专题05平行四边形寒假预习闯关必备讲义(知识点梳理+常考题型精析+强化巩固)2025-2026学年人教版八年级数学下册

专题05平行四边形寒假预习闯关必备讲义 1.理解平行四边形定义，掌握其表示方法，能识别平行四边形。 2.掌握平行四边形边、角、对角线性质，会用几何语言表达并解决基础问题。 3.熟记平行四边形判定方法，能区分性质与判定，判断四边形是否为平行四边形。 4.掌握平行四边形周长、面积公式，了解三角形中位线定理及与平行四边形的关联。 5.培养几何推理意识，规范几何语言，为课堂学习铺垫。 知识点 梳理 1.平行四边形的定义与表示 2.平行四边形的性质 3.平行四边形的判定方法 4.平行四边形的周长与面积公式 常考题型 精讲精炼 1.平行四边形性质的计算类应用 2.平行四边形性质的证明类应用 3.平行线间距离的求解方法 4.平行四边形的构成条件判断 5.补充条件使四边形成为平行四边形 6.四边形为平行四边形的证明方法 7.平行四边形判定与性质的综合计算 8.平行四边形性质和判定的综合证明 9.三角形中位线的计算类问题 10.三角形中位线的证明类问题 11.三角形中位线是实际应用 强化巩固 题型通关 (19题) 【知识点01.平行四边形的定义与表示】 1.定义： 两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。这是平行四边形最基本的判定依据，也是性质推导的基础。 2.表示方法： 用符号“▱”表示，如平行四边形ABCD记作“▱ABCD”，读作“平行四边形ABCD”。 注意：表示时顶点字母需按顺时针或逆时针顺序排列，不能随意打乱。 3.几何语言表述： ∵ 四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC ∴ 四边形ABCD是平行四边形（定义判定）； 反之，∵ 四边形ABCD是平行四边形 ∴ AB∥CD，AD∥BC（定义性质）。 【知识点02.平行四边形的性质】 平行四边形的性质围绕“边、角、对角线”三大核心展开，是解决几何计算和证明的关键。 1.边的性质： 平行四边形的两组对边分别平行且相等。 几何语言：∵ 四边形ABCD是平行四边形 ∴ AB∥CD，AD∥BC，AB=CD，AD=BC。 2.角的性质： 平行四边形的两组对角分别相等，邻角互补。 几何语言：∵ 四边形ABCD是平行四边形 ∴ ∠A=∠C，∠B=∠D；∠A+∠B=180°，∠B+∠C=180°（邻角互补，可由对边平行推导得出）。 补充：平行四边形内角和为360°，外角和也为360°，且每个外角等于其不相邻的内角。 3.对角线的性质： 平行四边形的两条对角线互相平分。 . 几何语言：∵ 四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD交于点O ∴ OA=OC，OB=OD。 补充：对角线将平行四边形分成四个面积相等的三角形，即S△AOB=S△BOC=S△COD=S△DOA。 【知识点03.平行四边形的判定方法】 判定平行四边形需从“边、角、对角线”三个维度记忆，注意区分性质与判定（性质是“平行四边形→结论”，判定是“结论→平行四边形”）。 1.定义判定： 两组对边分别平行的四边形是平行四边形（最根本的判定方法）。 2.边的判定： ① 两组对边分别相等的四边形是平行四边形； ② 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形（注意：必须是“同一组对边”，不能是一组对边平行、另一组对边相等）。 3.角的判定： 两组对角分别相等的四边形是平行四边形。 对角线的判定：对角线互相平分的四边形是平行四边形。 【知识点04.平行四边形的周长与面积公式】 1.周长公式：∵ 平行四边形对边相等，设相邻两边长为a、b，则周长C=2(a+b)。 2.面积公式：S=底×高（记为S=bh）。 关键说明：底与高必须互相垂直，平行四边形有两组底和对应的高，需注意对应关系。 例如，以AB为底时，高是从C（或D）向AB所在直线作垂线的长度；以AD为底时，高是从B（或C）向AD所在直线作垂线的长度。 补充：同底等高的平行四边形面积相等。 重难点解析 （一）重点 1.平行四边形的定义、性质与判定方法的理解和应用，能根据条件灵活选用判定方法证明四边形是平行四边形。 2.平行四边形面积公式的应用，明确底与高的对应关系，避免因底高不对应导致计算错误。 （二）难点 1.平行四边形性质与判定的区别与联系，避免混淆“性质定理”和“判定定理”的逻辑方向。 2.几何证明的规范书写： 平行四边形相关证明需紧扣判定条件，步骤清晰，几何语言准确，如推导对角线互相平分时，需结合三角形全等证明。 3. 底与高的辨析： 平行四边形的高可能在图形内部、外部（当以某边为底时，对边需延长才能作垂线），需准确识别。 【题型1.平行四边形性质的计算应用】 【典例】平行四边形中，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，准确计算是解题的关键． 利用平行四边形的邻角互补性质，直接计算的度数． 【详解】四边形是平行四边形， ， ， ． 故选． 【跟踪专练1】如图，在中，，，平分交边于点E，则的长为 ． 【答案】2 【分析】本题考查平行四边形的性质，等腰三角形的判定．由平行四边形的性质得到，，因此，由平分得到，即可得到，根据等角对等边得到，进而即可求解． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：2． 【跟踪专练2】如图，中，的垂直平分线分别交于点，交于点，若的周长是8，则的周长是（　　） A．10 B．12 C．14 D．16 【答案】D 【分析】本题主要考查了垂直平分线的性质、平行四边形的性质等知识，首先根据垂直平分线的性质可得，结合“的周长是8”可知，然后根据平行四边形的性质求解即可． 【详解】解：∵垂直平分， ∴， ∵的周长是8，即， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴的周长． 故选：D． 【题型2.平行四边形性质的证明类应用】 【典例】如图，在平行四边形中，，相交于点，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的性质，掌握性质是解题关键．平行四边形的性质：①两组对边平行且相等；②对角相等，邻角互补；③对角线互相平分． 【详解】A、平行四边形邻边不一定相等，故选项不符合题意； B、平行四边形邻边不一定垂直，故选项不符合题意； C、平行四边形对边相等，故选项符合题意； D、平行四边形对角线互相平分，但不一定相等，故选项不符合题意； 故选：C． 【跟踪专练1】如图，中，以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交于点，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在内交于点，作射线交于点，交的延长线于点，若，则的长为 ． 【答案】2 【分析】本题考查尺规作图——作角平分线，平行四边形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，综合运用各个知识是解题的关键．根据题意的作图可得平分，则，由四边形是平行四边形，，可得，，，证明得，再证明即可求解． 【详解】根据题意的作图可得平分， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 故答案为2． 【跟踪专练2】如图，在平行四边形中，，以点B为圆心，以任意长为半径作弧，分别交，于点E，F，分别以E，F为圆心，以大于长为半径作弧，两弧在内交于点P，作射线，交于点G，交的延长线于点H．若，，，则的长为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了作图-基本作图，等腰三角形的判定和性质，平行四边形的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 由作图过程可知平分，得到，在平行四边形中，，，得到，得出，得到，继而得到，即可得到答案． 【详解】解：由作图过程可知平分， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 【题型3.平行线间距离的求解方法】 【典例】能表示两条平行线间距离的线段有（   ） A．0条 B．1条 C．2条 D．无数条 【答案】D 【分析】本题考查平行线间距离的定义，正确理解该定义是解题的关键．根据平行线间的距离定义，即可选择． 【详解】解：因为平行线是两条向两边无限延伸的直线， 又因为两条平行线中，一条直线上的点到另一条直线的垂线段的长度叫两条平行线间的距离， 所以表示这两条平行线间距离的线段有无数条． 故选D． 【跟踪专练1】如图，在平行四边形中，，，则直线，之间的距离为 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了平行线之间的距离，含角的直角三角形的性质，如果两条直线互相平行，则其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离都相等，这个距离称为平行线之间的距离，掌握平行线之间距离的定义是解题的关键．作，根据含角的直角三角形的性质，求出的长即可． 【详解】解：作，如图所示： 则， ∵，， ∴， ∴与之间的距离为， 故答案为：． 【跟踪专练2】如图，在平行四边形中，，，过点A作，垂足为E，，则与之间的距离为（   ） A． B．6 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平行四边形的性质，平行线间的距离，解题的关键是由平行四边形的面积公式得到； 本题根据平行四边形的性质，可得，设与之间的距离为，可得：，然后代入即可求解； 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， 设与之间的距离为， ∵， ∴平行四边形的面积， ∴， ∴， ∴与之间的距离为． 故选：A． 【题型4.平行四边形的构成条件判断】 【典例】如图，以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，则点D的位置可以在（　　） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】B 【分析】本题主要考查平行四边形的判定方法，平行四边形的判定方法：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形；（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形． 根据选项所给的点D的位置，正确作出以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，再利用平行四边形的判定方法逐项判断即可． 【详解】对于A，如图， 此时，四边形不是平行四边形，故A不符合题意； 对于B，如图， 此时，，且， ∴四边形是平行四边形，故B符合题意； 对于C，如图， 此时，四边形不是平行四边形，故C不符合题意； 对于D，如图， 此时，四边形不是平行四边形，故D不符合题意． 故选：B． 【跟踪专练1】如图，每一幅图中有若干个大小不同的平行四边形，第1幅图中有1个平行四边形；第2幅图中有3个平行四边形；第3幅图中有5个平行四边形，…，按此规律排列下去，第6幅图中有平行四边形 个． 【答案】11 【分析】本题考查了图形的规律探究．根据每一个图案比前一个多2个平行四边形可得，第n幅图中共有个平行四边形，由此可计算此题的结果． 【详解】解：第1幅图中有1个； 第2幅图中有 (个) 第3幅图中有 (个)； …… 可以发现，每个图形都比前一个图形多2个平行四边形， 所以第n幅图有个平行四边形， 所以第6幅图中有平行四边形有个平行四边形． 故答案为：11． 【跟踪专练2】如图，在平行四边形中，对角线、相交于点，、是对角线上的两点，给出下列四个条件：①；②；③；④．其中能判定四边形是平行四边形的有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定与性质，平行线的性质，熟练掌握平行四边形的判定定理：对角线互相平分的四边形是平行四边形是解题的关键． 根据平行四边形的判定方法一一判断即可． 【详解】解：①∵平行四边形， ∴，，，，， 若，则， ∴， ∴四边形是平行四边形， 故①，能判定四边形是平行四边形； ③∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 由①知四边形是平行四边形， 故③能判定四边形是平行四边形； ④∵ ∴ ∵，， ∴ ∴ 由①知四边形是平行四边形， 故④能判定四边形是平行四边形； ②若，在与或在与中，“”不能判定两三角形全等，也就不能得出，故 ②不能证明对角线互相平分，就不能判定四边形是平行四边形． ∴能判定四边形是平行四边形的有①③④，共3个． 故选：D． 【题型5.补充条件使四边形成为平行四边形】 【典例】如图，在四边形中，，添加下列条件，不能判定四边形是平行四边形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行四边形的判定定理，熟练掌握平行四边形的判定定理是解决本题的关键． 根据平行四边形的判定定理，即“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”，“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”由这两个定理判断选项即可． 【详解】解：A选项，∵，， 一组对边平行，一组对边相等无法判定四边形是平行四边形，故不可以判定； B选项，∵，， 两组对边分别平行的四边形是平行四边形，故可以判定； C选项，∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 两组对边分别平行的四边形是平行四边形，故可以判定； D选项，∵，， 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故可以判定． 故选：A ． 【跟踪专练1】如图，在四边形中，，，．动点从点出发，以的速度向点运动．同时，动点从点出发，以的速度向点运动．规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．从运动开始，当运动时间 时，四边形为平行四边形． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的判定，由题意可得，，进而根据平行四边形的判定列出方程解答即可求解，掌握平行四边形的判定定理是解题的关键． 【详解】解：由题意得，，， ∵， ∴当时，四边形是平行四边形， 即， 解得， 故答案为：． 【跟踪专练2】如图，的对角线，相交于点，点，在上，请你添加一个条件，使四边形是平行四边形，以下添加条件不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了添加一个条件判定四边形是平行四边形．熟练掌握平行四边形的定义和判定定理，是解题的关键． 根据平行四边形的判定定理逐一判断即得． 【详解】A. ， 添加， 又， 根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，证得是平行四边形； B. ， 添加， 无法判定， 则无法判定四边形是平行四边形； C. ， 添加， ∵， ∴， 又， 根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，证得是平行四边形； D. ， 添加， 可得， ∵， ∴， ∴，且， 根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，证得是平行四边形． 故选：B． 【题型6.四边形为平行四边形的证明方法】 【典例】如图1，战国时期《考工记》详细记载了用几何方法校验轮轴支架（“轸”）为平行四边形的技术：“凡察车之道，必自载于地者始也．合矩以为方，中规乃行”．如图2，实际操作为：构成轮轴支架四边形的顶点分别为A，B，C，D，若，且，则轮轴支架形成的四边形是平行四边形的最简明理由是（    ） A．对角线互相平分 B．两组对边分别相等 C．一组对边平行且相等 D．两组对边分别平行 【答案】A 【分析】此题主要考查了平行四边形的判定，正确把握对角线互相平分的四边形是平行四边形是解题关键． 【详解】解：由题意可知，，且， ∴四边形是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）， 故选：A． 【跟踪专练1】如图，两条对边平行且宽为的纸条交叉重叠在一起，其中较小交叉角为，则重叠四边形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的性质与判定，含度角的直角三角形的性质，由题意可得得，，cm，可证四边形是平行四边形，由直角三角形的性质可求的长，即可求解． 【详解】解：如图，过点A作于，过点作于， 由题意可得，，cm， ∴四边形是平行四边形， ∵，， ∴， ∴重叠四边形的面积（）， 故答案为：． 【跟踪专练2】如图，在四边形中，，，，，，则的长是（    ）． A．6 B．8 C．5 D．10 【答案】B 【分析】如图所示，过点A作交于点E，证明出四边形是平行四边形，得到，然后求出，然后利用含角直角三角形的性质求解即可． 【详解】如图所示，过点A作交于点E ∵ ∴四边形是平行四边形 ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴． 故选：B． 【点睛】此题考查了平行四边形的性质和判定，三角形的内角和，平行线的性质，含角直角三角形的性质，解题的关键是掌握以上知识点． 【题型7.平行四边形判定与性质的综合计算】 【典例】如图，在四边形中，，．当 时，与互相平分． 【答案】6 【分析】本题考查的是平行四边形的判定与性质，先根据证明四边形是平行四边形，从而可得结论． 【详解】解：当，而， ∴四边形是平行四边形， ∴与互相平分， 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，在中，，E，M，F分别是上的点，并且，，则四边形的周长是（    ） A．10 B．12 C．14 D．16 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，熟练掌握平行四边形的性质与判定是解题的关键．根据题意得出四边形是平行四边形，进而根据等边对等角以及平行线的性质可得，得出，则，进而根据平行四边形的性质，即可求解． 【详解】解：，， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 平行四边形的周长； 故选：D． 【跟踪专练2】一个中，为斜边的中点，E为直角边上的一点，连接，将沿折叠至，交于点F，若是面积的一半，则 ． 【答案】 【详解】本题主要考查了折叠问题、勾股定理的运用，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等． 通过勾股定理可得的长度，根据折叠的性质及等高的两个三角形的面积比等于边长比可得，可求，，可得，可证是平行四边形，可求得，根据勾股定理可得的长度． 【解答】解：如图，连接， ∵， ∴ ， ∵D是中点， ∴， ∵将沿折叠至， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， 在中，根据勾股定理得：， 故答案为：． 【题型8.平行四边形性质与判定的综合证明】 【典例】如图，在中，对角线交于点O，点E在线段上（不与点A，O重合），点F在线段O，C上（不与点O，C重合），当E，F的位置满足 条件时，四边形是平行四边形． 【答案】如，答案不唯一 【分析】此题主要考查了平行四边形的判定与性质，关键是掌握对角线互相平分的四边形是平行四边形． 当时四边形是平行四边形；根据四边形是平行四边形，可得，，再由条件可得，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可判定四边形是平行四边形． 【详解】解：当时，四边形是平行四边形，理由如下： 四边形是平行四边形， ，， ， ， 四边形是平行四边形， 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，剪两张对边平行的纸条，随意交叉叠放在一起，重合的部分构成了一个四边形．转动其中一张纸条，下列结论一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查平行四边形的判定和性质；证明四边形为平行四边形是解题的关键． 由条件可知，可证明四边形为平行四边形，可得到． 【详解】由题意可知：， ∴四边形为平行四边形， ， 故选：C． 【跟踪专练2】如图，在中，点E为边AD上一点，连结BE，将沿AE折叠，使点C的对称点落在BA的延长线的点G处，点D的对称点为点F．给出下列四个结论： ①四边形AEFG是平行四边形； ②； ③四边形AEFG的周长为； ④四边形AEFG的面积为四边形BCDE的面积的2倍与的面积差． 其中，以上结论正确的序号有 ． 【答案】①②④ 【分析】此题主要考查了图形的翻折变换及其性质，平行四边形的判定和性质．②由折叠的性质得，根据得，由此可对结论②进行判断；①由折叠的性质得，，根据平行四边形性质得，，进而得，，由此得，，由此可对结论①正确；③由折叠的性质得，则，进而得四边形的周长为，由此可对结论③进行判断；④延长交于H，证明四边形是平行四边形，设，，由折叠性质得，则，，进而得，由此可对结论④进行判断，综上所述即可得出答案． 【详解】解：②由折叠的性质得：， 在平行四边形中，， ∴， ∴， ∴，故结论②正确； 由折叠的性质得：，， 在平行四边形中，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形，故结论①正确； 由折叠的性质得：， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴四边形的周长为：， 当时，四边形的周长为， 即四边形是菱形时，四边形的周长为， 故结论③不正确； 延长交于点H，如图所示： ∵四边形和四边形都是平行四边形， ∴，， ∴四边形是平行四边形， 设，， 由折叠性质得：， ∴，， ∴， ∴，故结论④正确， 综上所述：结论正确的序号有①②④． 故答案为：①②④． 【题型9.三角形中位线的计算类问题】 【典例】如图，小华注意到跷跷板静止状态时，可以与地面构成一个，跷跷板中间的支撑杆垂直于地面（E，F分别为、的中点）．若，则此时点B距离地面的高度为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是三角形中位线定理，熟记三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键．根据三角形中位线定理解答． 【详解】解：∵E、F分别为、的中点， ∴是的中位线， ∴， 故选：A． 【跟踪专练1】如图，矩形中，与交于点，是中点，，则的长为 ． 【答案】4 【分析】此题考查了矩形的性质，三角形中位线定理，勾股定理，熟练掌握矩形的性质，三角形中位线定理，勾股定理是解题的关键． 根据矩形的性质可得是的中位线，从而得到，再由勾股定理可求出的长，即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形，， ∴，，， 即点O为的中点， ∵是中点， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：4． 【跟踪专练2】如图，在中，是的中线，与相交于点O，点F、G分别是的中点，连接．若，则四边形的周长是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形中位线定理的应用，掌握定理是解题的关键；是的中线，得，由点F、G分别是的中点，得，从而有；同理得，即可求得四边形的周长． 【详解】解：∵是的中线， ∴， ∵F是的中点，G是的中点， ∴， ∴， 同理， ∴四边形的周长． 故选：A． 【题型10.三角形中位线的证明类问题】 【典例】如图，四边形中，，点是对角线的中点，点，分别是，的中点，，则的度数是 ．    【答案】/20度 【分析】根据中位线定理推出，，由此得到，推出是等腰三角形，根据三角形的内角和定理求出答案． 【详解】解：∵点是对角线的中点，点、分别是、的中点， ∴，， ∵， ∴， ∴是等腰三角形， ∴， 故答案为：． 【点睛】此题考查三角形的中位线定义及定理，等腰三角形的判定及性质，三角形的内角和定理，熟记三角形的中位线的定义及定理是解题的关键． 【跟踪专练1】如图，在四边形中，E，F分别是的中点，G，H分别是的中点，，则的大小是(　　) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的中位线定理，平行四边形的判定等知识点，由题意得分别是的中位线，推出，，，；进而得四边形是平行四边形，；根据推出，即可求解； 【详解】解：由题意得：分别是的中位线， ∴，，，； ∴，，； ∴四边形是平行四边形，； ∵ ∴， ∴， 故选：C 【跟踪专练2】如图，，点是线段的中点，点在射线上运动，过点作交射线于点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查三角形中位线的性质，矩形的判定与性质，直角三角形的性质，分别取的中点，连接，易证是的中位线，得到，根据直角三角形的性质可得，当时，有最小值，即有最小，即可得到有最小值，证明四边形是矩形，得到，进而得到，利用勾股定理即可求解． 【详解】解：分别取的中点，连接， 则是的中位线， ∴， ∵， ∴是直角三角形，且， ∴， 当时，有最小值，即有最小， ∵为定值， ∴有最小值， 此时，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为． 故答案为：． 【题型11.三角形中位线的实际应用】 【典例】如图，A、B两处被池塘隔开，小明想要知道A、B两处的距离．小明先在外选一点C，然后分别步测出，的中点D，E，并测出的长为，则的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的中位线性质，能熟记三角形的中位线性质是解此题的关键，注意：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．根据三角形的中位线性质得出，再代入求出答案即可． 【详解】解：∵，的中点分别是D，E， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 【跟踪专练1】如图，学校要在一片空地上搭建一个三角形形状的绿植装饰架，为了提前制作支撑框架，工作人员取，边的中点M，N进行测量，经测量的长度为，那么装饰架底边的长度为 ． 【答案】160 【分析】此题考查了中位线的实际应用，根据题意得到是的中位线，进而求解即可． 【详解】解：∵点M，N分别是，边的中点， ∴是的中位线， ∴． 故答案为：160． 【跟踪专练2】如图，的周长是2，以它的三边中点为顶点组成第1个三角形，再以的三边中点为顶点，组成第2个三角形，…，则第个三角形的周长为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三角形的中位线定理建立周长之间的关系，即可得到答案． 【详解】解：的周长是2，以它的三边中点为顶点组成第1个三角形， ，，， 的周长为， 的周长为， … 以此类推，第个三角形的周长为， 故选：A． 【点睛】本题考查了找规律-图形的变化类，三角形的中位线定理，熟练掌握三角形的中位线等于第三边的一半是解题的关键． 1．（如图）在两条平行线间有甲、乙、丙、丁四个图形，下面说法中正确的是（    ） A．面积按照从大到小的顺序排列是：甲乙丁丙 B．丙的面积最小，丁的面积最大 C．丙的面积最小，甲的面积最大 D．无法确定 【答案】C 【分析】由于甲、乙、丙、丁四个图形在两条平行线间，因此它们的高都相等．设它们的高都为h，将它们的面积用含有m的代数式表示出来，再比较大小即可． 本题考查了平行线之间的距离处处相等，以及列代数式，正确的列出代数式是解题关键． 【详解】解：因为甲、乙、丙、丁四个图形在两条平行线间，所以它们的高都相等，设它们的高都为h，则 甲的面积， 乙的面积， 丙的面积， 丁的面积． 面积按照从大到小的顺序排列是：甲乙丁丙，丙的面积最小，甲的面积最大． 故选：C． 2．阅读以下作图步骤： ①任意画两条相交直线、，记交点为； ②以点为中心，分别在直线、上截取与、与，使，； ③顺序连接所得的四点得到四边形． 根据以上作图，可以推断四边形的形状是 ．    【答案】平行四边形 【分析】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定是解题关键．根据对角线互相平分的四边形是平行四边形即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴四边形是平行四边形． 故答案为：平行四边形． 3．如图，在▱中，点、分别在、上，依次连接、、、，图中阴影部分的面积分别为、、、，已知、、，则的值是（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】A 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，解决问题的关键是明确各部分图形面积的和差关系：平行四边形的面积面积面积． 阴影部分是三角形与三角形的公共部分，而，，这三块是平行四边形中没有被三角形与三角形盖住的部分，故面积面积平行四边形的面积，而与的面积都是平行四边形面积的一半，据此求得的值． 【详解】解：设平行四边形的面积为，则， 由图形可知，面积面积平行四边形的面积， ， 即， 解得， 故选：A． 4．嘉嘉和淇淇在研究平行四边形的性质时，想到这样一个问题：如图，已知，G为CD边上一点，E为BC延长线上一点，以CG，CE为边作，请用一条直线平分与组合的图形面积．他们延长EF，AD交于点H，分别作出，，，对角线的交点P，Q，M，N，得出甲、乙、丙三种方案．下列说法正确的是（    ）    A．甲对，乙、丙错 B．甲、丙对，乙错 C．甲、乙对，丙错 D．乙、丙对，甲错 【答案】B 【分析】根据平行四边形为中心对称图形，得到过对称中心的任意一条直线平分平行四边形的面积，进行判断即可． 【详解】解：∵平行四边形为中心对称图形， ∴过对称中心的任意一条直线平分四边形的面积， 甲方案：直线既平分的面积，也平分的面积，符合题意；正确； 乙方案：直线平分的面积，所以下面阴影部分的面积大于上面的阴影部分的面，不符合题意；错误； 丙方案：直线既平分的面积，也平分，所以直线上方和下方的阴影部分面积也相等，符合题意；正确． 故选B． 【点睛】本题考查平行四边形的性质．熟练掌握过平行四边形的中心的直线平分四边形的面积，是解题的关键． 5．如图，在梯形 中，，是中点，，则下列结论成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了梯形的性质，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，根据梯形的性质，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质逐一判断即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：、由题意无法得出，不符合题意； 、由题意无法得出，不符合题意； 、如图，延长交延长线于点， ∵，， ∴四边形是平行四边形，， ∴， ∵是中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，符合题意； 、由题意无法得出，不符合题意； 故选：． 6．下面有四个命题： ①一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形； ②一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形； ③一组对边相等，一条对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形； ④一组对角相等，连结这组对角的顶点的对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形． 其中，正确的命题是（    ） A．④ B．③ C．②③ D．①④ 【答案】A 【分析】本题主要考查平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定是解决本题的关键． 根据平行四边形的判定求解即可． 【详解】解：①一组对边平行，另一组对边相等的四边形不是平行四边形，故是假命题； ②一组对边相等，一组对角相等的四边形不是平行四边形，故是假命题； ③一组对边相等，一条对角线平分另一条对角线的四边形不是平行四边形，故是假命题； ④一组对角相等，连结这组对角的顶点的对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形，真命题． 理由：如图，在四边形中，，． 假设四边形不是平行四边形，则， 不妨设，则在上取点E，使得， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵，， ∴，这与矛盾， ∴假设的四边形不是平行四边形不成立，即四边形是平行四边形． 综上：正确的命题是④． 故选：A． 7．如图，点，是平行四边形对角线上两点，在条件；；；中，添加一个条件，使四边形是平行四边形，可添加的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，掌握知识点是解题的关键． 连接，交于点O，根据四边形的对角线互相平分，可证明这个四边形是平行四边形，逐个分析判断即可解答． 【详解】解：连接，交于点O，如图 ∵四边形是平行四边形， ∴，，， 当时，不能证明对角线互相平分，不符合题意； ②当时， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形，故②符合题意； ③当时， ∵， ∴， 即， ∵， ∴四边形是平行四边形，故③符合题意； 当时， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形，故④符合题意； 综上所述，②③④符合题意， 故选：D． 8．在平面直角坐标系中，已知以，，，四个点为顶点的四边形是平行四边形，其中，，，则点的坐标为 ． 【答案】或或 【分析】本题考查了平行四边形的判定及性质，平面直角坐标系点的特征，熟练掌握平行四边形的判定是解题的关键． 利用平行四边形的判定作出图象求解即可． 【详解】解：在平面直角坐标系中，已知，，，可作图如下： ∵四边形是平行四边形， 当，， ∴在点的基础上向左和向右平移两个单位即可得到和 ∴；； 当时，点向下平移1个单位向左平移1个单位可得到点， ∴在点的基础上向下平移1个单位并向左平移1个单位可得到点； 故答案为：或或． 9．如图，中，，的周长为，则与的周长和为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定与性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的对边相等及平行线判定相似三角形的性质是解题的关键． 先证明四边形是平行四边形，得到对应边相等，再结合平行线判定三角形相似，推导与的周长和与周长的关系． 【详解】解：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴，； ∵的周长为，的周长为， ∴与的周长和为 ， 故答案为：． 10．如图所示，线段与线段相交于点，连接，．若，，，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】过点B作，过点D作，与交于点F，连接，则四边形是平行四边形，推出，，当C，D，F三点共线时，的长最小，即最小，过点C作于点H，求出，得到，勾股定理求出，再利用勾股定理求出即可． 【详解】解：过点B作，过点D作，与交于点F，连接，则四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴当C，D，F三点共线时，的长最小，即最小， 过点C作于点H， ∵，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 故答案为． 【点睛】此题考查了平行四边形的判定和性质，勾股定理，直角三角形30度角的性质，熟练掌握各性质是解题的关键． 11．如图，在菱形中，对角线，相交于点，，，，分别为，的中点，连接，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了菱形的性质、三角形中位线定理和勾股定理，熟练掌握菱形对角线互相垂直平分的性质以及中位线定理是解题的关键．先利用菱形对角线的性质求出线段长度，再通过构造中位线得到相关线段的长度，最后用勾股定理计算的长． 【详解】解：如图，过点作交于点， ∵四边形是菱形， ∴，，， ∵点是的中点，， ∴， ∴点是的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∵是中点， ∴，， ∴根据勾股定理，得． 故答案为：． 12．如图，在平行四边形中，E、F分别是、的中点，求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【分析】本题考查平行四边形的性质与判定，熟练掌握平行四边形的性质与判定是解题的关键． 根据平行四边形的性质可得，，根据 、分别是、的中点，可证得且，从而得到结论． 【详解】证明：∵ 四边形是平行四边形， ， 、分别是、的中点， ， 且 四边形是平行四边形． 13．如图，在中，点分别是边的中点，，求的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形中位线定理，根据三角形中位线定理得到，则由平行线的性质可得到． 【详解】解：∵在中，点分别是边的中点， ∴都是的中位线， ∴， ∴， ∴． 14．如图，在平行四边形中，点是边的中点，连接并延长交的延长线于点，连接．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查平行四边形的性质，以及全等三角形的判定和性质，根据平行四边形的性质得，则有和，结合中点得，即可证明，根据，即可证明结论． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形 ∴， ∴，， ∵F是的中点， ∴， ∴在与中， ， ∴， ∴， 又∵ ∴． 15．如图，在中，已知，平分，E为的中点． (1)求的长； (2)求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，中位线的性质，掌握中位线的性质是解决本题的关键． （1）根据等腰三角形的判定和性质可得，点D是的中点，再根据点E为的中点可得，是的中位线，进而即可求解； （2）根据中位线的性质即可证明． 【详解】（1）解：∵， ∴是等腰三角形， ∵平分， ∴是边上的中线， ∴点D是的中点， 又∵点E为的中点， ∴是的中位线， ∴； （2）证明：由（1）可得，是的中位线， ∴． 16．如图，在中，，连接，过点作，交的延长线于点，过点作，交的延长线于点； (1)求的度数； (2)若，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、含度角的直角三角形的性质； （1）根据平行四边形的性质可得，根据平行线的性质可得，进而根据直角三角形的两个锐角互余，即可求解； （2）根据含度角的直角三角形的性质得出，进而证明四边形是平行四边形，得出，即可得出，即可求解． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴； （2）∵，，， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴ 又∵ ∴， ∴． 17．如图，在平行四边形中，对角线，交于点，，，垂足分别为，． (1)求证：； (2)若，，当时，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定，勾股定理，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）根据平行四边形的性质结合已知条件可以得到 ，利用即可证明； （2）利用平行四边形对角线互相平分可求，因为，由勾股定理可求，则平行四边形的面积可求． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，，，， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴（AAS）； （2）解：∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴平行四边形的面积． 18．在同一平面内，已知直线，直线a与b之间的距离是，直线b与c之间的距离是．请画出图形，并求出直线a与c之间的距离． 【答案】图形见解析；或 【分析】本题主要考查了平行线间的距离．分两种情况画出图形，分别进行解答即可． 【详解】解：当直线在直线，之外时，如图1， 直线，之间的距离为； 当直线在直线，之间时，如图2， 直线，之间的距离为． 综上，直线，之间的距离是或． 19．如图，在四边形中，点E、F在上，且，，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，，求的长． 【答案】(1)详见解析 (2) 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、平行线的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理以及三角形面积等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键． （1）证明，得，根据一边平行且相等的四边形为平行四边形得出结论； （2）由平行四边形的性质得，，再由勾股定理求出，然后由三角形面积求出的长即可． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ， 在和中， ， ， 四边形是平行四边形； （2）由（1）可知，四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ， ． 的长为． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $专题05平行四边形寒假预习闯关必备讲义 1 预习目标 1.理解平行四边形定义，掌握其表示方法，能识别平行四边形。 2.掌握平行四边形边、角、对角线性质，会用几何语言表达并解决基础问题。 3.熟记平行四边形判定方法，能区分性质与判定，判断四边形是否为平行四边 形。 4.掌握平行四边形周长、面积公式，了解三角形中位线定理及与平行四边形的 关联。 5.培养几何推理意识，规范几何语言，为课堂学习铺垫。 预习内容概览 知识点 1.平行四边形的定义与表示 2.平行四边形的性质 梳理 3.平行四边形的判定方法 4.平行四边形的周长与面积公式 1.平行四边形性质的计算类应用 2.平行四边形性质的证明类应用 3.平行线间距离的求解方法 4.平行四边形的构成条件判断 常考题型 5.补充条件使四边形成为平行四边形 6.四边形为平行四边形的证明方法 精讲精炼 7.平行四边形判定与性质的综合计算 8.平行四边形性质和判定的综合证明 9.三角形中位线的计算类问题 10.三角形中位线的证明类问题 11.三角形中位线是实际应用 强化巩固 (19题) 题型通关 3 知识点梳理 【知识点01.平行四边形的定义与表示】 1.定义： 两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。这是平行四边形最基本的判定依据， 也是性质推导的基础。 试卷第1页，共3页 2.表示方法： 用符号“”表示，如平行四边形ABCD记作“ABCD”,读作“平行四边形 ABCD”。 注意：表示时顶点字母需按顺时针或逆时针顺序排列，不能随意打乱。 3.几何语言表述： .'四边形ABCD中，AB∥CD,AD∥BC ∴.四边形ABCD是平行四边形（定义判定）； 反之，，'四边形ABCD是平行四边形 ∴.AB∥CD,AD∥BC(定义性质)。 【知识点02.平行四边形的性质】 平行四边形的性质围绕“边、角、对角线”三大核心展开，是解决几何计算和证 明的关键。 1.边的性质： 平行四边形的两组对边分别平行且相等。 几何语言：，'四边形ABCD是平行四边形∴.AB∥CD,AD∥BC,AB=CD,AD=BC。 2.角的性质： 平行四边形的两组对角分别相等，邻角互补。 几何语言：，'四边形ABCD是平行四边形.∠A=∠C,∠B=∠D;∠A+∠B=180°， ∠B+∠C=180°（邻角互补，可由对边平行推导得出）。 补充：平行四边形内角和为360°，外角和也为360°，且每个外角等于其不相 邻的内角。 3.对角线的性质： 平行四边形的两条对角线互相平分。 几何语言：，'四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD交于点0∴.OA=OC, OB=OD 补充：对角线将平行四边形分成四个面积相等的三角形，即S△AOB=S△BOC-S△ COD-S△D0A。 【知识点03.平行四边形的判定方法】 试卷第1页，共3页 判定平行四边形需从“边、角、对角线”三个维度记忆，注意区分性质与判定（性 质是“平行四边形→结论”，判定是“结论→平行四边形”)。 1.定义判定： 两组对边分别平行的四边形是平行四边形（最根本的判定方法）。 2.边的判定： ①两组对边分别相等的四边形是平行四边形；②一组对边平行且相等的四边 形是平行四边形（注意：必须是“同一组对边”，不能是一组对边平行、另一组 对边相等)。 3.角的判定： 两组对角分别相等的四边形是平行四边形。 对角线的判定：对角线互相平分的四边形是平行四边形 【知识点04.平行四边形的周长与面积公式】 1.周长公式：，平行四边形对边相等，设相邻两边长为a、b,则周长C=2 (a+b)。 2.面积公式：S=底×高（记为S=bh)。 关键说明：底与高必须互相垂直，平行四边形有两组底和对应的高，需注意对应 关系。 例如，以AB为底时，高是从C(或D)向AB所在直线作垂线的长度；以AD为底 时，高是从B(或C)向AD所在直线作垂线的长度。 补充：同底等高的平行四边形面积相等。 重难点解析 (一)重点 1.平行四边形的定义、性质与判定方法的理解和应用，能根据条件灵活选用判 定方法证明四边形是平行四边形。 2.平行四边形面积公式的应用，明确底与高的对应关系，避免因底高不对应导 致计算错误。 (二)难点 1.平行四边形性质与判定的区别与联系，避免混淆“性质定理”和“判定定理” 的逻辑方向。 试卷第1页，共3页 2.几何证明的规范书写： 平行四边形相关证明需紧扣判定条件，步骤清晰，几何语言准确，如推导对角 线互相平分时，需结合三角形全等证明。 3.底与高的辨析： 平行四边形的高可能在图形内部、外部（当以某边为底时，对边需延长才能作 垂线)，需准确识别。 常考题型精讲精练 【题型1.平行四边形性质的计算应用】 【典例】平行四边形ABCD中，若∠A=110°，则∠B的度数为() A.40% B.709 C.1109 D.150° 【跟踪专练1】如图，在口ABCD中，AD=5,AB=3,AE平分∠BAD交BC边于点E,则 EC的长为 【跟踪专练2】如图，口ABCD中，BD的垂直平分线分别交AD于点E,交BD于点F,若 △ABE的周长是8，则口ABCD的周长是() D A.10 B.12 C.14 D.16 【题型2.平行四边形性质的证明类应用】 【典例】如图，在平行四边形ABCD中，AC,BD相交于点O,下列结论正确的是() A.AB=AD B.AB⊥AD C.AD=BC D.OB=0A 【跟踪专练1】如图，口ABCD中，以点B为圆心，适当长为半径作弧，分别交BA,BC于 试卷第1页，共3页 点E,F,分别以点E和点F为圆心，大于二EF的长为半径作弧，两弧在∠ABC内交于点 O,作射线BO交AD于点G,交CD的延长线于点H,若AB=3,BC=5,则DH的长 为 A B 【跟踪专练2】如图，在平行四边形ABCD中，AB∥CD,以点B为圆心，以任意长为半 径作弧，分别交AB,BC于点E,F,分别以E,F为圆心，以大于EF长为半径作弧，两 2 弧在∠ABC内交于点P,作射线BP,交AD于点G,交CD的延长线于点H.若AB=AG, GD=5,CH=9,则AB的长为() H B4 A.3 B.4 C.5 D.6 【题型3.平行线间距离的求解方法】 【典例】能表示两条平行线间距离的线段有() A.0条 B.1条 C.2条 D.无数条 【跟踪专练1】如图，在平行四边形ABCD中，∠A=30°，AD=4,则直线AB,CD之间 的距离为 0 B 【跟踪专练2】如图，在平行四边形ABCD中，AB=3,BC=4,过点A作AE⊥BC,垂足 为E,AE=2,则AB与CD之间的距离为() 试卷第1页，共3页 A.3 B.6 C.7 4-3 D 【题型4.平行四边形的构成条件判断】 【典例】如图，以A,B,C,D为顶点的四边形是平行四边形，则点D的位置可以在() ① 4.②③ ④ A.① B.② C.③ D.④ 【跟踪专练1】如图，每一幅图中有若干个大小不同的平行四边形，第1幅图中有1个平行 四边形；第2幅图中有3个平行四边形；第3幅图中有5个平行四边形，，按此规律排列 下去，第6幅图中有平行四边形 个 第1幅 第2幅 第3幅 第n幅 【跟踪专练2】如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O,E、F是对 角线AC上的两点，给出下列四个条件：①AE=CF;②DE=BF;③LADE=∠CBF;④ LABE=∠CDF,其中能判定四边形DEBF是平行四边形的有() A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 【题型5.补充条件使四边形成为平行四边形】 【典例】如图，在四边形ABCD中，BC∥AD,添加下列条件，不能判定四边形ABCD是平 行四边形的是（) 试卷第1页，共3页 B A.AB=CD B.AB∥CD C.∠B=∠D D.BC=AD 【跟踪专练1】如图，在四边形ABCD中，AB∥CD,AB=4cm,CD=10cm.动点M从 点A出发，以1cm/s的速度向点B运动.同时，动点N从点C出发，以2cm/s的速度向点 D运动.规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动.从运动开始，当运 动时间t= s时，四边形AMND为平行四边形 A>MB D 【跟踪专练2】如图，口ABCD的对角线AC,BD相交于点O,点E,F在BD上，请你添 加一个条件，使四边形AECF是平行四边形，以下添加条件不正确的是() D A.OE=OF B.AC=EF C.BE=DF D.AF∥CE 【题型6.四边形为平行四边形的证明方法】 【典例】如图1，战国时期《考工记》详细记载了用几何方法校验轮轴支架(“轸”)为平行 四边形的技术：“凡察车之道，必自载于地者始也.合矩以为方，中规乃行”.如图2，实际 操作为：构成轮轴支架四边形的顶点分别为A,B,C,D,若A0=C0，且B0=D0,则 轮轴支架形成的四边形是平行四边形的最简明理由是(） B 图1 图2 A.对角线互相平分 B.两组对边分别相等 C.一组对边平行且相等 D.两组对边分别平行 试卷第1页，共3页 【跟踪专练1】如图，两条对边平行且宽为4Cm的纸条交叉重叠在一起，其中较小交叉角 为30°，则重叠四边形的面积为 _cm2. 30y 【跟踪专练2】如图，在四边形ABCD中，AB∥CD,AB=8,CD=24,∠C=30°， ∠D=60°，则AD的长是(). B A.6 B.8 C.5 D.10 【题型7.平行四边形判定与性质的综合计算】 【典例】如图，在四边形ABCD中，AD∥BC,AD=6,当BC= 时，AC与 BD互相平分. D 【跟踪专练1】如图，在ABC中，AB=AC=8,E,M,F分别是AB,BC,AC上的点， 并且ME∥AC,MF∥AB,则四边形MEAF的周长是() M A.10 B.12 C.14 D.16 【跟踪专练2】一个RtAABC中，∠ACB=90,AC=6,BC=3,D为斜边AB的中点，E 为直角边AC上的一点，连接DE,将△ADE沿DE折叠至△A'DE,AE交BD于点F,若 △DEF是AADE面积的一半，则CE=一 试卷第1页，共3页 B D A 【题型8.平行四边形性质与判定的综合证明】 【典例】如图，在口ABCD中，对角线交于点O,点E在线段A0上（不与点A,O重合）， 点F在线段O,C上（不与点O,C重合），当E,F的位置满足 条件时，四边 形DEBF是平行四边形. D B 【跟踪专练1】如图，剪两张对边平行的纸条，随意交叉叠放在一起，重合的部分构成了一 个四边形.转动其中一张纸条，下列结论一定成立的是() A.CD=CB B.04=0B C.AD=BC D.∠DAC=∠DCA 【跟踪专练2】如图，在口ABCD中，点E为边AD上一点，连结BE,将口ABCD沿AE折 叠，使点C的对称点落在BA的延长线的点G处，点D的对称点为点F.给出下列四个结 论： D ①四边形AEFG是平行四边形： 试卷第1页，共3页 ②AB=AE; ③四边形AEFG的周长为2AB; ④四边形AEFG的面积为四边形BCDE的面积的2倍与口ABCD的面积差 其中，以上结论正确的序号有 【题型9.三角形中位线的计算类问题】 【典例】如图，小华注意到跷跷板静止状态时，可以与地面构成一个ABC，跷跷板中间的 支撑杆EF垂直于地面(E,F分别为AB、AC的中点)·若EF=33cm,则此时点B距离 地面的高度BC为() B A.66cm B.68cm C.70cm D.72cm 【跟踪专练1】如图，矩形ABCD中，AC与BD交于点O,E是AD中点，AC=10,BC=6 ,则OE的长为 E B 【跟踪专练2】如图，在ABC中，BD、CE是ABC的中线，BD与CE相交于点O,点F、 G分别是BO、C0的中点，连接A0.若A0=6cm,BC=8cm,则四边形DEFG的周长是 () A.14cm B.18cm C.24cm D.28cm 【题型10.三角形中位线的证明类问题】 试卷第1页，共3页