新疆维吾尔自治区喀什地区莎车县2025-2026学年高三上学期期中教学质量调研数学试题

莎车县高三年级2025-2026学年第一学期期中检测

一、单选题（40分）

1．已知集合，，若，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

2．，已知，若“”的充要条件是“”，则实数的最小值为（    ）

A． B． C． D．

3．设，则（    ）

A． B．

C． D．

4．已知函数，当时，函数极值点的个数为（   ）

A．1 B．2 C．3 D．4

5．如图，在扇形中，半径，圆心角，是弧上的动点，矩形内接于扇形，下列说法正确的是（    ）

A．当时，矩形为正方形 B．当时，

C．面积的最大值为 D．矩形面积的最大值为

6．勒洛三角形是由德国机械工程专家、机构运动学家勒洛首先发现的，并以他的名字命名.该几何图形是以等边三角形每个顶点为圆心，以该等边三角形的边长为半径，在另两个顶点间作一段弧;三段弧围成的曲边三角形.如图，已知M是边长为2的勒洛三角形ABC边上的动点，且则λ+μ的最大值为（   ）

A． B． C． D．

7．已知数列的通项公式为，设数列的前n项和为，求的最大值和最小值为 （    ）

A．，  B． C． D．

8．已知均为正实数，则下列说法正确的是（    ）

A．的最大值为

B．若，则的最大值为8

C．若，则的最小值为

D．若，则的最小值为

二、多选题（18分）

9．在棱长为的正方体中，点在侧面所在平面内运动，为的中点，则下列说法正确的是（    ）

A．当在线段上运动时，恒有

B．当为正方形的中心时，与所成角的正弦值为

C．若点满足，则平面截正方体所得的截面面积为

D．直线和与平面所成的角相等时，动点的轨迹为圆

10．若动直线与圆相交于两点，则（　　）

A．直线过定点

B．的最小值为

C．的最小值为

D．存在点，使为定值

11．设O为坐标原点，抛物线的准线，P为C上不与O重合的动点，以P为圆心，1为半径作圆，过点作圆P的两条切线交圆P于M,N两点，则（   ）

A．l始终与圆P相离 B．无最值

C．存在点P，使得 D．时，P到l的距离为3

三、填空题（15分）

12．有3个相同的球，分别标有数字1，2，3，从中有放回地随机取5次，每次取1个球．记为这3个球中至少被取出1次的球的个数，则X的数学期望          ．

13．甲､乙两人进行象棋比赛，每局胜者得1分，负者得0分．设每局甲胜的概率为，乙胜的概率为，且各局

胜负相互独立，五局比赛结束后甲比乙至少多得2分的概率为          ．（结果用数字作答）

14．复数、满足，，则的最大值是      ．

四、解答题（77分）

15．某答题挑战赛规则如下：比赛按轮依次进行，只有答完一轮才能进入下一轮，若连续两轮均答错，则挑战终止；每一轮系统随机地派出一道通识题或专识题，派出通识题的概率为，派出专识题的概率为.已知某选手答对通识题与专识题的概率分别为，且各轮答题正确与否相互独立.

(1)求该选手在一轮答题中答对题目的概率；

(2)记该选手在第轮答题结束时挑战依然未终止的概率为，

（i）求；

（ii）是否存在实数，使得数列为等比数列？若存在，求出的值，若不存在，说明理由.

16．已知椭圆的离心率为，长轴长与短轴长之积为8，椭圆的一条弦的中点为，满足:在直线上且不为坐标原点，点分别为椭圆的左、右焦点.

(1)求的方程；

(2)（i）记椭圆右顶点为，线段上是否存在点，使得?若存在，请求点横坐标的范围；若不存在，请说明理由；

（ii）若点均在轴上方，且点在点上方，证明四边形的面积小于2.

17．如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，平面，，分别为棱，的中点，且，.

(1)证明：平面；

(2)若平面与平面夹角的余弦值为，求四棱锥的体积.

18．在数列中，，．

(1)证明：数列是等差数列；

(2)求的通项公式；