第18讲 双曲线的简单几何性质（知识清单+7题型讲解练+强化训练）讲义-2025-2026学年高二数学考试满分全攻略同步备考系列（人教A版选择性必修第一册）

本讲义聚焦双曲线的简单几何性质，系统梳理范围、对称性、顶点、渐近线、离心率等基础性质，对比两种标准方程的几何差异，延伸至直线与双曲线位置关系、方程巧设及等轴、共轭双曲线等特殊类型，构建从基础到应用的完整知识支架。 资料亮点在于题型设计“举一反三”，例题与变式结合培养数学思维，强化训练分层分类助力查漏补缺。实际应用题型（如拱桥、声音传播问题）引导用数学眼光观察现实世界，对比表格与巧设方法提升数学语言表达，课中辅助教学，课后强化理解。

第18讲 双曲线的简单几何性质 知识清单 知识点01：双曲线的几何性质 知识点02：双曲线的两种标准方程的几何性质比较 知识点03：直线与双曲线的位置关系 知识点04：求双曲线方程的巧设方法 知识点05：等轴双曲线与共轭双曲线 知识点06：双曲线的通径 题型讲解 （举三反三） 题型1：根据双曲线的方程研究其几何性质 题型2：利用双曲线的几何性质求其标准方程 题型3：求双曲线离心率的值或取值范围 题型4：与双曲线渐近线相关的问题 题型5：直线与双曲线的位置关系 题型6：中点弦问题 题型7：双曲线的综合应用问题 强化训练 一、单选题（4） 二、多选题（3） 三、填空题（4） 四、解答题（7） 知识点01：双曲线的几何性质 1.范围 利用双曲线的方程求出它的范围，由方程－＝1可得＝1＋≥1， 于是，双曲线上点的坐标(x，y)都适合不等式≥1，y∈R，即x2≥a2，y∈R， 所以x≥a 或x≤－a; y∈R. 2．对称性 －＝1(a>0，b>0)关于x轴、y轴和原点都对称． x轴、y轴是双曲线的对称轴，原点是对称中心，又叫做双曲线的中心． 3．顶点 (1)双曲线与对称轴的交点，叫做双曲线的顶点． 顶点是A1(－a,0)，A2(a,0)，只有两个． (2)如图，线段A1A2 叫做双曲线的实轴，它的长为2a，a叫做双曲线的实半轴长；线段B1B2 叫做双曲线的虚轴，它的长为2b，b叫做双曲线的虚半轴长． (3)实轴与虚轴等长的双曲线叫等轴双曲线． 方程为x2－y2＝m(m≠0)． 4．渐近线 双曲线在第一象限内部分的方程为y＝·， 它与y＝x的位置关系：在y＝x的下方． 它与y＝x的位置的变化趋势：慢慢靠近． (1)双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x. (2)利用渐近线可以较准确的画出双曲线的草图． 5．离心率 (1)定义：e＝. (2)e的范围：e>1. (3)e的含义：因为c>a>0，所以可以看出e>1，另外，注意到＝＝＝，说明e越趋近于1，则的值越小，因此双曲线的渐近线所夹的双曲线区域越狭窄． 知识点02：双曲线的两种标准方程的几何性质比较 焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 －＝1(a>0，b>0) －＝1(a>0，b>0) 图形 性质 范围 x≥a或x≤－a y≤－a或y≥a 对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点 顶点坐标 A1(－a,0)，A2(a,0) A1(0，－a)，A2(0，a) 渐近线 y＝±x y＝±x 离心率 e＝，e∈(1，＋∞)，其中c＝ 知识点03：直线与双曲线的位置关系 把直线与双曲线的方程联立成方程组，通过消元后化为ax2＋bx＋c＝0的形式，在a≠0的情况下考察方程的判别式． (1)Δ>0时，直线与双曲线有两个不同的公共点． (2)Δ＝0时，直线与双曲线只有一个切点． (3)Δ<0时，直线与双曲线没有公共点． 当a＝0时，直线与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线有一个交点． 知识点04：求双曲线方程的巧设方法 巧设双曲线方程的技巧 ①与双曲线－＝1具有相同渐近线的双曲线方程可设为－＝λ(λ≠0)． ②渐近线方程为ax±by＝0的双曲线方程可设为a2x2－b2y2＝λ(λ≠0)． 知识点05：等轴双曲线与共轭双曲线 两类特殊的双曲线 等轴双曲线 定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫作等轴双曲线 性质：①渐近线方程为y=±x，它们互相垂直，并且平分以双曲线的实轴和虚轴所成的角；②a=b，离心率e= 共轭双曲线 定义：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线叫作原双曲线的共轭双曲线 性质：①它们有共同的渐近线；②它们的四个焦点共圆； ③它们的离心率的倒数的平方和等于1 知识点06：双曲线的通径 过双曲线的焦点作垂直于实轴的直线，该直线被双曲线截得的弦叫作通径，其长度为. 题型01：根据双曲线的方程研究其几何性质 【例1-1】（25-26高二上·安徽·期中）双曲线的焦点为（   ） A． B． C． D． 【例1-2】（25-26高二上·陕西榆林·月考）若双曲线的实半轴长为，半焦距为，则（   ） A．1 B． C．2 D． 【例1-3】（25-26高二上·河北石家庄·月考）经过点，并且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【例1-4】（25-26高二上·上海·月考）已知双曲线：的左、右焦点为 ，点 在双曲线 的右支上，点 关于原点的对称点为 ，则 【变式1-1】（25-26高二上·北京海淀·月考）双曲线的焦距为（   ） A．2 B．4 C．6 D．12 【变式1-2】（25-26高二上·安徽·月考）已知双曲线经过点，则的虚轴长为（　　） A．4 B．2 C． D．2 【变式1-3】（25-26高二上·江苏南京·月考）已知等轴双曲线的实轴长为4，则该双曲线的焦距为 ． 题型02：利用双曲线的几何性质求其标准方程 【例2】（25-26高二上·青海西宁·月考）与椭圆共焦点且过的双曲线方程为 ． 【变式2-1】（25-26高二上·江苏扬州·期中）与双曲线：有相同焦点，且过点的双曲线的标准方程为 . 【变式2-2】（25-26高二上·安徽·月考）某数学兴趣小组研究发现：奇函数的图象是双曲线，如图，该双曲线有两条渐近线．若以该双曲线的中心为原点，两个焦点所在直线为轴重新建立直角坐标系，则此时双曲线的标准方程为 ． 【变式2-3】（25-26高二上·广西桂林·期中）求符合下列条件的双曲线的标准方程： (1)焦点在轴上，焦距为，实轴长为； (2)过点，离心率为． 题型03：求双曲线离心率的值或取值范围 【例3】（25-26高二上·湖南长沙·月考）已知斜率为的直线过双曲线：的左焦点，且与的左、右两支分别交于点，，设为坐标原点，为的中点，若是以为底边的等腰三角形，则双曲线的离心率为（   ） A．2 B． C． D．3 【变式3-1】（25-26高二上·安徽池州·月考）已知双曲线的左、右焦点分别是，，过点的直线与双曲线的右支交于，两点，若，则双曲线离心率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】（25-26高二上·安徽·月考）已知椭圆与双曲线有相同的焦点，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，点P为椭圆与双曲线的交点，且，若，则（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】（24-25高二上·浙江杭州·期末）设椭圆与双曲线的离心率分别为，双曲线渐近线的斜率小于，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型04：与双曲线渐近线相关的问题 【例4-1】（25-26高二上·广西桂林·期中）若双曲线的虚轴长为，则该双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【例4-2】（25-26高二上·天津静海·月考）已知圆与双曲线的渐近线相切，则双曲线的焦距为（  ） A．2 B． C． D．4 【例4-3】（25-26高二上·安徽·月考）求满足下列条件的双曲线的标准方程． (1)焦点在x轴上，经过点，； (2)与双曲线有相同的渐近线，且过点． 【变式4-1】（23-24高二上·安徽宣城·月考）与双曲线有相同离心率和相同渐近线的双曲线方程是（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（25-26高二上·甘肃酒泉·月考）双曲线的一条渐近线与直线垂直，则双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 【变式4-3】（25-26高二上·广东江门·月考）已知双曲线，则双曲线的右焦点到双曲线的一条渐近线的距离为 ． 【变式4-4】（24-25高二上·黑龙江鸡西·期末）已知双曲线的右焦点为，渐近线方程为. (1)求双曲线的标准方程； (2)过点，且斜率不为0的直线与双曲线交于两点，为坐标原点，若的面积为，求直线的方程. 题型05：直线与双曲线的位置关系 【例5-1】（24-25高二上·北京西城·期末）已知直线，“或”是“直线与双曲线有且仅有一个公共点”的 （    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【例5-2】（25-26高二上·湖北十堰·月考）直线与双曲线相交于，两点，且线段的中点为，则直线 的方程是 ． 【例5-3】（24-25高二上·贵州遵义·期末）已知双曲线 (1)求双曲线C的焦点坐标、渐近线方程和离心率； (2)已知为坐标原点，若直线与双曲线交于A，B两点，求的面积. 【变式5-1】（2025高二上·河南安阳·专题练习）若直线与双曲线只有一个公共点，则的值为 ． 【变式5-2】（25-26高二上·河北·月考）已知直线与双曲线交于A，B两点，若点A，B的横坐标之积为，则 . 【变式5-3】（25-26高二上·海南省直辖县级单位·月考）已知双曲线的离心率，右焦点到渐近线的距离为. (1)求双曲线的标准方程； (2)已知点，过点的直线与双曲线的左、右两支分别交于点，，直线与双曲线交于另一点，设直线AM，AN的斜率分别为，. （i）求证：为定值； （ii）求证：直线MP过定点，并求出该定点的坐标. 题型06：中点弦问题 【例6-1】（24-25高二上·上海·月考）已知双曲线，若双曲线的一条弦的中点为，则这条弦所在直线的斜率为 ． 【例6-2】（多选）（25-26高二上·江苏连云港·期中）已知双曲线C：（），若圆与双曲线C的渐近线相切，则（   ） A．双曲线C的实轴长为 B．存在两个圆，使得与这两个圆都外切的圆的圆心在双曲线C的一支上 C．点P为双曲线C右支上任意一点，则点P到直线的距离 D．直线与C交于A，B两点，点D为动弦AB的中点，则D在一条定直线上 【例6-3】（25-26高二上·陕西西安·月考）已知双曲线的虚轴长为，分别是的左、右焦点． (1)求的渐近线方程． (2)若是的右支上一点，且，求． (3)是否存在直线，使得直线与交于，两点，且弦的中点为？若存在，求的倾斜角；若不存在，请说明理由． 【变式6-1】（多选） “黄金双曲线”是指离心率为“黄金分割比”的倒数的双曲线（“黄金分割比”为）．若黄金双曲线的左右两顶点分别为，虚轴上下两端点分别为，左右焦点分别为，为双曲线任意一条不过原点且不平行于坐标轴的弦，为的中点．设为坐标原点，双曲线的离心率为，则下列说法正确的有（    ） A． B． C．直线与双曲线的一条渐近线垂直 D． 【变式6-2】（24-25高二上·河北唐山·期末）已知双曲线的焦距为4，焦点到渐近线的距离为1. (1)求的标准方程； (2)过的右焦点作两条互相垂直的直线与的右支交于点，弦的中点为与的右支交于点，弦的中点为. （i）设，求的取值范围； （ii）判断：直线是否恒过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由. 题型07：双曲线的综合应用问题 【例7-1】（24-25高二上·河北张家口·月考）如图所示，某拱桥的截面图可以看作双曲线的图象的一部分，当拱顶到水面的距离为3米时，水面宽为米，则当水面宽度为米时，拱顶到水面的距离为（    ） A．3米 B．米 C．米 D．米 【例7-2】（24-25高二下·海南海口·期中）圆锥曲线有良好的光学性质，光线从椭圆的一个焦点发出，被椭圆反射后会经过椭圆的另一个焦点（如左图）；光线从双曲线的一个焦点发出，被双曲线反射后的反射光线等效于从另一个焦点射出（如中图）.封闭曲线（如右图）是由椭圆和双曲线在轴右侧的一部分（实线）围成.光线从椭圆上一点出发，经过双曲线的右焦点，然后在曲线内多次反射，反射点依次为若与重合，则光线从到所经过的路程为（    ） A．4 B．8 C．12 D．16 【例7-3】（23-24高二上·山东东营·期末）如图所示，某中心接到其正西､正东､正北方向三个观测点的报告：两个观测点同时听到了一声巨响，观测点听到的时间比观测点晚4秒，假定当时声音传播的速度为米/秒，各观测点到该中心的距离都是米，设发出巨响的位置为点，且均在同一平面内.请你确定该巨响发生的点的位置. 【变式7-1】（23-24高二下·浙江·月考）江南水乡多石拱桥，现有等轴双曲线形的石拱桥（如图），拱顶离水面10米，水面宽米，若水面上升5米，则水面宽为（    ） A．米 B．米 C．米 D．30米 【变式7-2】（25-26高二上·安徽合肥·期中）设点在曲线上，在曲线上，且满足 ， (1)求曲线的方程； (2)利用双曲线定义证明：方程表示的曲线是焦点在直线上的双曲线． (3)人教版必修第一册92页，我们探究过函数的图象与性质．如图，轴和直线是它的渐近线，其图象不仅是中心对称图形，还是轴对称图形．实质上，它也是圆锥曲线中的双曲线，试求出函数对称轴的方程． 一、单选题 1．（25-26高二上·广东惠州·月考）已知双曲线的离心率为，则的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·广西梧州·阶段练习）如图，某双曲线笔简的轴截面曲线部分为一条离心率为且焦距为的双曲线的一部分.忽略笔筒的厚度，该笔筒中间最窄处的直径为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·河南南阳·阶段练习）过双曲线的左焦点作直线与它的两条渐近线分别交于两点，且是坐标原点，则双曲线的离心率是（    ） A．2 B． C． D．3 4．（24-25高二上·陕西西安·阶段练习）已知双曲线，过右焦点的直线与双曲线交于两点．且，这样的直线有4条，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 5．（25-26高二上·新疆喀什·月考）已知双曲线，则（   ） A．渐近线方程为 B．离心率为 C．顶点坐标为 D．焦点坐标为 6．（25-26高二上·河南焦作·期中）已知双曲线的离心率为，其左、右焦点分别为，，点在的右支上，直线与交于另一点，的中点为，为坐标原点，则下列说法错误的是（    ） A．存在点，使得直线的斜率为2 B．存在点，使得 C．存在点，使得 D．存在点，使得点的横坐标为 7．（25-26高二上·四川内江·月考）双曲线为其左､右焦点，为原点，过作直线与双曲线两支和两条渐近线交于四个不同的点，从左到右依次记为，则下列正确的是（    ） A．若为斜率，则 B． C．若，则 D．若，则 三、填空题 8．（25-26高二上·福建厦门·月考）已知双曲线的一条渐近线为，则的值为 . 9．（25-26高二上·安徽池州·月考）若双曲线与双曲线有相同的渐近线，且双曲线的右焦点在直线上，则双曲线的标准方程为 ． 10．（25-26高二上·天津滨海新·月考）设是椭圆与双曲线的公共焦点，为它们的一个公共点，且，则这两条曲线的离心率之积最小为 ，此时双曲线的渐近线的方程是 . 11.（25-26高二上·全国·单元测试）已知双曲线的焦距为10，左、右焦点分别为，点在上且轴，的面积为，则双曲线的方程为 ；若点为双曲线左支上的任意一点，则的最小值是 ． 四、解答题 12．（25-26高二上·四川内江·月考）已知双曲线与双曲线有相同的渐近线，与椭圆有相同的焦点，双曲线的左右焦点分别为，直线过且与双曲线相交于两点. (1)求双曲线的方程； (2)若直线的斜率为2，求线段的长； 13．（25-26高二上·海南儋州·月考）已知双曲线的离心率为，且过点. (1)求双曲线的标准方程； (2)设点是双曲线上两点，且，其中为双曲线的右焦点，记直线的斜率为.证明：是定值. 14．（25-26高二上·贵州贵阳·月考）已知双曲线的实轴长为2，焦距为. (1)求双曲线的标准方程； (2)过点且倾斜角为的直线与双曲线的右支交于两点，为坐标原点，求的面积. 15．（25-26高二上·广东惠州·期中）已知双曲线C的方程为 实轴长和离心率均为2． (1)求双曲线C的标准方程； (2)过且倾斜角为45°的直线l与双曲线C交于A，B两点， 求的值． 16．（25-26高二上·江苏南通·期中）已知双曲线C的渐近线方程为，点是双曲线C上一点． (1)求双曲线C的方程； (2)过点的直线l交双曲线C于点M，N，直线MA，NA分别交直线于点P，Q，请问：是否存在常数，使得，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 17．（25-26高二上·安徽安庆·月考）在平面直角坐标系中，已知双曲线的离心率为，焦距． (1)求的方程； (2)双曲线左、右顶点分别为，，直线与的左、右两支分别交于点，，记直线，的斜率分别为，且． （i）求证：直线过定点； （ii），直线与交于点，判断并证明直线与的位置关系． 18．（25-26高二上·湖北武汉·月考）已知双曲线的离心率和焦距分别为和，设点､､的坐标分别为，，. (1)求双曲线的方程； (2)已知是双曲线的左支上异于点的一个动点，直线交的右支于点，是坐标原点. （i）记和的面积分别为，，且，求直线的方程； （ii）设直线与直线的交点为，求点的轨迹方程. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第18讲 双曲线的简单几何性质 知识清单 知识点01：双曲线的几何性质 知识点02：双曲线的两种标准方程的几何性质比较 知识点03：直线与双曲线的位置关系 知识点04：求双曲线方程的巧设方法 知识点05：等轴双曲线与共轭双曲线 知识点06：双曲线的通径 题型讲解 （举三反三） 题型1：根据双曲线的方程研究其几何性质 题型2：利用双曲线的几何性质求其标准方程 题型3：求双曲线离心率的值或取值范围 题型4：与双曲线渐近线相关的问题 题型5：直线与双曲线的位置关系 题型6：中点弦问题 题型7：双曲线的综合应用问题 强化训练 一、单选题（4） 二、多选题（3） 三、填空题（4） 四、解答题（7） 知识点01：双曲线的几何性质 1.范围 利用双曲线的方程求出它的范围，由方程－＝1可得＝1＋≥1， 于是，双曲线上点的坐标(x，y)都适合不等式≥1，y∈R，即x2≥a2，y∈R， 所以x≥a 或x≤－a; y∈R. 2．对称性 －＝1(a>0，b>0)关于x轴、y轴和原点都对称． x轴、y轴是双曲线的对称轴，原点是对称中心，又叫做双曲线的中心． 3．顶点 (1)双曲线与对称轴的交点，叫做双曲线的顶点． 顶点是A1(－a,0)，A2(a,0)，只有两个． (2)如图，线段A1A2 叫做双曲线的实轴，它的长为2a，a叫做双曲线的实半轴长；线段B1B2 叫做双曲线的虚轴，它的长为2b，b叫做双曲线的虚半轴长． (3)实轴与虚轴等长的双曲线叫等轴双曲线． 方程为x2－y2＝m(m≠0)． 4．渐近线 双曲线在第一象限内部分的方程为y＝·， 它与y＝x的位置关系：在y＝x的下方． 它与y＝x的位置的变化趋势：慢慢靠近． (1)双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x. (2)利用渐近线可以较准确的画出双曲线的草图． 5．离心率 (1)定义：e＝. (2)e的范围：e>1. (3)e的含义：因为c>a>0，所以可以看出e>1，另外，注意到＝＝＝，说明e越趋近于1，则的值越小，因此双曲线的渐近线所夹的双曲线区域越狭窄． 知识点02：双曲线的两种标准方程的几何性质比较 焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 －＝1(a>0，b>0) －＝1(a>0，b>0) 图形 性质 范围 x≥a或x≤－a y≤－a或y≥a 对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点 顶点坐标 A1(－a,0)，A2(a,0) A1(0，－a)，A2(0，a) 渐近线 y＝±x y＝±x 离心率 e＝，e∈(1，＋∞)，其中c＝ 知识点03：直线与双曲线的位置关系 把直线与双曲线的方程联立成方程组，通过消元后化为ax2＋bx＋c＝0的形式，在a≠0的情况下考察方程的判别式． (1)Δ>0时，直线与双曲线有两个不同的公共点． (2)Δ＝0时，直线与双曲线只有一个切点． (3)Δ<0时，直线与双曲线没有公共点． 当a＝0时，直线与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线有一个交点． 知识点04：求双曲线方程的巧设方法 巧设双曲线方程的技巧 ①与双曲线－＝1具有相同渐近线的双曲线方程可设为－＝λ(λ≠0)． ②渐近线方程为ax±by＝0的双曲线方程可设为a2x2－b2y2＝λ(λ≠0)． 知识点05：等轴双曲线与共轭双曲线 两类特殊的双曲线 等轴双曲线 定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫作等轴双曲线 性质：①渐近线方程为y=±x，它们互相垂直，并且平分以双曲线的实轴和虚轴所成的角；②a=b，离心率e= 共轭双曲线 定义：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线叫作原双曲线的共轭双曲线 性质：①它们有共同的渐近线；②它们的四个焦点共圆； ③它们的离心率的倒数的平方和等于1 知识点06：双曲线的通径 过双曲线的焦点作垂直于实轴的直线，该直线被双曲线截得的弦叫作通径，其长度为. 题型01：根据双曲线的方程研究其几何性质 【例1-1】（25-26高二上·安徽·期中）双曲线的焦点为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由双曲线，可化为，可得，， 则，所以焦点为. 故选：B. 【例1-2】（25-26高二上·陕西榆林·月考）若双曲线的实半轴长为，半焦距为，则（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【详解】双曲线的实半轴长，半焦距， 所以. 故选：B 【例1-3】（25-26高二上·河北石家庄·月考）经过点，并且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的方程为， 因为该双曲线过点， 所以，即， 故选：B 【例1-4】（25-26高二上·上海·月考）已知双曲线：的左、右焦点为 ，点 在双曲线 的右支上，点 关于原点的对称点为 ，则 【答案】6 【详解】如图： 对双曲线：，可得. 因为点、关于原点对称，根据双曲线的对称性可得. 所以， 根据双曲线的定义，. 故答案为：6 【变式1-1】（25-26高二上·北京海淀·月考）双曲线的焦距为（   ） A．2 B．4 C．6 D．12 【答案】D 【详解】由双曲线方程可知， 所以，即， 所以双曲线的焦距为. 故选：D 【变式1-2】（25-26高二上·安徽·月考）已知双曲线经过点，则的虚轴长为（　　） A．4 B．2 C． D．2 【答案】A 【详解】由点在双曲线上，得，解得， 即双曲线方程为，则的虚轴长为． 故选：A． 【变式1-3】（25-26高二上·江苏南京·月考）已知等轴双曲线的实轴长为4，则该双曲线的焦距为 ． 【答案】 【详解】由条件可知，，则，焦距. 故答案为： 题型02：利用双曲线的几何性质求其标准方程 【例2】（25-26高二上·青海西宁·月考）与椭圆共焦点且过的双曲线方程为 ． 【答案】 【详解】因为在椭圆中， 所以， 所以椭圆的焦点为 所以所求双曲线的焦点也为 设所求双曲线的方程为， 则有， 解得， 所以所求双曲线方程为. 故答案为： 【变式2-1】（25-26高二上·江苏扬州·期中）与双曲线：有相同焦点，且过点的双曲线的标准方程为 . 【答案】 【详解】由题意可设双曲线方程为，又经过点， 所以，即，解得或(舍)， 所以双曲线的标准方程为， 故答案为：. 【变式2-2】（25-26高二上·安徽·月考）某数学兴趣小组研究发现：奇函数的图象是双曲线，如图，该双曲线有两条渐近线．若以该双曲线的中心为原点，两个焦点所在直线为轴重新建立直角坐标系，则此时双曲线的标准方程为 ． 【答案】 【详解】由题意，当趋于无穷大时，， 可得两条渐近线的方程分别为和，两条渐近线的夹角为， 依据题意重新建立直角坐标系， 以两渐近线的角平分线为轴，焦点所在直线为轴， 由解得或 记双曲线的实半轴长为，虚半轴长为， 可得，又，所以， 故此时双曲线的标准方程为． 故答案为： 【变式2-3】（25-26高二上·广西桂林·期中）求符合下列条件的双曲线的标准方程： (1)焦点在轴上，焦距为，实轴长为； (2)过点，离心率为． 【详解】（1）设双曲线标准方程为：， ，，双曲线标准方程为. （2）当双曲线焦点在轴上时，设其方程为， ，解得：，双曲线标准方程为； 当双曲线焦点在轴上时，设其方程为， ，解得：，双曲线标准方程为； 综上所述：双曲线标准方程为或. 题型03：求双曲线离心率的值或取值范围 【例3】（25-26高二上·湖南长沙·月考）已知斜率为的直线过双曲线：的左焦点，且与的左、右两支分别交于点，，设为坐标原点，为的中点，若是以为底边的等腰三角形，则双曲线的离心率为（   ） A．2 B． C． D．3 【答案】C 【详解】设，， 则有， ， 因为直线的斜率为， 所以由， 设直线的倾斜角为，则有 因为是以为底边的等腰三角形， 所以， 因此直线的倾斜角为，即， 化简，得， 故选：C 【变式3-1】（25-26高二上·安徽池州·月考）已知双曲线的左、右焦点分别是，，过点的直线与双曲线的右支交于，两点，若，则双曲线离心率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】根据双曲线的定义，有， 两式相加得， 又，所以， 又，所以， 当轴时最小，此时， 所以，又， 则，整理得， 又，两边除以得，解得， 又双曲线的离心率，所以双曲线的离心率取值范围是. 故选：D 【变式3-2】（25-26高二上·安徽·月考）已知椭圆与双曲线有相同的焦点，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，点P为椭圆与双曲线的交点，且，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设P为第一象限的交点，，则， 解得，. 在中，由余弦定理得， 所以，即， 整理得，即，故， 设，，，又， 则， ，所以或， 时，舍去， 时满足题意，此时，所以. 故选：C． 【变式3-3】（24-25高二上·浙江杭州·期末）设椭圆与双曲线的离心率分别为，双曲线渐近线的斜率小于，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】双曲线的渐近线方程为，由双曲线的渐近线的斜率小于，得， 因此，由，得， 则，即，则 所以的取值范围是. 故选：D 题型04：与双曲线渐近线相关的问题 【例4-1】（25-26高二上·广西桂林·期中）若双曲线的虚轴长为，则该双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意可得，，得， 则该双曲线的渐近线方程为. 故选：B 【例4-2】（25-26高二上·天津静海·月考）已知圆与双曲线的渐近线相切，则双曲线的焦距为（  ） A．2 B． C． D．4 【答案】D 【详解】双曲线的渐近线方程为， 根据圆的圆心到切线的距离等于半径， 可得，解得， 从而求得双曲线的方程为，所以，即， 故此双曲线的焦距为， 故选：D. 【例4-3】（25-26高二上·安徽·月考）求满足下列条件的双曲线的标准方程． (1)焦点在x轴上，经过点，； (2)与双曲线有相同的渐近线，且过点． 【详解】（1）依题意，设双曲线方程为，由该双曲线过点， 得，解得，所以所求双曲线标准方程为. （2）设与双曲线有相同的渐近线的双曲线方程为， 由该双曲线过点，得， 所以所求双曲线的标准方程为，即. 【变式4-1】（23-24高二上·安徽宣城·月考）与双曲线有相同离心率和相同渐近线的双曲线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】双曲线中，，，，渐近线， 对于A：，，，，渐近线，故A错误； 对于B ：，，，，渐近线，故B错误； 对于C ：，，，，渐近线，故C正确； 对于D：，，，，渐近线，故D错误.   故选：C. 【变式4-2】（25-26高二上·甘肃酒泉·月考）双曲线的一条渐近线与直线垂直，则双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意，得双曲线的渐近线方程为． 因为双曲线的一条渐近线与直线垂直， 所以渐近线为，且，解得， 所以双曲线的离心率． 故选：B． 【变式4-3】（25-26高二上·广东江门·月考）已知双曲线，则双曲线的右焦点到双曲线的一条渐近线的距离为 ． 【答案】 【详解】由双曲线有右焦点， ，双曲线的方程为：， ，，则，， ，则， 双曲线的右焦点坐标为， 双曲线的渐近线方程为：， 化为直线方程的一般形式：或， 双曲线的右焦点到渐近线的距离为， 双曲线的右焦点到渐近线的距离为.， 综上，双曲线的右焦点到双曲线的一条渐近线的距离为. 故答案为： 【变式4-4】（24-25高二上·黑龙江鸡西·期末）已知双曲线的右焦点为，渐近线方程为. (1)求双曲线的标准方程； (2)过点，且斜率不为0的直线与双曲线交于两点，为坐标原点，若的面积为，求直线的方程. 【详解】（1）设双曲线的焦距为， 因为双曲线的右焦点为，所以， 因为双曲线的渐近线方程为，所以； 又，可得； 所以双曲线的标准方程为； （2）如下图所示： 依题意直线的斜率一定存在，设斜率为，则直线的方程为， 设； 联立可得， 显然，且，解得且； 则，， 可得， 原点到直线的距离为， 所以的面积为， 解得或（舍），即， 所以直线的方程为或. 题型05：直线与双曲线的位置关系 【例5-1】（24-25高二上·北京西城·期末）已知直线，“或”是“直线与双曲线有且仅有一个公共点”的 （    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】联立，可得（*）， 当直线与双曲线只有一个公共点时： 若时，即当时，方程（*）即为，解得，合乎题意； 若时，由于双曲线的渐近线为，故直线与双曲线的渐近线不平行，则当直线与双曲线相切时， ， 解得， 所以当直线与双曲线有且仅有一个公共点时，的取值集合为， 因此，“或”是“直线与双曲线有且仅有一个公共点”的充分不必要条件. 故选：A. 【例5-2】（25-26高二上·湖北十堰·月考）直线与双曲线相交于，两点，且线段的中点为，则直线 的方程是 ． 【答案】 【详解】设，则有，两式相减，可得， 为线段的中点，故有， 即，若，则，即两点重合，不满足题意， 故，因此可得直线的斜率为， 又因为直线过， 故直线，整理得， 故答案为：. 【例5-3】（24-25高二上·贵州遵义·期末）已知双曲线 (1)求双曲线C的焦点坐标、渐近线方程和离心率； (2)已知为坐标原点，若直线与双曲线交于A，B两点，求的面积. 【详解】（1）由题意，知双曲线的标准方程为， 所以，故， 所以双曲线的焦点坐标为，渐近线方程为，离心率. （2）联立双曲线与直线的方程，化简得. 设，则， 利用弦长公式，得. 因为点到直线的距离为， 所以. 【变式5-1】（2025高二上·河南安阳·专题练习）若直线与双曲线只有一个公共点，则的值为 ． 【答案】 【详解】联立直线与双曲线， 代入得， 整理为， 若为一次方程，则，解得； 若为二次方程，则，且判别式， 也即， 该方程无实根，所以． 故答案为：． 【变式5-2】（25-26高二上·河北·月考）已知直线与双曲线交于A，B两点，若点A，B的横坐标之积为，则 . 【答案】 【详解】由直线与双曲线的对称性，不妨设，点在第一象限， 则．由题意得，解得． 代入双曲线的方程，得，解得． 因为，所以． 故答案为：. 【变式5-3】（25-26高二上·海南省直辖县级单位·月考）已知双曲线的离心率，右焦点到渐近线的距离为. (1)求双曲线的标准方程； (2)已知点，过点的直线与双曲线的左、右两支分别交于点，，直线与双曲线交于另一点，设直线AM，AN的斜率分别为，. （i）求证：为定值； （ii）求证：直线MP过定点，并求出该定点的坐标. 【详解】（1）设双曲线右焦点， 由到双曲线的渐近线的距离为，得， 由双曲线的离心率，得，解得， 所以双曲线的标准方程为. （2）（i）显然直线的斜率存在，设其方程为， 由消去得， ，由直线与双曲线的左、右支分别交于点， 得，解得，则 ， 所以为定值. （ii）设直线的方程为，直线斜率，由（i）得， 由消去得， ， 由，得，即或， 当时，直线过点，不符合题意，舍去， 当时，直线的方程为，过定点. 题型06：中点弦问题 【例6-1】（24-25高二上·上海·月考）已知双曲线，若双曲线的一条弦的中点为，则这条弦所在直线的斜率为 ． 【答案】 【详解】设该弦为， 设， 则有，两式相减，得， 因为双曲线C的一条弦的中点为， 所以， 因此由， 即这条弦所在直线的斜率为，方程为， 代入双曲线方程中，得， 因为， 所以该弦存在， 故答案为：. 【例6-2】（多选）（25-26高二上·江苏连云港·期中）已知双曲线C：（），若圆与双曲线C的渐近线相切，则（   ） A．双曲线C的实轴长为 B．存在两个圆，使得与这两个圆都外切的圆的圆心在双曲线C的一支上 C．点P为双曲线C右支上任意一点，则点P到直线的距离 D．直线与C交于A，B两点，点D为动弦AB的中点，则D在一条定直线上 【答案】ABD 【详解】双曲线的渐近线方程是，圆的圆心是，半径是1， 则，（舍去），故实轴长为，故A正确； 由A知，，，即双曲线焦点为， 存在圆， 设动圆圆心为，由动圆与两圆都外切可得：， 所以只需存在，则点的轨迹在双曲线的一支上，故B正确； 因为直线与双曲线的渐近线平行， 而两条平行线间的距离为， 所以双曲线右支上点P到直线的距离，故C错误； 设，则由，相减可得： ，所以，即， 所以D在一条定直线上，故D正确. 故选：ABD 【例6-3】（25-26高二上·陕西西安·月考）已知双曲线的虚轴长为，分别是的左、右焦点． (1)求的渐近线方程． (2)若是的右支上一点，且，求． (3)是否存在直线，使得直线与交于，两点，且弦的中点为？若存在，求的倾斜角；若不存在，请说明理由． 【详解】（1）因为双曲线的虚轴长为，所以，所以， 所以的渐近线方程为，即； （2）因为双曲线定义及是的右支上一点，所以， 又因为，所以； （3）假设存在直线l，设，则， 两式相减得， 由的中点为， 得， 因此直线的斜率， 双曲线的渐近线方程为，而，则直线与双曲线相交， 所以存在直线满足要求，直线的斜率为，的倾斜角为. 【变式6-1】（多选） “黄金双曲线”是指离心率为“黄金分割比”的倒数的双曲线（“黄金分割比”为）．若黄金双曲线的左右两顶点分别为，虚轴上下两端点分别为，左右焦点分别为，为双曲线任意一条不过原点且不平行于坐标轴的弦，为的中点．设为坐标原点，双曲线的离心率为，则下列说法正确的有（    ） A． B． C．直线与双曲线的一条渐近线垂直 D． 【答案】ACD 【详解】对于 A，由题得离心率，故A正确； 对于B，设，，则点， 则，，两式作差得， 则，故B不正确； 对于C，易知，，则，双曲线的一条渐近线的斜率， 所以， 所以直线与双曲线的一条渐近线垂直，故C正确； 对于D，，， 由C选项可知有，所以， 所以，故D正确. 故选：ACD. 【变式6-2】（24-25高二上·河北唐山·期末）已知双曲线的焦距为4，焦点到渐近线的距离为1. (1)求的标准方程； (2)过的右焦点作两条互相垂直的直线与的右支交于点，弦的中点为与的右支交于点，弦的中点为. （i）设，求的取值范围； （ii）判断：直线是否恒过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由. 【详解】（1）由焦距得，又，得. 则的标准方程为. （2）（i）联立方程得， 若，不符合题意. 若，则， 设，则. 因为，所以. 依题设，，同理得，则， 则的取值范围是. （ii）设，因为弦的中点为， 则 得，同理. 假设过定点，依据对称性，点必在轴上，设， 则. 由得， 化简得，得，则恒过定点. 题型07：双曲线的综合应用问题 【例7-1】（24-25高二上·河北张家口·月考）如图所示，某拱桥的截面图可以看作双曲线的图象的一部分，当拱顶到水面的距离为3米时，水面宽为米，则当水面宽度为米时，拱顶到水面的距离为（    ） A．3米 B．米 C．米 D．米 【答案】D 【详解】根据题意，，，故，解得，即， 则当水面宽度为米时，即时，解得，， 因此，拱顶M到水面的距离为. 故选：D 【例7-2】（24-25高二下·海南海口·期中）圆锥曲线有良好的光学性质，光线从椭圆的一个焦点发出，被椭圆反射后会经过椭圆的另一个焦点（如左图）；光线从双曲线的一个焦点发出，被双曲线反射后的反射光线等效于从另一个焦点射出（如中图）.封闭曲线（如右图）是由椭圆和双曲线在轴右侧的一部分（实线）围成.光线从椭圆上一点出发，经过双曲线的右焦点，然后在曲线内多次反射，反射点依次为若与重合，则光线从到所经过的路程为（    ） A．4 B．8 C．12 D．16 【答案】B 【详解】椭圆；双曲线则双曲线和椭圆的焦点重合. 根据双曲线的定义有 所以 根据椭圆的定义由 所以路程 故选：B. 【例7-3】（23-24高二上·山东东营·期末）如图所示，某中心接到其正西､正东､正北方向三个观测点的报告：两个观测点同时听到了一声巨响，观测点听到的时间比观测点晚4秒，假定当时声音传播的速度为米/秒，各观测点到该中心的距离都是米，设发出巨响的位置为点，且均在同一平面内.请你确定该巨响发生的点的位置. 【详解】如图，以接报中心为原点，正东、正北方向为x轴、y轴正向，建立直角坐标系． 则，，， 设为巨响为生点，由A、同时听到巨响声，得， 故在的垂直平分线上，的方程为，因点比A点晚听到爆炸声， 故，由双曲线定义知点在以A、为焦点的双曲线上， 依题意得，，， 故双曲线方程为，将代入上式，得， ，，，即 故. 故巨响发生在接报中心的西偏北距中心米处． 【变式7-1】（23-24高二下·浙江·月考）江南水乡多石拱桥，现有等轴双曲线形的石拱桥（如图），拱顶离水面10米，水面宽米，若水面上升5米，则水面宽为（    ） A．米 B．米 C．米 D．30米 【答案】D 【详解】设双曲线方程为，如图建立直角坐标系. 水面上升5米后，设水面宽为CD，设D，其中. 又由题可得，代入双曲线方程可得： ，则D. 将D点坐标代入双曲线方程可得：，则D. 又由对称性可得，则水面上升5米，则水面宽为30米. 故选：D 【变式7-2】（25-26高二上·安徽合肥·期中）设点在曲线上，在曲线上，且满足 ， (1)求曲线的方程； (2)利用双曲线定义证明：方程表示的曲线是焦点在直线上的双曲线． (3)人教版必修第一册92页，我们探究过函数的图象与性质．如图，轴和直线是它的渐近线，其图象不仅是中心对称图形，还是轴对称图形．实质上，它也是圆锥曲线中的双曲线，试求出函数对称轴的方程． 【详解】（1）将代入曲线可得， 即； （2）设方程上任意一点， 则 = ， 当时，， 当时，， 根据双曲线得定义得，方程的图象是焦点在直线上的双曲线； （3）函数的图象是圆锥曲线中的双曲线，且轴和直线是它的渐近线可知， 对称轴为直线和； 又，得，解得， 又，所以，得， 又， 所以对称轴的方程为和． 一、单选题 1．（25-26高二上·广东惠州·月考）已知双曲线的离心率为，则的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设双曲线的焦距为， 双曲线的离心率为， 则，即，即有， 又由双曲线的焦点在轴上，则其渐近线方程为. 故选：C 2．（24-25高二上·广西梧州·阶段练习）如图，某双曲线笔简的轴截面曲线部分为一条离心率为且焦距为的双曲线的一部分.忽略笔筒的厚度，该笔筒中间最窄处的直径为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意求出，该笔筒中间最窄处的直径为得解. 【详解】依题意可得，所以， 所以该笔筒中间最窄处的直径为. 故选：B. 3．（24-25高二上·河南南阳·阶段练习）过双曲线的左焦点作直线与它的两条渐近线分别交于两点，且是坐标原点，则双曲线的离心率是（    ） A．2 B． C． D．3 【答案】A 【详解】 由题意可得双曲线的渐近线的方程为. 由 ∵为线段的中点， ∴，则为等腰三角形. ∴, 连接 由双曲线的的渐近线的性质可得 ∴ ∴，即. ∴双曲线的离心率为 所以. 故选：A. 4．（24-25高二上·陕西西安·阶段练习）已知双曲线，过右焦点的直线与双曲线交于两点．且，这样的直线有4条，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设，令，则， 过双曲线的右焦点作直线与双曲线交于两点， 如果在同一支上，则有， 如果在两支上，则有， 因为这样的直线有4条， 所以，解得， 故选：B 二、多选题 5．（25-26高二上·新疆喀什·月考）已知双曲线，则（   ） A．渐近线方程为 B．离心率为 C．顶点坐标为 D．焦点坐标为 【答案】ACD 【详解】由题意得：双曲线焦点在轴上，且，，，所以，，； 对于选项：根据渐近线公式，所以渐近线方程为，选项正确； 对于选项：根据离心率公式，所以离心率为：，选项错误； 对于选项：根据顶点坐标公式，所以顶点坐标为，选项正确； 对于选项：根据焦点坐标公式，所以焦点坐标为，选项正确. 故选：. 6．（25-26高二上·河南焦作·期中）已知双曲线的离心率为，其左、右焦点分别为，，点在的右支上，直线与交于另一点，的中点为，为坐标原点，则下列说法错误的是（    ） A．存在点，使得直线的斜率为2 B．存在点，使得 C．存在点，使得 D．存在点，使得点的横坐标为 【答案】ABD 【详解】设点，，，， 由题知离心率，解得， 故有，双曲线C的渐近线为， 对于A选项，如果存在点，使得直线的斜率为2， 直线与渐近线平行，不会与双曲线有两个交点，故A错误； 对于B选项： ，，若，即， 可得，即：（①）， 而位于双曲线右支上，其中， 故有：，即：（②）， 联立①②两个等式可得：，又，此时，由选项A可知不合题意，故B选项错误； 对于C选项：由，即：，化简得：，由点在的右支上可知：，故存在点，使得，故C选项正确； 对于D选项：设，，， 而，带入化简得：，而， 故，可知不存在这样的点M使等式成立， 故不存在点，使得点的横坐标为，故D选项错误. 下面为证明：， 的中点为，根据中点坐标公式可知，故， ，故， 而，两点均位于双曲线上，故： （③） （④），用③减④得：， 化简得，故，证毕. 故选：AD 7．（25-26高二上·四川内江·月考）双曲线为其左､右焦点，为原点，过作直线与双曲线两支和两条渐近线交于四个不同的点，从左到右依次记为，则下列正确的是（    ） A．若为斜率，则 B． C．若，则 D．若，则 【答案】BD 【详解】由双曲线，得， 则双曲线的渐近线方程为，焦点为， 对于A：如图： 易知，即渐近线是的角平分线， ∴当且仅当与渐近线垂直时，即时，是等腰三角形，此时有，故A错误； 如图： 不妨设均在x轴上方． 对于B：设直线的方程为， 联立，得， ∵， ∴， 则， 则，即中点为， 联立，解得，即， 联立，解得，即， 则中点为，即为， ∴中点即为中点，设为，则， ∴，故B正确； 对于C：如图： 由双曲线的渐近线方程可知，， 由于，∴， 则，故C错误； 对于D：由选项B知，为中点， 若，则，则， 即，负值（负值舍去），则， 则，故D正确． 故选：BD． 三、填空题 8．（25-26高二上·福建厦门·月考）已知双曲线的一条渐近线为，则的值为 . 【答案】1 【详解】由题意得，双曲线的渐近线方程为， 又双曲线的一条渐近线为，所以，解得. 故答案为：1 9．（25-26高二上·安徽池州·月考）若双曲线与双曲线有相同的渐近线，且双曲线的右焦点在直线上，则双曲线的标准方程为 ． 【答案】 【详解】由题意可设双曲线的方程为（），即， 所以，则，所以右焦点坐标为. 因为双曲线的右焦点在直线上，所以，解得. 所以双曲线的方程为. 故答案为：. 10．（25-26高二上·天津滨海新·月考）设是椭圆与双曲线的公共焦点，为它们的一个公共点，且，则这两条曲线的离心率之积最小为 ，此时双曲线的渐近线的方程是 . 【答案】 【详解】设椭圆与双曲线的交点位于第一象限（），椭圆和双曲线的离心率分别为和， 椭圆焦距为，长轴为，双曲线实轴长为，虚轴长为， 由椭圆和双曲线定义可知，解得，， 因为，所以在中由余弦定理可得， 即，解得， 则，所以，整理得，即， 当且仅当，即时等号成立，故两条曲线的离心率之积最小为； 由，得，解得，即， 所以渐近线方程为. 故答案为：；. 11.（25-26高二上·全国·单元测试）已知双曲线的焦距为10，左、右焦点分别为，点在上且轴，的面积为，则双曲线的方程为 ；若点为双曲线左支上的任意一点，则的最小值是 ． 【答案】 【详解】由题意可知，设，即，代入双曲线方程有， 又的面积为，即， 所以有，解得， 所以双曲线的方程为． 方法一：  设， ， 则， 则， 由于，所以，因此， 于是，故的最小值是． 方法二 ： 由双曲线定义可知，且， 于是， 由于，所以， 因此，故的最小值是． 故答案为：； 四、解答题 12．（25-26高二上·四川内江·月考）已知双曲线与双曲线有相同的渐近线，与椭圆有相同的焦点，双曲线的左右焦点分别为，直线过且与双曲线相交于两点. (1)求双曲线的方程； (2)若直线的斜率为2，求线段的长； 【详解】（1）双曲线的渐近线方程为， 双曲线与双曲线有相同的渐近线，所以， 又因为双曲线C与椭圆有相同的焦点，所以，所以， 又因为，所以， 所以双曲线C的方程为. （2），直线l过且斜率为2，设直线l的方程为， 设，联立与消去得， 由根与系数关系可得， 所以. 13．（25-26高二上·海南儋州·月考）已知双曲线的离心率为，且过点. (1)求双曲线的标准方程； (2)设点是双曲线上两点，且，其中为双曲线的右焦点，记直线的斜率为.证明：是定值. 【详解】（1）由题意可得，解得， 故双曲线的标准方程为； （2）由双曲线的标准方程为，故， 设、，则、， 由，则有，化简得， 由点是双曲线上两点，则、， 将代入，有， 整理得，又可得， 则，解得，则， 则，则， 当时，， 此时直线的斜率为； 当时，， 此时直线的斜率为， 故为定值或. 14．（25-26高二上·贵州贵阳·月考）已知双曲线的实轴长为2，焦距为. (1)求双曲线的标准方程； (2)过点且倾斜角为的直线与双曲线的右支交于两点，为坐标原点，求的面积. 【详解】（1）解：因为双曲线的实轴长为，焦距为 可得，解得， 所以双曲线的标准方程为. （2）解：由直线过点且倾斜角为，可得直线的方程为 联立方程组，整理得， 设，则且， 由弦长公式，可得， 又由原点到直线的距离为， 所以的面积为. 15．（25-26高二上·广东惠州·期中）已知双曲线C的方程为 实轴长和离心率均为2． (1)求双曲线C的标准方程； (2)过且倾斜角为45°的直线l与双曲线C交于A，B两点， 求的值． 【详解】（1）由离心率，又，则， 又实轴长，所以，所以， 故双曲线的标准方程为； （2）∵直线的倾斜角为，故其斜率为1，又过点， ∴的方程为，设， 由，消去，得， ∴， ∴． 16．（25-26高二上·江苏南通·期中）已知双曲线C的渐近线方程为，点是双曲线C上一点． (1)求双曲线C的方程； (2)过点的直线l交双曲线C于点M，N，直线MA，NA分别交直线于点P，Q，请问：是否存在常数，使得，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 【详解】（1）设双曲线方程为：， 因为点在双曲线上，所以，所以， 所以双曲线的方程为． （2）如图所示， 设，，直线MN的方程为， 与双曲线方程联立可得， 即，， 则，， 直线MA的方程为， 令可得，， 同理可得， ， 所以存在满足． 17．（25-26高二上·安徽安庆·月考）在平面直角坐标系中，已知双曲线的离心率为，焦距． (1)求的方程； (2)双曲线左、右顶点分别为，，直线与的左、右两支分别交于点，，记直线，的斜率分别为，且． （i）求证：直线过定点； （ii），直线与交于点，判断并证明直线与的位置关系． 【详解】（1）设双曲线的焦距为2c，则，且，解得， 所以，所以的方程为. （2）（i）设直线的方程为， 联立与，消去，得， 所以， 由，得， 整理得， 所以， 整理得，所以或， 当时，直线的方程为，过点，不符，故舍去； 当时，直线l的方程为，过点， 所以直线l过定点； （ⅱ）直线AQ与直线BC的位置关系是平行，理由如下： 因为，所以直线OP方程为：， 又直线BD方程为：，联立与， 解得，即， 因为，所以直线AQ的斜率为，由， 得直线BC的斜率，所以． 18．（25-26高二上·湖北武汉·月考）已知双曲线的离心率和焦距分别为和，设点､､的坐标分别为，，. (1)求双曲线的方程； (2)已知是双曲线的左支上异于点的一个动点，直线交的右支于点，是坐标原点. （i）记和的面积分别为，，且，求直线的方程； （ii）设直线与直线的交点为，求点的轨迹方程. 【详解】（1）由题意：，解得， 所以双曲线的方程为：. （2） （i）因为与A不重合，所以直线的斜率不为0，故可设直线的方程为， 联立得， 设， 因为点在双曲线的左支上，所以，解得， 又，则， 即有，则，解得， 满足，所以，于是直线的方程为. （ii）由（i），则，故. ，则，所以直线的方程为， 同理，所以直线的方程为：， 故点的横坐标满足：， 显然，由题意得：， 则， 则，故点轨迹方程为. 1 学科网（北京）股份有限公司 $