 x=_________时,ymax=__;x=___________时,ymin=___ [-1,1] [-π+2kπ,2kπ],k∈Z [2kπ,π+2kπ],k∈Z 2kπ,k∈Z 1 π+2kπ,k∈Z -1 【点拨】 (1)正、余弦函数的单调性只针对区间,不能针对象限. (2)正、余弦函数都不是单调函数,但它们都有无数个单调区间. (3)利用单调性,可以比较同一个单调区间内的同名三角函数值的大小. 【明辨是非】(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)正弦函数y=sin x在R上是增函数.( ) 提示:正弦函数y=sin x在R上不是单调函数. (2)余弦函数y=cos x的一个减区间是[0,π].( ) 提示:[2kπ,π+2kπ]中,令k=0得[0,π]. (3)∃x∈[0,2π]满足sin x=2.( ) 提示:因为|sin x|≤1,所以不存在使sin x=2的x值. × √ × 02 关键能力•师生共研 类型1利用单调性比较大小(逻辑推理) 【典例1】利用三角函数的单调性,比较下列各组数的大小. (1)sin 220°与sin 230°; (2)sin (-)与cos (-). 【解析】(1)因为函数y=sin x在90°≤x≤270°上单调递减,且90°<220°<230° <270°, 所以sin 220°>sin 230°. (2)sin (-)=sin =-sin ,cos (-)=cos =-cos =-sin . 因为函数y=sin x在[-,]上单调递增, 而-<<<,所以sin <sin , 所以-sin >-sin . 故sin (-)>cos (-). 【总结升华】 比较三角函数值大小的步骤 (1)异名函数化为同名函数. (2)利用诱导公式把已知角转化到同一单调区间上. (3)利用函数的单调性比较大小. 【即学即练】 1.下列选项中正确的是(　　) A.sin 11°<sin 168°<cos 10° B.sin 168°<sin 11°<cos 10° C.sin 11°<cos 10°<sin 168° D.sin 168°<cos 10°<sin 11° 【解析】选A.因为sin 168°=sin 12°,cos 10°=sin 80°,所以只需比较sin 11°, sin 12°,sin 80°的大小.因为y=sin x在[0,]上单调递增,所以sin 11°<sin 12°< sin 80°, 即sin 11°<sin 168°<cos 10°. 2.已知α,β为锐角三角形的两个内角,则以下结论正确的是(　　) A.sin α<sin β B.cos α<sin β C.cos α<cos β D.cos α>cos β 【解析】选B.因为α,β是锐角三角形的两个内角,故有α+β>,所以0<-β<α<,所以cos α<cos (-β)=sin β. 类型2求正、余弦函数的单调区间(逻辑推理) 【典例2】(类题·节节高) (1)求函数y=2sin (x-)的单调区间. (2)求函数f(x)=2sin (x-),x∈[0,2π]的单调区间. (3)求函数y=sin (-x)的单调递增区间. 【解析】(1)令z=x-,则y=2sin z. 因为z=x-是增函数,所以y=2sin z单调递增(减)时,函数y=2sin (x-)也单调递 增(减). 由z∈[2kπ-,2kπ+](k∈Z), 得x-∈[2kπ-,2kπ+](k∈Z), 即x∈[2kπ-,2kπ+](k∈Z), 故函数y=2sin (x-)的单调递增区间为[2kπ-,2kπ+](k∈Z). 同理可求函数y=2sin (x-)的单调递减区间为[2kπ+,2kπ+](k∈Z). (2)f(x)=2sin (x-)的单调递增区间为[2kπ-,2kπ+](k∈Z),又因为x∈[0,2π],所以0≤x≤或≤x≤2π,同理函数f(x)=2sin (x-),x∈[0,2π]的单调递减区间为[,]. 所以函数f(x)=2sin (x-),x∈[0,2π]的单调递增区间为[0,],[,2π],单调递减区间为[,]. (3)y=sin (-x)=-sin (x-), 令t=x-,又y=-sin t的单调递增区间是[2kπ+,2kπ+](k∈Z), 所以令+2kπ≤x-≤+2kπ,k∈Z, 得+2kπ≤x≤+2kπ,k∈Z, 所以函数y=sin (-x)的单调递增区间为[2kπ+,2kπ+](k∈Z). 【总结升华】 关于单调区间的求法 以函数f=Asin为例, (1)若A>0,ω>0,采用整体代换的方法,把ωx+φ代入正弦函数的单调递增、减区间,解出x的范围即可得到相应的区间; (2)若A<0,ω>0,如要求单调递增区间,则需要代入正弦函数的单调递减区间,解出x的范围; (3)若A>0,ω<0,则利用诱导公式把x的系数变为正数后,根据系数变为-A<0,选择相应的单调区间代入求解. 【即学即练】 1.函数y=sin(-x),x∈[0,2π]的单调递减区间为　　　　　　.  【解析】y=sin (-x)=-sin (x-), 令-+2kπ≤x-≤+2kπ,k∈Z, 解得-+2kπ≤x≤+2kπ,k∈Z, 又x∈[0,2π],所以0≤x≤或≤x≤2π, 所以原函数的单调递减区间为[0,],[,2π]. 答案: [0,],[,2π] 2.求函数y=2cos (2x-)的单调区间. 【解析】令2kπ-π≤2x-≤2kπ(k∈Z), 即2kπ-≤2x≤2kπ+(k∈Z), 所以kπ-≤x≤kπ+(k∈Z). 所以函数的单调递增区间为[kπ-,kπ+](k∈Z). 令2kπ≤2x-≤2kπ+π(k∈Z), 即2kπ+≤2x≤2kπ+(k∈Z), 所以kπ+≤x≤kπ+(k∈Z),所以函数的单调递减区间为[kπ+,kπ+](k∈Z). 所以函数y=2cos (2x-)的单调递增区间为[kπ-,kπ+](k∈Z),单调递减区间为[kπ+,kπ+](k∈Z). 类型3正、余弦函数的最值(值域)(逻辑推理) 角度1　R上的值域问题 【典例3】设函数f(x)=2cos (2x+)+3.求f(x)的最大值及取到最值时x的取值集合. 【解析】因为-1≤cos (2x+)≤1,所以当cos (2x+)=1时, f(x)=2cos (2x+)+3取得最大值2+3, 由cos (2x+)=1,得2x+=2kπ,k∈Z, 解得x=kπ-,k∈Z,所以f(x)取得最大值时, x的取值集合为{x|x=kπ-,k∈Z}. 【总结升华】 关于在R上的值域 以f=Asin,A>0为例,最大值为A,由ωx+φ=+2kπ,k∈Z,解得取最大值时的x值; 最小值为-A,由ωx+φ=-+2kπ,k∈Z,解得取最小值时的x值. 角度2　给定区间上的值域问题 【典例4】已知f(x)=2sin (2x-)+1,x∈[0,],求f(x)的最大值和最小值. 【解析】因为x∈[0,],所以-≤2x-≤, 当2x-=-,即x=0时,f(x)min=-+1, 当2x-=,即x=时,f(x)max=3, 综上,当x=0时,f(x)min=-+1, 当x=时,f(x)max=3. 【总结升华】 关于定区间上的值域 (1)以f=Asin,A>0,x∈[a,b]为例,令t=ωx+φ,x∈,求出t的取值范围B,结合图象,求出y=Asin t,t∈B的值域. (2)对于恒成立问题,可以通过移项转化为最值问题解决. 【即学即练】 1.若x是△ABC中的最小内角,则y=sin x的值域为(　　) A.[-1,1] B.(0,1] C.(0,] D.(0,] 【解析】选C.在△ABC中,可知A+B+C=π, 因为x是△ABC中的最小内角,所以3x≤π,可得0<x≤,又函数y=sin x在区间(0,]上单调递增, 且sin 0=0,sin =,所以sin x∈(0,]. 2.求函数y=cos (x+)+1,x∈[0,]的值域. 【解析】由y=cos (x+)+1,x∈[0,], 可得x+∈[,], 因为函数y=cos x在区间[,]上单调递减, 所以cos (x+)∈[-,],所以函数y=cos (x+)+1的值域为[,+1]. $