2025-2026学年人教版数学七年级上册期末专题复习 压轴题专项

期末专题复习 压轴题专项 【模块1】有理数的大小比较 1．若，则，， 的大小关系是( ) A. B. C. D. 2．已知，是有理数，且，异号，则，，的大小关系为__________________________. 3．已知，，且，试比较，，， 的大小. 4．比较与 的大小. 【模块2】有理数的运算 5．计算： . 6．计算： . 7．计算 .观察发现，上式从第二项起，每项都是它前面一项的4倍，如果将上式各项都乘以4，所得新算式中除个别项外，其余项与原式中的项相同，于是两式相减将使结果易于计算 解：设 ，① 则 ，② ，得，则 ，即原式 . 请你尝试用上面的方法计算 . 8．已知， 是有理数，且 . (1)分别求， 的值. (2)借助有理数的运算，嘉嘉定义了一种关于有理数，的新运算“”： ，例如： . ①求 的值. ②淇淇想利用计算探究这种新运算“ ”是否具有交换律(即与的值是否相等)？请你根据(1)中， 的值进行判断. 9．把一根小木棒放在数轴上，木棒左端点与点 重合，右端点与点 重合，如图所示. (1)若将木棒沿数轴向右移动，当木棒的左端点移动到点处时，它的右端点在数轴上对应的数为20；若将木棒沿数轴向左移动，当它的右端点移动到点 处时，木棒左端点在数轴上对应的数为5.由此可得木棒的长为___.我们把这个模型记为“木棒模型”； (2)已知点表示的数为 ，若木棒在移动过程中，当木棒的左端点与点 相距3个单位长度时，求木棒的右端点与点的距离； (3)请根据(1)的“木棒模型”解决下列问题.某一天，小宇问爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在那么大，你还要45年才出生；你若是我现在这么大，我就有123岁了，世界级老寿星了，哈哈！”请你画出“木棒模型”示意图，求出爷爷现在的年龄. 【模块3】规律探究 10．已知，，，， ，以此类推，则 等于( ) A. B. C. D. 3 11．如图，将部分偶数依顺序排列成三角形数阵，从上到下称为行.图中数6为第2行、从左向右第2个数；数 为第4行、从左向右第3个数，那么第11行、从左向右第5个数为( ) A. 210 B. 230 C. D. 12．如图，由一些点组成形如三角形的图形，每条“边”(包括两个顶点)上有 个点，每个图形总的点数是，当时， 的值是( ) A. 120 B. 117 C. 123 D. 126 13．用小木棒按如图中的方式搭图形. 图形 第1个 第2个 第3个 第4个 第5个 … 小木棒根数 6 11 16 … 按上述信息解答下列各题 (1)____， ____； (2)按照这种方式搭下去，则搭第 个图形需要小木棒的根数为_______；(用含 的代数式表示) (3)按照这种方式搭下去，用(2)中的代数式求第2 026个图形需要的小木棒根数. 【模块4】方案选择 14．某地生产一种绿色蔬菜，若在市场上直接销售，每吨利润为0.1万元；经粗加工后销售，每吨利润可达0.5万元；经精加工后销售，每吨利润涨至0.8万元.当地一家蔬菜公司收购这种蔬菜120吨，该公司加工厂的生产能力是：如果对蔬菜进行粗加工，每天可加工14吨;如果进行精加工，每天可加工5吨，但两种加工方式不能在同一天同时进行.受季节条件限制，公司必须在15天内将这批蔬菜全部销售或加工完毕，为此，公司制订了三种可行方案： 方案一：将蔬菜全部进行粗加工. 方案二：尽可能多地对蔬菜进行精加工，没来得及进行加工的蔬菜在市场上直接销售. 方案三：将部分蔬菜进行精加工，其余蔬菜进行粗加工，并恰好15天完成. 你认为哪种方案获得利润最大？请说明理由. 15．秋高气爽之时，水果丰收之际.某水果加工厂收购了30吨雪梨.经市场预测，若直接销售，每吨可获利0.05万元；若经过加工包装后销售，每吨可获利0.4万元；若制成雪梨罐头出售，每吨可获利0.6万元.该工厂的加工能力是：每天可包装5吨或制成罐头3吨.受人员限制，同一天内两种加工方式不能同时进行.受气温限制，这些雪梨必须在8天内全部销售或加工完毕.为此水果加工厂制订了两种方案： 方案一：尽可能多地做成罐头，余下的直接销售； 方案二：部分制成罐头，其余进行加工包装，并恰好8天完成. (1)请比较说明哪种方案可使加工厂所获利润最多？ (2)水果加工厂欲将(1)中获利最多的方案制成的所有雪梨罐头由加工厂运到市场售卖，已知有甲、乙两家运输公司可以承担此次运输，要收取的费用如下表： 运输公司 运输单价/(元/吨·千米) 每吨装卸费/元 甲 5 50 乙 6 30 经水果加工厂计算发现乙运输公司总费用比甲运输公司总费用多450元，求水果加工厂到市场的距离. 16．在2024年巴黎奥运会中，中国奥运健儿们斩获40枚金牌完美收官，其中跳水小将全红婵表现出色，一共收获了2枚金牌.某跳水俱乐部在女子双人10米跳台比赛前准备给全红婵送绿龟礼物，第一次采购了22个绿龟玩偶和20个绿龟挂件，共花费了1 520元，已知玩偶的单价比挂件贵50元. (1)第一次购买时，绿龟玩偶和绿龟挂件的单价分别是多少元？ (2)在第二场女子10米跳水比赛时，该跳水俱乐部又组织了一次购买，第二次准备购买绿龟玩偶20个，绿龟挂件30个，商家推出了两种购买方案，方案一：所有商品打8折，方案二：买一个绿龟玩偶送一个绿龟挂件，如果请你去购买，选择哪种方案更划算？请说明理由. 【模块5】线段和角中的动态问题 17．【背景知识】数轴是重要的数学学习工具，利用数轴可以将数与形完美结合.已知结论：数轴上点， 表示的数分别为，，则，两点之间的距离；线段 的中点表示的数为 . 【知识运用】 (1)点，表示的数分别为，，若与互为倒数， 与互为相反数，则，两点之间的距离为____，线段 的中点表示的数为___. 【拓展迁移】 (2)在(1)的条件下，动点从点 出发以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左运动，同时动点从点 出发以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左运动，点是线段 的中点，设运动时间为 . ①点表示的数是_______.(用含 的代数式表示) ②在运动过程中，若点，， 中恰有一点是另外两点连接所得线段的中点，求 的值. ③线段，的长度随运动时间的变化而变化，当点 在点左侧时，是否存在常数，使得 为定值？若存在，求出常数 及该定值；若不存在，请说明理由. 18．小七同学最近在研究平面中的角，他发现各角通过运动会产生很多新的结论，于是他用几何画板制作了一道关于角的动态问题，如图，平面上顺时针排列射线,, ,, ，在 外部且为钝角， ，射线,分别平分,(题目中所出现的角均大于且小于 ).请用学过的知识帮他求解以下问题. (1)若 ，则____， ______. (2)的值是否随着 的变化而变化？若不变，直接写出该定值；若改变，请说明理由. (3)在(1)的条件下，将绕点以每秒 的速度顺时针旋转得到,的对应边分别是 ,，若旋转时间为秒 ，当时，求出 的值. 参考答案 【模块1】有理数的大小比较 1．若，则，， 的大小关系是( ) A. B. C. D. 【解析】因为，所以令 ，则，，所以 . 【答案】D 2．已知，是有理数，且，异号，则，，的大小关系为__________________________. 【解析】已知，异号，不妨取,或 ,.当,时， ，， ；当,时， ,, .所以 . 【答案】 3．已知，，且，试比较，，， 的大小. 【解】因为，，所以表示， 的点分别在原点的右边和左边.又由知表示 的点到原点的距离大于表示 的点到原点的距离，则四个数表示在数轴上如图： 故 . 4．比较与 的大小. 【解】分三种情况讨论： ①当时， ； ②当时， ； ③当时， . 【模块2】有理数的运算 5．计算： . 【解】原式=(−1)×1013=−1013. 6．计算： . 【解】原式 . 7．计算 .观察发现，上式从第二项起，每项都是它前面一项的4倍，如果将上式各项都乘以4，所得新算式中除个别项外，其余项与原式中的项相同，于是两式相减将使结果易于计算 解：设 ，① 则 ，② ，得，则 ，即原式 . 请你尝试用上面的方法计算 . 【解】设 ，① 则 ，② ,得 ， 则 ，即原式 . 8．已知， 是有理数，且 . (1)分别求， 的值. 【解】因为 ， 所以， ， 所以， . (2)借助有理数的运算，嘉嘉定义了一种关于有理数，的新运算“”： ，例如： . ①求 的值. 根据题意可得 . ②淇淇想利用计算探究这种新运算“ ”是否具有交换律(即与的值是否相等)？请你根据(1)中， 的值进行判断. 根据题意可得 . 因为 ， 所以这种新运算“ ”不具有交换律. 9．把一根小木棒放在数轴上，木棒左端点与点 重合，右端点与点 重合，如图所示. (1)若将木棒沿数轴向右移动，当木棒的左端点移动到点处时，它的右端点在数轴上对应的数为20；若将木棒沿数轴向左移动，当它的右端点移动到点 处时，木棒左端点在数轴上对应的数为5.由此可得木棒的长为___.我们把这个模型记为“木棒模型”； 【答案】5 (2)已知点表示的数为 ，若木棒在移动过程中，当木棒的左端点与点 相距3个单位长度时，求木棒的右端点与点的距离； 【解】易知点表示的数为10.因为点表示的数为 ， 所以当木棒的左端点在点 右边3个单位长度时， 木棒的左端点表示的数为 ，右端点表示的数为 . 故木棒的右端点与点的距离为 ； 当木棒的左端点在点 左边3个单位长度时， 木棒的左端点表示的数为 ，右端点表示的数为 . 故木棒的右端点与点的距离为 . 综上所述，木棒的右端点与点的距离为或 . (3)请根据(1)的“木棒模型”解决下列问题.某一天，小宇问爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在那么大，你还要45年才出生；你若是我现在这么大，我就有123岁了，世界级老寿星了，哈哈！”请你画出“木棒模型”示意图，求出爷爷现在的年龄. 【解】 木棒模型如图，图中点表示的数是小宇的年龄，点 表示的数是爷爷的年龄. 因为 (岁). 所以爷爷现在的年龄为 (岁). 【模块3】规律探究 10．已知，，，， ，以此类推，则 等于( ) A. B. C. D. 3 【解析】因为，所以 ，所以，所以，所以 ， ，所以按照上面呈现的规律可知， 每3项循环一次.因为，故 ，故选C. 【答案】C 11．如图，将部分偶数依顺序排列成三角形数阵，从上到下称为行.图中数6为第2行、从左向右第2个数；数 为第4行、从左向右第3个数，那么第11行、从左向右第5个数为( ) A. 210 B. 230 C. D. 【解析】观察数阵可知，所有数的绝对值是从2开始的连续偶数，且第行有 个数，所以前10行一共有 (个)数.又因为从2开始的第100个偶数是200，即第10行最后一个数的绝对值是200.所以第11行第1个数的绝对值是202.又因为奇数行第1个数为正，偶数行第1个数为负，且所有行都为正负数相间排列，所以第11行、从左向右第5个数为210. 【答案】A 12．如图，由一些点组成形如三角形的图形，每条“边”(包括两个顶点)上有 个点，每个图形总的点数是，当时， 的值是( ) A. 120 B. 117 C. 123 D. 126 【答案】B 13．用小木棒按如图中的方式搭图形. 图形 第1个 第2个 第3个 第4个 第5个 … 小木棒根数 6 11 16 … 按上述信息解答下列各题 (1)____， ____； 【答案】21 26 (2)按照这种方式搭下去，则搭第 个图形需要小木棒的根数为_______；(用含 的代数式表示) 【答案】 (3)按照这种方式搭下去，用(2)中的代数式求第2 026个图形需要的小木棒根数. 【解】当时， (根)，所以第2 026个图形需要的小木棒根数为10 131. 【模块4】方案选择 14．某地生产一种绿色蔬菜，若在市场上直接销售，每吨利润为0.1万元；经粗加工后销售，每吨利润可达0.5万元；经精加工后销售，每吨利润涨至0.8万元.当地一家蔬菜公司收购这种蔬菜120吨，该公司加工厂的生产能力是：如果对蔬菜进行粗加工，每天可加工14吨;如果进行精加工，每天可加工5吨，但两种加工方式不能在同一天同时进行.受季节条件限制，公司必须在15天内将这批蔬菜全部销售或加工完毕，为此，公司制订了三种可行方案： 方案一：将蔬菜全部进行粗加工. 方案二：尽可能多地对蔬菜进行精加工，没来得及进行加工的蔬菜在市场上直接销售. 方案三：将部分蔬菜进行精加工，其余蔬菜进行粗加工，并恰好15天完成. 你认为哪种方案获得利润最大？请说明理由. 【解】方案三获得利润最大.理由如下： 方案一：由条件可知全部蔬菜均可进行粗加工， 所以方案一可获得利润 (万元); 方案二：由条件可知15天可精加工蔬菜 (吨)， 则剩下 (吨)在市场上直接销售， 所以方案二可获得利润 (万元). 方案三：设用天精加工蔬菜，则用 天粗加工蔬菜， 依题意得， ， 解得 . 所以精加工蔬菜 (吨)，粗加工蔬菜 (吨). 所以方案三可获得利润 (万元). 因为 ， 所以方案三获得利润最大. 15．秋高气爽之时，水果丰收之际.某水果加工厂收购了30吨雪梨.经市场预测，若直接销售，每吨可获利0.05万元；若经过加工包装后销售，每吨可获利0.4万元；若制成雪梨罐头出售，每吨可获利0.6万元.该工厂的加工能力是：每天可包装5吨或制成罐头3吨.受人员限制，同一天内两种加工方式不能同时进行.受气温限制，这些雪梨必须在8天内全部销售或加工完毕.为此水果加工厂制订了两种方案： 方案一：尽可能多地做成罐头，余下的直接销售； 方案二：部分制成罐头，其余进行加工包装，并恰好8天完成. (1)请比较说明哪种方案可使加工厂所获利润最多？ 【解】方案一获利： (万元); 方案二：设吨制成罐头，则 吨进行加工包装，则，解得 . 获利： (万元). 因为 ， 所以方案二可使加工厂所获利润最多. (2)水果加工厂欲将(1)中获利最多的方案制成的所有雪梨罐头由加工厂运到市场售卖，已知有甲、乙两家运输公司可以承担此次运输，要收取的费用如下表： 运输公司 运输单价/(元/吨·千米) 每吨装卸费/元 甲 5 50 乙 6 30 经水果加工厂计算发现乙运输公司总费用比甲运输公司总费用多450元，求水果加工厂到市场的距离. 设水果加工厂到市场的距离为 千米，则 ，解得 ， 答：水果加工厂到市场的距离为50千米. 16．在2024年巴黎奥运会中，中国奥运健儿们斩获40枚金牌完美收官，其中跳水小将全红婵表现出色，一共收获了2枚金牌.某跳水俱乐部在女子双人10米跳台比赛前准备给全红婵送绿龟礼物，第一次采购了22个绿龟玩偶和20个绿龟挂件，共花费了1 520元，已知玩偶的单价比挂件贵50元. (1)第一次购买时，绿龟玩偶和绿龟挂件的单价分别是多少元？ 【解】设购买绿龟挂件的单价为 元，则绿龟玩偶的单价为 元， 由题意,得 ， 解得 . 所以绿龟玩偶的单价为60元. 答：购买绿龟挂件的单价为10元，绿龟玩偶的单价为60元. (2)在第二场女子10米跳水比赛时，该跳水俱乐部又组织了一次购买，第二次准备购买绿龟玩偶20个，绿龟挂件30个，商家推出了两种购买方案，方案一：所有商品打8折，方案二：买一个绿龟玩偶送一个绿龟挂件，如果请你去购买，选择哪种方案更划算？请说明理由. 【解】 选择方案一更划算.理由:方案一： (元); 方案二： (元). 因为1 300元 元， 所以选择方案一更划算. 【模块5】线段和角中的动态问题 17．【背景知识】数轴是重要的数学学习工具，利用数轴可以将数与形完美结合.已知结论：数轴上点， 表示的数分别为，，则，两点之间的距离；线段 的中点表示的数为 . 【知识运用】 (1)点，表示的数分别为，，若与互为倒数， 与互为相反数，则，两点之间的距离为____，线段 的中点表示的数为___. 【答案】12 1 【拓展迁移】 (2)在(1)的条件下，动点从点 出发以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左运动，同时动点从点 出发以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左运动，点是线段 的中点，设运动时间为 . ①点表示的数是_______.(用含 的代数式表示) 【答案】 ②在运动过程中，若点，， 中恰有一点是另外两点连接所得线段的中点，求 的值. 【解】当点为线段 的中点时，有，解得 ，不合题意，舍去；当点为线段的中点时，有 ，解得；当点为线段 的中点时，有，解得.综上， 的值为1.5或 . ③线段，的长度随运动时间的变化而变化，当点 在点左侧时，是否存在常数，使得 为定值？若存在，求出常数 及该定值；若不存在，请说明理由. 存在.当点在点 左侧时， ， ，所以 根据题意得，解得 .此时定值为 . 18．小七同学最近在研究平面中的角，他发现各角通过运动会产生很多新的结论，于是他用几何画板制作了一道关于角的动态问题，如图，平面上顺时针排列射线,, ,, ，在 外部且为钝角， ，射线,分别平分,(题目中所出现的角均大于且小于 ).请用学过的知识帮他求解以下问题. (1)若 ，则____， ______. 【答案】80° 140° (2)的值是否随着 的变化而变化？若不变，直接写出该定值；若改变，请说明理由. 【解】不变.该定值为 . 【解析】设 .因为 ，所以 .因为，所以 , ，所以 .因为射线,分别平分, ，所以 ,.所以 .所以 ，即的值不会随着的变化而变化，定值为 . (3)在(1)的条件下，将绕点以每秒 的速度顺时针旋转得到,的对应边分别是 ,，若旋转时间为秒 ，当时，求出 的值. 易得 , ,所以 , .当, 时，如图①. 因为 ，所以 ，无解；当 , 时，如图②. 因为 ，所以，解得 ；当 , 时，如图③. 因为 ，所以 ，无解；当 , 时，如图④. 因为 ，所以 ，解得 ；当 , 时，如图⑤. 因为 ，所以，无解.综上所述， 的值为81或174. 学科网（北京）股份有限公司 $