第九章 平面直角坐标系 章末核心复习 课件 2025-2026学年人教版数学七年级下册

该初中数学课件系统梳理了平面直角坐标系的核心知识，包括坐标系组成、点的坐标特征、平移规律及应用，通过知识框架图将概念、性质、方法串联，结合思维导图框架构建知识网络，体现知识点内在逻辑。 其亮点在于中考专题链接与分层练习设计，如用故宫建筑分布实例培养几何直观，通过割补法求面积渗透转化思想，好题必解分类型训练提升应用意识。帮助学生巩固知识，教师可精准把握学情，提升复习效率。

目录 LOGO 章末核心复习 第九章 平面直角坐标系 核心必读 结构必知 1. 两条共原点且互相垂直的数轴构成平面直角坐标系，在平面直角坐标系中，每一个点的坐标都是一对有序实数对 . 2. 平面直角坐标系内点(m， n)的坐标特征： 第一象限(+， +)，即 m>0， n>0；第二象限(－， +)，即 m<0， n>0；第三象限(－， －)，即 m<0， n<0；第四象限(+， －)，即 m>0， n<0； x 轴正半轴上的点， m<0， n=0； 结构必知 y 轴正半轴上的点， m=0， n>0；y 轴负半轴上的点， m=0， n<0；原点， m=0， n=0；反之亦成立 . 3. 建立适当的坐标系可以描述几何图形和点的位置，不同的坐标系，描述方式也不同 . 4. 点的平移与其坐标变化的规律是： 上加下减，右加左减，即向上平移 a 个单位长度，纵坐标加 a，向下平移 a 个单位长度，纵坐标减 a；向右平移 a 个单位长度，横坐标加 a，向左平移 a 个单位长度，横坐标减 a. 结构必知 专题 平面直角坐标系与点的坐标 1 链接中考 >>在平面直角坐标系中，点的坐标是核心，在特殊位置的点的坐标特征是中考考查的热点，一般都是以选择题形式出现 . 结构必知 例 1 [中考·大庆]已知 a+b ＞ 0， ab ＞ 0， 则在如图 9-1 所示的平面直角坐标系中，小手盖住的点的坐标可能是(　　) A.( a， b) B. ( －a， b) C. ( －， －b) D. ( a， －b) 结构必知 解： 因为 a+b ＞ 0， ab ＞ 0，所以 a ＞ 0， b ＞ 0. 因为小手盖住的点在第四象限， 所以横坐标为正数，纵坐标为负数 . 所以盖住的点的坐标可能是(a， － b) . 答案：D 结构必知 专题 用坐标表示地理位置 2 链接中考 >>学习坐标后，我们可以运用点的坐标表示实际生活中的地理位置，用坐标表示地理位置是中考的重要考点 . 这一考点考查的形式也简单，主要都是以选择题形式出现 . 结构必知 [中考·北京]如图 9-2 是利用平面直角坐标系画出的故宫博物院的主要建筑分布图，若这个坐标系分别以正 东、正北方向为x 轴、 y 轴的正方向， 表示太和殿的点的坐标为(0， －1)， 表示九龙壁的点的坐标为(4，1)， 例 2 结构必知 则表示下列宫殿的点的坐标正确的是( ) A.景仁宫(4，2) B.养心殿(－2，3) C.保和殿(1，0) D.武英殿(－3.5， －4) 结构必知 解题秘方：根据已知点的坐标建立平面直角坐标系，从而判断表示其他建筑的点的坐标. 结构必知 解： 由表示太和殿的点的坐标为(0，－1)，表示九龙壁的点的坐标为(4，1)，建立平面直角坐标系如图 9-2 所示 . 由图可知，表示景仁宫的点的坐标为(2， 4)，表示养心殿的点的坐标为(－2，3)，表示保和殿的点的坐标为(0，1)，表示武英殿的点的坐标为(－3.5， －3) . 答案： B 结构必知 专题 用坐标表示平移 3 链接中考 >>学习平面直角坐标系后，可以将点在坐标系中进行平移 . 将点的坐标的平移规律记熟是解决平移问题的关键 . 结构必知 [中考·江西]在平面直角坐标系中，将点 A(1，1)向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度得到点 B，则点B的坐标为_________. 例 3 (3，4) 结构必知 解题秘方：向右平移几个单位长度，横坐标加几；向上平移几个单位长度，纵坐标加几 . 解：将点A(1，1)向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度得到 点B，则点B的坐标为(1+2，1+3)，即(3，4) . 结构必知 专题 数形结合思想 4 专题解读>>数形结合包括两个方面：以数解形和以形助数 . 平面直角坐标系是该思想的典型应用：借助平面直角坐标系把几何问题转化为代数问题或把代数问题转化为几何问题，巧妙地将“数”与“形”结合起来，比较直观地解决问题 . 方法必会 如图 9-3，在平面直角坐标系中，已知点 A(4，4)， B(－2，0)， C(2，0). 例 4 方法必会 解：如图 9-3，作 AE ⊥ x 轴于点 E. ∵ A(4，4)， B(-2，0)， C(2，0)， ∴ BC=4， AE=4. ∴ S 三角形 ABC= BC·AE= × 4× 4=8. (1)求三角形 ABC 的面积 . 方法必会 解：因为 点 A的坐标为(4，4)， 所以将点A向左平移4个单位长度，点A在y轴上. 所以 将三角形ABC向左平移4个单位长度，点A落在 y 轴上 . (2)沿与 x 轴平行的方向平移三角形 ABC，使点 A 落在 y 轴上，应怎样平移？ 方法必会 专题 割补法、转化思想 5 专题解读>>不规则图形的面积求解策略：利用“分割”或“补形”将不规则图形的面积转化为规则图形的面积的和或差的形式，把所要解决的问题转化为另一个较容易解决的问题 . 这种求不规则图形面积的方法叫割补法；指导思想是化不规则为规则、化难为易的转化思想 . 方法必会 如图 9-4 所示的平面直角坐标系中，四 边 形 ABCD的顶点坐标分别为A(0 ，0)，B(9 ，0)，C(7， 5)，D(2，7)，试求四边形ABCD 的面积 . 例 5 方法必会 解： 如图 9-5，分别过点 D， C 向 x 轴作垂线，垂足分别是 E， F，则四边形 ABCD 被分割为三角形 AED， 梯形 EFCD， 三角形 CFB. 由各点的坐标可得 AE=2， DE=7，CF=5，EF=5. 方法必会 所以 S 四 边 形 ABCD=S 三 角 形 AED+S 梯 形 EFCD+ S 三 角 形 CFB= AE· DE+ (CF+DE) · EF+ CF· FB = × 2 × 7 + ×(5 + 7) × 5 + × 5× 2=42. 方法必会 1. [月考·重庆长寿区]如果 m 是任意实数，那么点 P(m+ 4， m-4)一定不在(　　) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 类型 利用平面直角坐标系中点的坐标特征解决问题 1 B 好题必解 2.[期末·贵阳花溪区]小丽特别喜欢学以致用，这天她尝试建立平面直角坐标系，并标注了部分城市的位置，如图所示. 若表示成都、武汉的点的坐标分别为(-1，2)， (3，2)，则表示贵阳的点的坐 标是( ) A(. 1，-2) B(. -1，0) C(. 0，0) D(. 0，-2) C 好题必解 3. 点 P(a－1， a2－9)在 x 轴负半轴 上，则 点 P的坐标是 _________. (－4，0) 好题必解 4. [中考·辽宁]在平面直角坐标系xOy 中，点A 的坐标为(3，0)，点B的坐标为(2，-2)，将线段AB平移得到线段CD，点A的对应点C的坐标为(3，5)，则点B的对应点D的坐标为(　 ) A. (7，-2) B. (2，3) C. (2，-7) D. (-3，-2) 类型 利用平移的特征求点的坐标 2 B 好题必解 5. [期中· 青岛崂山区]已知点A(－2，3)， B(－5， －1)，将 线段 AB 平移至 A′ B′的位置，点 A 的对应点 A′在 x 轴上，点 B 的对应点B′在 y 轴上，点 A′的横坐标为 a，点 B′的纵坐标为 b，则 a－b 的值为( 　　) A.－7 B.－1 C.7 D.1 C 好题必解 6. [新考法 分类讨论法]如图，已知点A(0，1)，B(2，0)， C(4，3). 类型 利用点的坐标求面积 3 好题必解 (1)求三角形ABC的面积； 好题必解 (2)设点P在坐标轴上，且三角形ABP的面积与三角形ABC的面积相等，求点P的坐标. 好题必解 好题必解 因为A(0，1)，所以当点P在点A上方时，1＋4＝5， 此时点P的坐标为(0，5)； 当点P在点A下方时，1－4＝－3，此时点P的坐标为(0，－3)． 综上，点P的坐标为(10，0)或(－6，0)或(0，5)或 (0，－3)． 好题必解 7. [月考·银川西夏区]如图，点 A(0，0)向上平移 1 个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到点 A1；点 A1 向上平移 1 个单位长度，再向右平移 2 个单位长度，得到点 A2；点 A2 向上平移2个单位长度， 再向右平移4个单位 长度，得到 点 A3； 类型 探究平面直角坐标系中点的坐标变化规律 4 好题必解 点A3向上平移4个单位长度，再向右平移8个单位长度，得到点A4；… ；按这个规律平移得到点 An，则点 An的横坐标为 ______. 2n－1　 好题必解 8. [情境题 游戏活动型]你玩过五子棋吗？它的比赛规则 是：两人各拥有一种颜色的棋子，每人每次在正方形网格的格点处下一子，两人轮流下，只要连续的同色5 个先成一条直线就算胜.如图是两人玩 的一盘棋，若棋盘上白棋①的坐标 为(-3，-2)，黑棋②的坐标为(-1，0). 类型 建立平面直角坐标系解决实际问题 5 好题必解 (1)请你根据题意，画出相应的平面直角坐标系； 解：建立的平面直角坐标系如图所示． 好题必解 (2)分别写出黑棋③和白棋④的坐标； 解：黑棋③的坐标为(－1，2)，白棋④的坐标为(2，2)． 好题必解 (3)现轮到黑棋下，要使黑棋这一步要胜，请写出这一步黑棋的坐标. 解：这一步黑棋的坐标为(3，－2)或(－2，3)． 好题必解 目录 LOGO 重点题型 平面直角坐标系中求几何图形的面积 学习目标 老师告诉你 在平面直角坐标系中，点 P (a， b) 到 x 轴的距离等于 |b|，到 y 轴的距离等于 |a|，若 P(a， b)， Q(a， c)， M(d， b)(a ≠ 0， b ≠ 0， b ≠ c， a ≠ d)，则 PM ∥ x 轴，PQ ∥ y 轴， PM 的长为 |a－d|， PQ 的长为 |b－c|. 利用这些知识可以求在平面直角坐标系中的几何图形的面积 . 满分题溯源 类型 求三角形的面积 1 例 1 如图 1，在平面直角坐标系中，三角形ABC的顶点坐标分别为A(-3，0)， B(0，3)，C(0， -1)，求出三角形 ABC 的面积. 题型1： 有一边在坐标轴上 满分题溯源 解题秘方：直接利用点的坐标求出三角形的底和高，从而求出面积 . 解：由 B(0，3)， C(0， －1)，得 BC=3－(－1) =4. 因为A(－3，0)，所以点A到y轴的距离，即BC边上的高OA 为 3，所 以S三 角 形ABC= BC·OA=×4× 3=6. 满分题溯源 如图 2，三角形 ABC 的三个顶点 的坐标分别为 A(4，1)， B(4，5)， C(-1，2)，求三角形 ABC 的面积 . 题型2：有一边与坐标轴平行 例 2 满分题溯源 解题秘方：利用AB∥y轴，求出AB边上的高，进而求出面积 . 解：由 A， B 两点的坐标 特 征，得边 AB∥ y轴， 所以 AB=5－1=4.如图 2，作 AB 边上的高 CD， 则点 D 的横坐标为 4，所以 CD=4－(－1)=5， 所以 S 三角形 ABC= × 4× 5=10. 满分题溯源 例 3 如图 3，在平面直角坐标系中，已知点A(－3， －1)， B(1，3)， C(2， －3)，求出三角形ABC 的 面积. 题型3：三边均不与坐标轴平行且三边均不在坐标轴上 满分题溯源 解题秘方：过三角形的三个顶点作坐标轴的平行线， 将三角形放在长方形或梯形中求面积 . 满分题溯源 解：如图 3，过点 A， C 分别作平行于 y 轴的直线，过点 B 作平行于 x 轴的直线，所作 直线的交点为 D， E，则四边形 ADEC 为梯形 . 因为 A(－3， －1)， B(1，3)， C(2， －3)， 所以 AD=4， CE=6， DB=4， BE=1， DE=5. 所 以 S 三 角 形 ABC=S 梯 形 ADEC－S 三 角 形 ADBS －S三角形 BCE= ( AD + CE)· DE － AD· DB － CE· BE=×(4+6) × 5－× 4× 4－ ×6× 1=14. 满分题溯源 类型 求四边形的面积 2 如图 4，已知四边形 ABCD 的四个顶点的坐标分别是 A(－4，5)， B(2，3)， C(4， －2)， D(－4， －5). 求四边形 ABCD 的面积 . 例 4 题型1：有一边平行于坐标轴(或在坐标轴上) 满分题溯源 解题秘方：通过作平行于坐标轴的一边的垂线，将四边形的面积转化为两个有两边平行于坐标轴的三角形和一个两 底边平行于坐标轴的梯形的面积之和 . 满分题溯源 解：如图 4， 分别过点 B， C作BE⊥ AD，CF⊥AD，垂足分别为 E， F，则 AE=5－3=2，BE =2－ ( －4) =6， EF = 3－(－2) =5， CF =4－(－4) =8， DF=－2－(－5) =3，所以S 四 边 形 ABCD= S 三角形 AEB+S 三角形CFD+S 梯形BEFC= × 2× 6+ ×3× 8+×(6+8) × 5=53. 满分题溯源 如图 5，已知四边形 ABCD 的四个 顶点的坐标分别是A(-4，5)， B(1，5)， C(4， -2)， D(-4， -5). 求四边形ABCD 的面积 . 题型2： 有两边平行于坐标轴(或在坐标轴上) 例 5 满分题溯源 解题秘方：通过分割将四边形ABCD的面积转化为两个有 一 边平行于坐标轴的三角形的面积之和 . 解：如图 5，连接 AC. S 四边形 ABCD=S 三角形 ADC+S 三角形 ABC= × [5- ( - 5 ) ] × [ 4 - ( - 4 ) ] +× [ 1 - ( - 4 ) ] × [ 5 － (－2)]=57.5. 满分题溯源 如图 6，已知四边形 ABCD 的四个 顶点的坐标分别是A(-5，2)， B(1，5)， C(5， -2)， D(-4， -5). 求四边形ABCD 的面积 . 题型3：四边都不平行于坐标轴且都不在坐标轴上 例6 满分题溯源 解题秘方：通过作坐标轴的平行线，将四边形置于正方形之中，利用面积的和差关系求解 . 满分题溯源 解：如图 6，分别过点B， D作FG∥x 轴， EH∥x 轴， 过点 A作 EF∥y 轴， 与 EH， FG 分 别 交于点 E， F， 过点C 作 GH ∥ y 轴， 与 FG， EH 分别交于点 G， H， 则 S 四 边 形 ABCD=S 正 方 形 EFGH-S 三 角 形 AFBS -S三 角 形 BGC- S 三 角 形 CHD-S 三 角 形 DEA=[5-(-5) ]× [5-(-5)]- ×(5-2) × [1-(-5) ]-×(5-1) × [5-(-2)]- × [-2-(-5) ]× [5-(- 4) ] -× [(- 4) -(- 5) ] × [ 2 -(- 5) ] =60. 满分题溯源 解：如图，过点C作CM⊥y轴于点M，作CN⊥x轴于点N，则 S三角形ABC＝S长方形ONCM－S三角形AOB－ S三角形BCN－S三角形CMA＝4×3－×2×1－ ×2×3－×2×4＝12－1－3－4＝4. 解：当点P在x轴上时，因为三角形ABP的面积和三角形ABC的面积相等，所以BP·OA＝BP×1＝4，解得 BP＝8.因为B(2，0)，所以当点P在点B的右侧时，2＋ 8＝10，此时点P的坐标为(10，0)；当点P在点B的左侧时，2－8＝－6，此时点P的坐标为(－6，0)．当点P在y轴上时，因为三角形ABP的面积和三角形ABC的面积相等，所以OB·AP＝×2AP＝4，解得AP＝4. $