第15讲 抛物线及其标准方程（知识清单+11题型讲解练+好题必刷）（讲义）-2025-2026学年高二数学考试满分全攻略同步备考系列（人教A版选择性必修第一册）

第15讲 抛物线及其标准方程 知识清单 知识点01：抛物线的定义 1 知识点02：抛物线的标准方程 2 题型归纳 题型01 抛物线定义的理解 3 题型02 根据定义或抛物线上的点求标准方程 5 题型03 根据焦点或准线写出抛物线的标准方程 7 题型04 根据抛物线方程求焦点或准线 9 题型05 根据抛物线的方程求参数 11 题型06 抛物线的焦半径公式 13 题型07 利用抛物线定义求动点轨迹 16 题型08 求抛物线的轨迹方程 17 题型09 求实际问题中的抛物线方程 21 题型10抛物线上的点到定点的距离及最值 25 题型11 抛物线上的点到定点和焦点距离的和、差最值 28 强化训练 33 知识点01：抛物线的定义 平面内与一个定点F和一条定直线l（F不在l上）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。 定点F叫做抛物线的焦点。 定直线l叫做抛物线的准线。 定义的核心：抛物线上任意一点到焦点的距离 = 该点到准线的距离（简称 “统一定义”） 知识点02：抛物线的标准方程 以过焦点F且垂直于准线l的直线为x轴（或y轴），垂足为坐标原点，抛物线上一点(x0，y0). 可得到四种标准方程形式，具体如下表： 图形 标准方程 焦点坐标 准线方程 焦半径 y2＝2px(p>0) x＝－ x0+ y2＝－2px(p>0) x＝ -x0 x2＝2py(p>0) y＝－ y0+ x2＝－2py(p>0) y＝ -y0 注意点： (1)p的几何意义是焦点到准线的距离． (2)标准方程的结构特征：顶点在坐标原点、焦点在坐标轴上． (3)抛物线的开口方向：抛物线的开口方向取决于标准方程中一次项系数的正负． 抛物线定义的理解 题型一：抛物线定义的理解 【例1-1】（24-25高二上·江西九江·期末）已知抛物线上一点到其焦点的距离为3，则（    ） A． B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】根据抛物线的定义，可知，解得. 故选：B． 【例1-2】（24-25高二上·陕西汉中·期末）抛物线的焦点F到准线l的距离是 . 【答案】1 【详解】抛物线方程为， 所以其焦点F到准线l的距离是1. 故答案为：1 【变式1】（24-25高二上·福建福州·期末）已知为抛物线的焦点，点在上，且，则点到轴的距离为（    ） A．2 B．3 C． D．4 【答案】D 【详解】抛物线的准线为，设点，则，解得， 所以点到轴的距离为4. 故选：D 【变式2】（24-25高二上·湖南常德·期末）已知抛物线：（）上一点到其焦点的距离与到轴的距离之差为2，则 . 【答案】4 【详解】由抛物线的定义得： 抛物线上的点到其焦点的距离等于点到准线的距离， 则，. 故答案为：4 【变式3】（25-26高二上·全国·单元测试）已知抛物线C：的焦点为F，准线为l，过坐标原点作直线交于点（异于点），过作的垂线，垂足为，若，则直线的方程为 ． 【答案】 【详解】连接，因为， 所以是以为顶角的等腰三角形．设点，因为， 所以，所以．则，所以直线的方程为． 故答案为： 题型二：根据定义或抛物线上的点求标准方程 【例2-1】（24-25高二上·辽宁·期末）已知抛物线的顶点为原点，对称轴是轴，与直线相交所得线段的长为12，则的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意，设抛物线， 因为抛物线与直线相交所得线段的长为12， 所以点在上，所以， 解得，所以的标准方程为． 故选：B 【例2-2】（22-23高二上·重庆沙坪坝·期末）已知抛物线，若抛物线上纵坐标为2的点到焦点的距离为3，则（    ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】C 【详解】根据题意作图如下： 因为抛物线上纵坐标为2的点到焦点的距离为3， 又抛物线上一点到焦点的距离等于其到准线的距离， 所以，解得. 故选：C 【变式1】（22-23高二上·山东菏泽·期中）如图，过抛物线的焦点F的直线l交抛物线于点A，B，交其准线于点C，准线与对称轴交于点M，若，且，则p为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】如图，分别过点、作准线的垂线，垂足分别为点、， 设，则由已知得，由抛物线的定义得， 故， 在直角三角形中，，， 又因为， 则，从而得， 又因为， 所以. 故选：B. 【变式2】（23-24高二上·广西·期末）若点在抛物线上，则该抛物线的方程为 . 【答案】 【详解】由在上，代入可得，即抛物线的方程为. 故答案为：. 题型三：根据焦点或准线写出抛物线的标准方程 【例3-1】（24-25高二上·北京平谷·期末）以为焦点的抛物线标准方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意，抛物线方程形如，因，解得， 故以为焦点的抛物线标准方程是. 故选：D. 【例3-2】（24-25高二上·天津河西·期末）准线方程为的抛物线的标准方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意可知抛物线开口向下，故设抛物线方程为. 因为抛物线的准线方程为，所以，即，所以该抛物线的标准方程为． 故选：D. 【变式1】（24-25高二上·辽宁沈阳·阶段练习）顶点在原点，焦点是的抛物线的标准方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意知抛物线开口向上，，故抛物线的标准方程是：． 故选：B 【变式2】（25-26高二上·全国·单元测试）已知抛物线C关于y轴对称，顶点在坐标原点，且焦点在直线上，则抛物线C的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】直线与y轴的交点为， 所以抛物线C的焦点为，故，解得， 所以抛物线C的标准方程为． 故选：D． 【变式3】（24-25高二上·天津滨海新·阶段练习）已知抛物线的准线是圆与圆的公共弦所在的直线， 则抛物线的标准方程为 【答案】 【详解】两圆的公共弦方程为， 所以，所以抛物线的标准方程为，即. 故答案为：. 题型四：根据抛物线方程求焦点或准线 【例4】（25-26高二上·天津·期中）抛物线的焦点坐标是 ；准线方程 【答案】 【详解】由抛物线，可得，则抛物线的焦点在轴上，且，即， 所以抛物线焦点坐标为，准线方程为, 故答案为：；. 【变式1】（25-26高二上·全国·单元测试）已知曲线过抛物线的焦点，则C的准线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意可知曲线过x轴上的定点，即为C的焦点，故C的准线方程为． 故选：C 【变式2】（22-23高二上·广东肇庆·期中）抛物线的焦点到准线的距离是（    ） A．4 B．2 C． D． 【答案】A 【详解】由可得，即，故焦点到准线的距离为4. 故选：A. 【变式3】（25-26高二上·全国·单元测试）在平面直角坐标系xOy中，为抛物线的焦点，点在上，若轴，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】抛物线，焦点， 当轴时，，则，解得， 即或，如下图， 不妨取，则， 所以． 故选：D 题型五：根据抛物线的方程求参数 【例5】（25-26高二上·全国·单元测试）抛物线上一点到其焦点的距离为6，则的值为（    ） A． B． C．-8 D．-4 【答案】A 【详解】因为，所以，其准线方程为， 根据抛物线定义，得，解得． 故选：A 【变式1】（22-23高二上·江苏泰州·期中）抛物线的焦点到准线的距离是（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【详解】因为抛物线方程为，故焦准距， 即焦点到准线的距离是， 故选：A. 【变式2】（24-25高二上·江苏连云港·期中）已知抛物线上一点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】点坐标代入抛物线的方程得，解得. 故选：A 【变式3】（24-25高二下·广东深圳·期末）在平面直角坐标系中，点为抛物线的焦点，点在上，若，则的横坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 因为，且，可知为锐角， 则， 设，则， 则，整理可得，解得或（舍去）， 所以的横坐标为. 故选：C. 题型六：抛物线的焦半径公式 【例6-1】（24-25高二上·四川宜宾·期末）抛物线上与焦点距离等于6的点的横坐标是（   ） A．4 B．6 C． D． 【答案】A 【详解】设抛物线上与焦点的距离等于6的点为，即， 由抛物线，可得焦点，准线方程为， 根据抛物线的定义，可得，即，解得， 所以抛物线上与焦点距离等于6的点的横坐标是. 故选：A. 【例6-2】（24-25高二上·湖北武汉·期末）已知抛物线的焦点为，，是上两点，若，则 . 【答案】 【详解】由抛物线，，是上两点， 得，结合，得， 又，则， 故， 故答案为： 【变式1】（24-25高二下·四川泸州·期中）抛物线的焦点为，为抛物线上一点，若，则点的横坐标为（   ） A．2 B． C．1 D． 【答案】A 【知识点】抛物线的焦半径公式 【分析】设点的横坐标为，根据抛物线定义即可求解. 【详解】抛物线的焦点，设点的横坐标为， 由得, 故选：A. 【变式2】（24-25高二上·安徽合肥·期末）已知抛物线的焦点为，点在上，，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】抛物线的焦半径公式 【分析】设，利用求出，再由抛物线焦半径公式可得答案. 【详解】由题意可得，设， ， 因为， 所以，整理 得，又，所以， 解得，（负值舍去）， 所以 故选：A. 【变式3】（25-26高二上·全国·单元测试）设为抛物线：的焦点，点为上一点，过作轴的垂线，垂足为，若，则 ． 【答案】 【知识点】抛物线的焦半径公式 【分析】根据抛物线的标准方程求得焦点的坐标，进而求得，再根据解得，． 法一：根据解得结果； 法二：计算得到，，在中，由余弦定理计算得到结果． 【详解】因为抛物线，所以，所以抛物线的焦点的坐标为． 设，如图，由抛物线的定义可知，又， 所以，解得，故．    方法一：设为原点，则． 方法二：，所以， 在中，由余弦定理得． 故答案为：. 题型七：利用抛物线定义求动点轨迹 【例7】（24-25高二上·安徽滁州·期中）在平面直角坐标系中，动点到直线的距离比它到定点的距离小2，则点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意知动点到直线的距离与它到定点的距离相等， 由抛物线的定义知，点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线， 所以，点的轨迹方程为. 故选：B. 【变式1】（23-24高二上·北京延庆·期末）到定点的距离比到轴的距离大的动点且动点不在轴的负半轴的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为动点到定点的距离比到轴的距离大， 所以动点到定点的距离等于到的距离， 所以动点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线， 所以动点的轨迹方程是. 故选：B. 【变式2】（24-25高二上·福建福州·阶段练习）已知动点到点的距离比它到直线的距离大1，则动点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意可知，动点P到点的距离等于它到直线的距离， 由抛物线的定义可知，点P在以为焦点，为准线的抛物线上，其轨迹方程为， 故选：D 【变式3】（23-24高三上·西藏林芝·期末）若动点到点的距离和动点到直线的距离相等，则点的轨迹方程是 ． 【答案】 【详解】由抛物线定义知，点的轨迹是以为焦点，直线为准线的抛物线， 所以点的轨迹方程为：. 故答案为：. 题型八:求抛物线的轨迹方程 【例8-1】（24-25高二上·安徽蚌埠·期末）已知圆心在轴上移动的圆经过，且与轴，轴分别交于两个动点，过分别作轴，轴的垂线，两条垂线的交点记为，则点的轨迹为（    ） A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 【答案】D 【详解】设圆心坐标为，则圆的方程为， 令，得或，则， 令，得，则， 所以， 所以， 所以点的轨迹为抛物线， 故选：D 【例8-2】（24-25高二上·山东烟台·期末）在平面直角坐标系中，到轴的距离与到点的距离相等的点的轨迹方程为 ． 【答案】 【详解】设动点坐标为，依题意，，两边平方整理得， 所以所求轨迹方程为. 故答案为： 【变式1】（24-25高二上·江苏苏州·期末）如图，已知点，轴于点C，M是线段OB上任意一点，轴于点D，于点E．OE与MD相交于点P，则P的轨迹方程为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设， 因为直线的方程为，且点在直线上，所以， 因为直线的方程为，且点在直线上，所以， 因为轴，所以，则，故D正确. 故选：D． 【变式2】（23-24高二上·云南曲靖·期末）已知两个定点是坐标系原点，轴于点是线段上任意一点，轴于点于点与相交于点，则点与点之间的距离的最大值和最小值的和等于 . 【答案】3 【详解】设点，由轴于点，令，又于点，则， 直线，而点在线段上，则，且，于是， 显然，，则，即， ，当时，，当时，， 所以点与点之间的距离的最大值和最小值的和等于3. 故答案为：3    【变式3】（22-23高二上·四川成都·期中）已知平面内一动点到点的距离比到轴的距离大1． (1)求动点的轨迹的方程； (2)过点的直线交曲线C于A、B，且有 ，求直线的斜率． 【详解】（1）因为平面内一动点到点的距离比到轴的距离大1， 所以有 ； （2）当直线AB的斜率不存在时，把代入中， 得，因为 ，所以不成立，不符合题意； 当直线AB的斜率存在时，设，与抛物线方程联立： ，化简整理，得：， 有，且， ,，而， 解得：，而， 即：， 化简整理，得：. 题型九：求实际问题中的抛物线方程 【例9-1】（23-24高二上·新疆阿克苏·阶段练习）鱼腹式吊车梁中间截面大，逐步向梁的两端减小，形状像鱼腹，如图，鱼腹式吊车梁的鱼腹部分是抛物线的一部分，其宽为，高为，根据图中的坐标系，则该抛物线的焦点到准线距离为（    ） A． B．5 C．10 D．20 【答案】C 【详解】依题意，设该抛物线的方程为，显然点在此抛物线上， 因此，解得， 所以该抛物线的焦点到准线距离为10. 故选：C 【例9-2】（24-25高二上·陕西渭南·阶段练习）如图，探照灯反射镜由抛物线的一部分绕对称轴旋转而成，光源位于抛物线的焦点处，这样可以保证发出的光线经过反射之后平行射出．已知当灯口圆的直径为80cm时，灯的深度为50cm．为了使反射的光更亮，增大反射镜的面积，将灯口圆的直径增大到88cm，并且保持光源与顶点的距离不变，此时探照灯的深度为 cm． 【答案】60.5 【详解】在反射镜的轴截面上建立平面直角坐标系，以抛物线的顶点为原点，以旋转轴为轴（抛物线开口方向是轴的正方向），如下图所示： 则可设抛物线的方程为， 由题可得灯口圆与轴截面在第一象限的交点， 代入抛物线方程得，解得，所以抛物线的方程为， 当灯口圆的直径增大到时，灯口圆与轴截面在第一象限的交点坐标为， 将代入抛物线方程求得，此时探照灯的深度为. 故答案为： 【变式1】（22-23高二上·河北邯郸·期末）北京永定河七号桥是丰沙铁路下行线珠窝站和沿河城站间跨越永定河的铁路桥，为中国最大跨度的钢筋混凝土铁路拱桥，全长217.98米，矢高40米，主跨150米，则该拱桥对应的抛物线的焦点到其准线的距离约为（    ） A．70.3米 B．70.5米 C．70.7米 D．70.9米 【答案】A 【详解】以拱桥对应的抛物线的顶点为坐标原点，抛物线的对称轴为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系（横坐标与纵坐标的单位均为米）， 依题意可得， 设该抛物线的方程为， 将A的坐标代入，得, 所以该拱桥对应的抛物线的焦点到其准线的距离约为70.3米. 故选：A 【变式2】（24-25高二上·浙江丽水·期末）如图是一座抛物线型拱桥，当水面在l时，拱顶离水面，水面宽．当水位下降，水面宽为时，拱顶到水面的距离是 ． 【答案】 【详解】如图，建立平面直角坐标系，设抛物线方程为， 当水面未下降时，水面与拱桥的交点， 将代入抛物线方程， 得，所以． 当水面下降后与拱桥的交点为，设，代入， 得，解得， 所以拱桥到水面的距离为． 故答案为：． 【变式3】（23-24高二上·广东茂名·期末）已知某条河上有抛物线型拱桥，当水面距拱顶5米时，水面宽8米，一条木船宽4米，木船露出水面上的部分高为0.75米. (1)建立适当的坐标系，求拱桥所在抛物线的方程； (2)当水面上涨0.5米时，木船能否通行？ (3)当水面上涨多少米时，木船开始不能通行？ 【详解】（1）以拱顶为原点，拱桥的对称轴为轴建立直角坐标系.如图所示    设抛物线的方程为，则 点在抛物线上，代入方程得， 所以抛物线的方程为. （2）当水面上涨0.5米时，木船与拱顶的距离为3.75米， 设，代入方程得，故，则 ， 所以木船能通行； （3）假设当水面上涨米时，木船开始不能通行，此时木船与拱桥接触，且与拱顶的距离为， 把代入方程，得， 故，由，得. 所以当水面上涨3米时，木船开始不能通行. 题型十：抛物线上的点到定点的距离及最值 【例10-1】（22-23高二上·陕西咸阳·阶段练习）已知抛物线的焦点为F，点P为抛物线上任意一点，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【详解】抛物线的焦点为，准线为， 设点P的坐标为，， 根据抛物线的定义有，故的最小值为． 故选：B 【例10-2】（24-25高二上·广东惠州·期末）过抛物线的焦点作直线，交抛物线于点，若点的横坐标为3，则等于 ． 【答案】4 【详解】根据抛物线的定义得. 故答案为：4. 【变式1】（22-23高二上·贵州·期中）设抛物线：的焦点为，点在上，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意可知，， 所以. 因为抛物线的通径长， 所以轴， 所以 故选：D. 【变式2】（24-25高二上·内蒙古赤峰·期末）已知抛物线的焦点为，点为抛物线上的任意点，过点作抛物线准线的垂线，垂足为，若是等边三角形，则（    ） A．5 B．4 C．2 D．1 【答案】B 【详解】由是等边三角形，如下图知， 则，故. 故选：B 【变式3】（24-25高二上·陕西渭南·期中）已知，P为抛物线上任一点，则的最小值为（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】依题意，是抛物线上的点，设， 则， 对于函数，当时，， 所以的最小值是， 即的最小值为. 故选：C 题型十一：抛物线上的点到定点和焦点距离的和、差最值 【例11-1】（24-25高二上·辽宁·期末）已知抛物线的焦点为，P为抛物线上一点，若，则的最小值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】因为抛物线的焦点为，则，得， 所以抛物线的方程为，令，则， 设过P作抛物线准线的垂线于点B，可得，则. 故点在抛物线内部，过点A作抛物线准线的垂线交抛物线于点P，此时取得最小值，最小值为. 故选：C. 【例11-2】（24-25高二上·江苏南通·期中）在平面直角坐标系中，已知直线与交于点，点是抛物线上一动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】直线，即，可知直线过定点； 直线，即，可知直线过定点； 且，则， 可知点在以为直径的圆上（不含），此时圆心为，半径. 因为抛物线的焦点为，准线为， 且点是抛物线上一动点，则，即， 可得， 当且仅当点在线段上时，等号成立， 又因为，当且仅当点在线段上时，等号成立， 即， 所以的最小值为. 故选：A. 【例11-3】（24-25高二上·江苏·期中）已知抛物线的焦点为，定点为上一动点，则周长的最小值为 . 【答案】 【详解】抛物线的焦点为， ， 根据抛物线的定义可知，的最小值是到抛物线准线的距离， 即的最小值是， 所以周长的最小值为. 故答案为： 【变式1】（24-25高二上·江苏常州·期中）已知抛物线的焦点为，定点为抛物线上一动点，则的最小值为（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】A 【详解】抛物线的焦点为，准线方程是， 过点作准线的垂线，垂足为，过点作准线的垂线，垂足为， ∵点在抛物线上，∴根据抛物线的定义得， ∴，当且仅当共线时取等号， ∴的最小值为8． 故选：A． 【变式2】（24-25高二上·湖南·期中）已知为抛物线上的任意一点，为其焦点，为圆上的一点，则的最小值为 、 【答案】 【详解】由题意得，取点，设圆的圆心为， 则，所以，又因为， 所以，则， . ，即求得最小值， 设，则， 令. 当时，，即的最小值为. 故答案为：.    【变式3】已知点 是坐标平面内一定点， 若抛物线的焦点为， 点是抛物线上的一动点， 则的最小值是 . 【答案】 【详解】 抛物线的准线方程为， 过点作垂直准线于点， 显然，当平行于轴时， 取得最小值，此时， 此时 故答案为:. 一、单选题 1．（24-25高二上·四川凉山·期末）已知抛物线的焦点为，若抛物线上一点到直线的距离为5，则（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】根据抛物线的定义，结合焦半径公式即可求解. 【详解】由于抛物线的准线方程为，抛物线上点到直线的距离为5， 故点到直线的距离为4，故， 故选：B 2．（24-25高二上·福建南平·期末）已知抛物线：的焦点为，若上的点与焦点的距离为，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】由条件结合抛物线定义列方程求可得结论. 【详解】抛物线的准线方程为， 点到直线的距离为， 因为点与焦点的距离为， 所以， 所以. 故选：B. 3．（24-25高二上·青海海南·期末）图中展示的是一座抛物线形拱桥，当水面在时，拱顶离水面2m，水面宽6m，水面上涨1m后，水面宽度为（    ） A． B． C． D．8m 【答案】B 【分析】建立平面直角坐标系，设抛物线的方程为，将代入抛物线方程解出，再将代入即可求解. 【详解】建立如图所示的平面直角坐标系，则点, 设抛物线的方程为，由点可得，解得，所以, 当时，，所以水面宽度为． 故选：B 4．（25-26高二上·全国·单元测试）已知为坐标原点，为抛物线的焦点，点在上，且，则（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】C 【分析】由抛物线定义及得，进而将点代入抛物线方程即可得. 【详解】由抛物线的定义，知，又，， 所以，即， 由点在上，得， 结合，解得. 故选：C 5．（25-26高二上·全国·单元测试）已知直线和直线，抛物线上一动点到直线、直线的距离之和的最小值是（    ） A．2 B．3 C． D．4 【答案】B 【分析】求出焦点，准线，设动点到直线的距离分别为，求出点到直线的距离为，由抛物线定义得到，进而得到． 【详解】由题意可得，抛物线的焦点，准线． 设动点到直线的距离分别为，点到直线的距离为． 由，可得， 当且仅当点在点到直线的垂线上且在与之间，即时（如图），等号成立， 故动点到直线、直线的距离之和的最小值是3.    故选：B 6．（25-26高二上·全国·单元测试）设为抛物线：的焦点，点在上，且在第一象限，若直线AF的倾斜角为，则（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【分析】解法一：根据抛物线定义以及角度关系，构造方程即可解得；解法二：利用结论，直接代入角度计算即可得出结果. 【详解】解法一：如图所示，过点作AB垂直准线于点，过焦点作FD垂直AB于点． 由题意可知． 根据抛物线的定义知． 在中，， 又，所以， 解得． 解法二：由结论（为直线AF的倾斜角）得．    故选：C. 二、多选题 7．（24-25高二上·广西桂林·期末）抛物线的焦点为，点在上，若.则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】根据抛物线的定义求得的横坐标，进而求得的坐标. 【详解】依题意，抛物线的焦点为， 准线方程为， 由于，根据抛物线的定义可知， 则， 所以的坐标为、. 故选：AB 8．（24-25高二上·湖南·期末）已知为曲线上一动点，则下列说法正确的是（   ） A．的最小值为 B．到直线的距离的最小值为1 C．的最小值为 D．存在一个定点和一条定直线，使得到定点的距离等于到定直线的距离 【答案】ACD 【分析】由得，可知其图象为抛物线的上半部分，故D正确，由抛物线的焦半径公式可判断A正确，选项C可转化为到焦点与的距离和，进而可知其最小值为到准线的距离，选项B由点到直线的距离公式，结合的取值范围可得. 【详解】选项A：由得，其图象为抛物线的上半部分，焦点为， 为点到焦点的距离，故，故A正确； 选项B：到直线的距离为， 又，故，故，故B错误； 选项C：即为到焦点与的距离和，    由抛物线的定义可知，其最小值为到准线的距离，即为，故C正确； 选项D：由抛物线的定义可判断到与直线的距离相等，故D正确， 故选：ACD. 9．（24-25高二上·江苏无锡·期末）下列关于抛物线的图象的几何特征描述正确的是（   ） A．顶点坐标是 B．对称轴方程为 C．焦点坐标为 D．准线方程为 【答案】AC 【分析】利用函数图像的平移变换，将抛物线的方程转化为标准形式，再根据抛物线的几何性质求解即可. 【详解】由题意可得抛物线的图象可由的图象向左平移个单位，再向上平移个单位得到， 因为抛物线即的顶点坐标为，对称轴方程为，焦点坐标为，准线方程为， 所以抛物线的顶点坐标为，对称轴方程为，焦点坐标为，准线方程为， 所以AC说法正确，BD说法错误； 故选：AC 三、填空题 10．（24-25高二上·上海·期末）一种卫星接收天线（如下图左所示）曲面与轴截面的交线为抛物线，在轴截面内的卫星波束呈近似平行状态射入形为抛物线的接收天线，经反射聚焦到焦点处（如下图右所示）.已知接收天线的口径（直径）为4米，深度为0.5米，则该抛物线的焦点到顶点的距离为 米. 【答案】2 【分析】由题意建系，设抛物线的方程为，由抛物线经过的点求出的值，则易得焦点到顶点的距离. 【详解】 如图建系，设抛物线的方程为，由题意抛物线过点， 代入解得，故拋物线的焦点到顶点的距离为米. 故答案为：2. 11．（24-25高二上·山东枣庄·期末）已知点在抛物线上，则点到抛物线的焦点的距离为 ． 【答案】3 【分析】只需把点代入方程，就可解得，即可知焦点坐标，再利用两点间距离公式就可以算出答案. 【详解】由题意得：，解得， 所以抛物线，即焦点坐标是， 即. 故答案为：3. 12．（24-25高二上·贵州六盘水·期末）已知抛物线的焦点为F，点在抛物线上，若，则 . 【答案】或 【分析】由抛物线定义结合题意可得答案. 【详解】因点在抛物线上，则，又抛物线准线为， ，由抛物线定义可得或. 则或 故答案为：或 13．（24-25高二上·广东深圳·期末）已知抛物线焦点为，抛物线上的点到坐标原点的距离等于该点到准线的距离，则 【答案】 【分析】首先求出焦点坐标，依题意点到坐标原点的距离等于该点到焦点的距离，从而得到，即可得解. 【详解】抛物线焦点为， 点到坐标原点的距离等于该点到准线的距离， 点到坐标原点的距离等于该点到焦点的距离， ，解得； 故答案为： 14．（25-26高三上·安徽·开学考试）已知抛物线过点，其焦点为F，则直线的方程为 ． 【答案】 【分析】根据给定条件，求出抛物线方程，进而求出直线的方程. 【详解】由抛物线过点，得，抛物线,即的焦点， 所以直线的方程为，即. 故答案为： 15．（24-25高二上·浙江杭州·期末）为坐标原点，为抛物线的焦点，为上位于第一象限的点，若，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】根据抛物线定义可求得点的横坐标，代入抛物线方程可得结果. 【详解】由题意得，抛物线的焦点为，准线方程为， 设，根据抛物线的定义得，∴. ∵为上位于第一象限的点，∴， ∴. 故答案为：. 四、解答题 16．（24-25高二上·河南南阳·期中）已知抛物线，焦点为. (1)求的坐标及抛物线的准线方程； (2)已知点是抛物线上的一个动点，定点，则当点在抛物线C上移动时，求的最小值. 【答案】(1)，准线方程为. (2)3 【分析】（1）根据抛物线方程求得焦点坐标以及准线方程. （2）根据抛物线的定义求得正确答案. 【详解】（1）将抛物线：化为标准方程得，， 其焦点坐标为，准线方程为. （2）由抛物线的定义知，点P到焦点的距离即为点P到准线的距离， 为点P到定点的距离与点P到准线的距离之和， 要使得最小， 则点P，A在一条垂直于准线的直线上， 故最小值即为点到准线的距离为3， 所以，的最小值为3. 17．（24-25高二上·河北沧州·期中）已知，点与点的横坐标相等，点在直线上，且. (1)求点的轨迹方程； (2)若，求的最小值. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）设，利用向量数量积的坐标运算列出方程，化简即得. （2）由（1）的信息，利用两点间距离公式列式求出最小值. 【详解】（1）设，则，而， 则， 由，得，整理得， 所以点的轨迹方程是. （2）点，由（1）知， 所以当时，取得最小值. 18．（24-25高二上·全国·课后作业）求满足下列条件的抛物线的标准方程． (1)过点； (2)焦点在直线上； (3)焦点到准线的距离是4． 【答案】(1)或． (2)或． (3)或或或． 【分析】（1）分过点的抛物线开口向左或开口向上两种情况设抛物线的标准方程求解即可； （2）由直线与坐标轴的交点为焦点，再由抛物线的性质求解即可； （3）由抛物线的性质求解即可； 【详解】（1）由于点在第二象限，所以过点的抛物线开口向左或开口向上． 若抛物线开口向左，焦点在轴上，设其标准方程为． 将点的坐标代入，可得，所以， 所以抛物线的标准方程为； 若抛物线开口向上，焦点在轴上，设其标准方程为． 将点的坐标代入，可得，所以，所以抛物线的标准方程为． 综上所述，所求抛物线的标准方程为或． （2）因为直线与轴的交点为，所以抛物线的焦点为，所以，解得， 所以抛物线的标准方程为． 因为直线与轴的交点为，所以抛物线的焦点为，所以，解得， 所以抛物线的标准方程为． 综上所述，所求抛物线的标准方程为或． （3）焦点到准线的距离，焦点可在轴或轴上，故有四种情况，所求抛物线的标准方程为或或或． 19．（24-25高二上·上海·期中）如图，点是东西和南北走向两条相互垂直的道路和的交点，假设一段铁路从点出发，延曲线方向向东北无限延伸，铁路上任意点到点正东0.5公里处的一车站与其到道路的距离之差均为0.5公里（道路与铁路的宽度均忽略不计）.    (1)试建立合适的直角坐标系，求铁路所在曲线的方程； (2)若在道路上位于点正东公里处有一仓库（为常数，），为铁路上任意一点，其到点的距离为，求的最小值，并求此时点到道路的距离（单位：公里）. 【答案】(1)； (2)答案见解析. 【分析】（1）根据抛物线定义及实际情况写出曲线方程即可； （2）令，，应用两点距离公式并化简得且，讨论、求对应距离最小值及点到道路的距离. 【详解】（1）如图，以为原点，为轴正方向建坐标系，则，    由题意，，即到直线的距离， 根据抛物线的定义知，曲线的方程为. （2）由题意，令，，则 ，且， 当，即，时，，此时点到道路的距离为公里； 当，即，时，，此时点到道路的距离为公里； 20．（25-26高二上·全国·单元测试）如图，地在地东偏北45°方向相距处，且与东西方向的高铁线（近似看成直线）相距4km．已知曲线形公路上任意一点到地的距离等于到的距离，现要在公路旁建造一个变电房（变电房与公路之间的距离忽略不计）． (1)试建立适当的平面直角坐标系，求公路所在曲线的方程． (2)问：变电房应建在相对地的什么位置（方位和距离），才能使得从到两地架设电路所用电线长度最短？并求出最短长度． 【答案】(1)建系见解析， (2)位于地正南方且与地相距处，所用电线最短长度为6km 【分析】（1）取经过点且垂直于的直线为轴，垂足为，并使原点与线段的中点重合，建立平面直角坐标系，方法一，根据抛物线的定义可得答案；方法二，设公路所在曲线上任意一点，利用化简可得答案； （2）过作，垂足为，，当三点共线时，最小，求出最小值可得答案. 【详解】（1）如图，取经过点且垂直于的直线为轴，垂足为，并使原点与线段的中点重合， 建立平面直角坐标系，则，． 方法一    因为公路上任意一点到地的距离等于到直线的距离， 所以所在的曲线是以为焦点，以为准线的抛物线． 设抛物线方程为， 则，所以公路所在曲线的方程为； 方法二    设公路所在曲线上任意一点，则， 故，化简得， 所以公路所在曲线的方程为； （2）要使架设电线长度最短，即最小．过作，垂足为， 如图，所以， 当三点共线时，最小，即取得最小值， 此时，位于地正南方且与地相距处， 所用电线最短长度为km． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第15讲 抛物线及其标准方程 知识清单 知识点01：抛物线的定义 1 知识点02：抛物线的标准方程 2 题型归纳 题型01 抛物线定义的理解 3 题型02 根据定义或抛物线上的点求标准方程 3 题型03 根据焦点或准线写出抛物线的标准方程 4 题型04 根据抛物线方程求焦点或准线 5 题型05 根据抛物线的方程求参数 5 题型06 抛物线的焦半径公式 6 题型07 利用抛物线定义求动点轨迹 6 题型08 求抛物线的轨迹方程 7 题型09 求实际问题中的抛物线方程 8 题型10抛物线上的点到定点的距离及最值 10 题型11 抛物线上的点到定点和焦点距离的和、差最值 10 强化训练 11 知识点01：抛物线的定义 平面内与一个定点F和一条定直线l（F不在l上）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。 定点F叫做抛物线的焦点。 定直线l叫做抛物线的准线。 定义的核心：抛物线上任意一点到焦点的距离 = 该点到准线的距离（简称 “统一定义”） 知识点02：抛物线的标准方程 以过焦点F且垂直于准线l的直线为x轴（或y轴），垂足为坐标原点，抛物线上一点(x0，y0). 可得到四种标准方程形式，具体如下表： 图形 标准方程 焦点坐标 准线方程 焦半径 y2＝2px(p>0) x＝－ x0+ y2＝－2px(p>0) x＝ -x0 x2＝2py(p>0) y＝－ y0+ x2＝－2py(p>0) y＝ -y0 注意点： (1)p的几何意义是焦点到准线的距离． (2)标准方程的结构特征：顶点在坐标原点、焦点在坐标轴上． (3)抛物线的开口方向：抛物线的开口方向取决于标准方程中一次项系数的正负． 抛物线定义的理解 题型一：抛物线定义的理解 【例1-1】（24-25高二上·江西九江·期末）已知抛物线上一点到其焦点的距离为3，则（    ） A． B．2 C．3 D．4 【例1-2】（24-25高二上·陕西汉中·期末）抛物线的焦点F到准线l的距离是 . 【变式1】（24-25高二上·福建福州·期末）已知为抛物线的焦点，点在上，且，则点到轴的距离为（    ） A．2 B．3 C． D．4 【变式2】（24-25高二上·湖南常德·期末）已知抛物线：（）上一点到其焦点的距离与到轴的距离之差为2，则 . 【变式3】（25-26高二上·全国·单元测试）已知抛物线C：的焦点为F，准线为l，过坐标原点作直线交于点（异于点），过作的垂线，垂足为，若，则直线的方程为 ． 题型二：根据定义或抛物线上的点求标准方程 【例2-1】（24-25高二上·辽宁·期末）已知抛物线的顶点为原点，对称轴是轴，与直线相交所得线段的长为12，则的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【例2-2】（22-23高二上·重庆沙坪坝·期末）已知抛物线，若抛物线上纵坐标为2的点到焦点的距离为3，则（    ） A． B．1 C．2 D．3 【变式1】（22-23高二上·山东菏泽·期中）如图，过抛物线的焦点F的直线l交抛物线于点A，B，交其准线于点C，准线与对称轴交于点M，若，且，则p为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2】（23-24高二上·广西·期末）若点在抛物线上，则该抛物线的方程为 . 题型三：根据焦点或准线写出抛物线的标准方程 【例3-1】（24-25高二上·北京平谷·期末）以为焦点的抛物线标准方程是（    ） A． B． C． D． 【例3-2】（24-25高二上·天津河西·期末）准线方程为的抛物线的标准方程是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25高二上·辽宁沈阳·阶段练习）顶点在原点，焦点是的抛物线的标准方程是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26高二上·全国·单元测试）已知抛物线C关于y轴对称，顶点在坐标原点，且焦点在直线上，则抛物线C的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【变式3】（24-25高二上·天津滨海新·阶段练习）已知抛物线的准线是圆与圆的公共弦所在的直线， 则抛物线的标准方程为 题型四：根据抛物线方程求焦点或准线 【例4】（25-26高二上·天津·期中）抛物线的焦点坐标是 ；准线方程 【变式1】（25-26高二上·全国·单元测试）已知曲线过抛物线的焦点，则C的准线方程为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（22-23高二上·广东肇庆·期中）抛物线的焦点到准线的距离是（    ） A．4 B．2 C． D． 【变式3】（25-26高二上·全国·单元测试）在平面直角坐标系xOy中，为抛物线的焦点，点在上，若轴，则（    ） A． B． C． D． 题型五：根据抛物线的方程求参数 【例5】（25-26高二上·全国·单元测试）抛物线上一点到其焦点的距离为6，则的值为（    ） A． B． C．-8 D．-4 【变式1】（22-23高二上·江苏泰州·期中）抛物线的焦点到准线的距离是（    ） A． B． C．1 D．2 【变式2】（24-25高二上·江苏连云港·期中）已知抛物线上一点，则（   ） A． B． C． D． 【变式3】（24-25高二下·广东深圳·期末）在平面直角坐标系中，点为抛物线的焦点，点在上，若，则的横坐标为（    ） A． B． C． D． 题型六：抛物线的焦半径公式 【例6-1】（24-25高二上·四川宜宾·期末）抛物线上与焦点距离等于6的点的横坐标是（   ） A．4 B．6 C． D． 【例6-2】（24-25高二上·湖北武汉·期末）已知抛物线的焦点为，，是上两点，若，则 . 【变式1】（24-25高二下·四川泸州·期中）抛物线的焦点为，为抛物线上一点，若，则点的横坐标为（   ） A．2 B． C．1 D． 【变式2】（24-25高二上·安徽合肥·期末）已知抛物线的焦点为，点在上，，且，则（    ） A． B． C． D． 【变式3】（25-26高二上·全国·单元测试）设为抛物线：的焦点，点为上一点，过作轴的垂线，垂足为，若，则 ． 题型七：利用抛物线定义求动点轨迹 【例7】（24-25高二上·安徽滁州·期中）在平面直角坐标系中，动点到直线的距离比它到定点的距离小2，则点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（23-24高二上·北京延庆·期末）到定点的距离比到轴的距离大的动点且动点不在轴的负半轴的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高二上·福建福州·阶段练习）已知动点到点的距离比它到直线的距离大1，则动点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【变式3】（23-24高三上·西藏林芝·期末）若动点到点的距离和动点到直线的距离相等，则点的轨迹方程是 ． 题型八:求抛物线的轨迹方程 【例8-1】（24-25高二上·安徽蚌埠·期末）已知圆心在轴上移动的圆经过，且与轴，轴分别交于两个动点，过分别作轴，轴的垂线，两条垂线的交点记为，则点的轨迹为（    ） A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 【例8-2】（24-25高二上·山东烟台·期末）在平面直角坐标系中，到轴的距离与到点的距离相等的点的轨迹方程为 ． 【变式1】（24-25高二上·江苏苏州·期末）如图，已知点，轴于点C，M是线段OB上任意一点，轴于点D，于点E．OE与MD相交于点P，则P的轨迹方程为（    ）． A． B． C． D． 【变式2】（23-24高二上·云南曲靖·期末）已知两个定点是坐标系原点，轴于点是线段上任意一点，轴于点于点与相交于点，则点与点之间的距离的最大值和最小值的和等于 . 【变式3】（22-23高二上·四川成都·期中）已知平面内一动点到点的距离比到轴的距离大1． (1)求动点的轨迹的方程； (2)过点的直线交曲线C于A、B，且有 ，求直线的斜率． 题型九：求实际问题中的抛物线方程 【例9-1】（23-24高二上·新疆阿克苏·阶段练习）鱼腹式吊车梁中间截面大，逐步向梁的两端减小，形状像鱼腹，如图，鱼腹式吊车梁的鱼腹部分是抛物线的一部分，其宽为，高为，根据图中的坐标系，则该抛物线的焦点到准线距离为（    ） A． B．5 C．10 D．20 【例9-2】（24-25高二上·陕西渭南·阶段练习）如图，探照灯反射镜由抛物线的一部分绕对称轴旋转而成，光源位于抛物线的焦点处，这样可以保证发出的光线经过反射之后平行射出．已知当灯口圆的直径为80cm时，灯的深度为50cm．为了使反射的光更亮，增大反射镜的面积，将灯口圆的直径增大到88cm，并且保持光源与顶点的距离不变，此时探照灯的深度为 cm． 【变式1】（22-23高二上·河北邯郸·期末）北京永定河七号桥是丰沙铁路下行线珠窝站和沿河城站间跨越永定河的铁路桥，为中国最大跨度的钢筋混凝土铁路拱桥，全长217.98米，矢高40米，主跨150米，则该拱桥对应的抛物线的焦点到其准线的距离约为（    ） A．70.3米 B．70.5米 C．70.7米 D．70.9米 【变式2】（24-25高二上·浙江丽水·期末）如图是一座抛物线型拱桥，当水面在l时，拱顶离水面，水面宽．当水位下降，水面宽为时，拱顶到水面的距离是 ． 【变式3】（23-24高二上·广东茂名·期末）已知某条河上有抛物线型拱桥，当水面距拱顶5米时，水面宽8米，一条木船宽4米，木船露出水面上的部分高为0.75米. (1)建立适当的坐标系，求拱桥所在抛物线的方程； (2)当水面上涨0.5米时，木船能否通行？ (3)当水面上涨多少米时，木船开始不能通行？ 题型十：抛物线上的点到定点的距离及最值 【例10-1】（22-23高二上·陕西咸阳·阶段练习）已知抛物线的焦点为F，点P为抛物线上任意一点，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D． 【例10-2】（24-25高二上·广东惠州·期末）过抛物线的焦点作直线，交抛物线于点，若点的横坐标为3，则等于 ． 【变式1】（22-23高二上·贵州·期中）设抛物线：的焦点为，点在上，，若，则（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高二上·内蒙古赤峰·期末）已知抛物线的焦点为，点为抛物线上的任意点，过点作抛物线准线的垂线，垂足为，若是等边三角形，则（    ） A．5 B．4 C．2 D．1 【变式3】（24-25高二上·陕西渭南·期中）已知，P为抛物线上任一点，则的最小值为（       ） A． B． C． D． 题型十一：抛物线上的点到定点和焦点距离的和、差最值 【例11-1】（24-25高二上·辽宁·期末）已知抛物线的焦点为，P为抛物线上一点，若，则的最小值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【例11-2】（24-25高二上·江苏南通·期中）在平面直角坐标系中，已知直线与交于点，点是抛物线上一动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【例11-3】（24-25高二上·江苏·期中）已知抛物线的焦点为，定点为上一动点，则周长的最小值为 . 【变式1】（24-25高二上·江苏常州·期中）已知抛物线的焦点为，定点为抛物线上一动点，则的最小值为（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 【变式2】（24-25高二上·湖南·期中）已知为抛物线上的任意一点，为其焦点，为圆上的一点，则的最小值为 、 【变式3】已知点 是坐标平面内一定点， 若抛物线的焦点为， 点是抛物线上的一动点， 则的最小值是 . 一、单选题 1．（24-25高二上·四川凉山·期末）已知抛物线的焦点为，若抛物线上一点到直线的距离为5，则（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．（24-25高二上·福建南平·期末）已知抛物线：的焦点为，若上的点与焦点的距离为，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（24-25高二上·青海海南·期末）图中展示的是一座抛物线形拱桥，当水面在时，拱顶离水面2m，水面宽6m，水面上涨1m后，水面宽度为（    ） A． B． C． D．8m 4．（25-26高二上·全国·单元测试）已知为坐标原点，为抛物线的焦点，点在上，且，则（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 5．（25-26高二上·全国·单元测试）已知直线和直线，抛物线上一动点到直线、直线的距离之和的最小值是（    ） A．2 B．3 C． D．4 6．（25-26高二上·全国·单元测试）设为抛物线：的焦点，点在上，且在第一象限，若直线AF的倾斜角为，则（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 二、多选题 7．（24-25高二上·广西桂林·期末）抛物线的焦点为，点在上，若.则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高二上·湖南·期末）已知为曲线上一动点，则下列说法正确的是（   ） A．的最小值为 B．到直线的距离的最小值为1 C．的最小值为 D．存在一个定点和一条定直线，使得到定点的距离等于到定直线的距离 9．（24-25高二上·江苏无锡·期末）下列关于抛物线的图象的几何特征描述正确的是（   ） A．顶点坐标是 B．对称轴方程为 C．焦点坐标为 D．准线方程为 三、填空题 10．（24-25高二上·上海·期末）一种卫星接收天线（如下图左所示）曲面与轴截面的交线为抛物线，在轴截面内的卫星波束呈近似平行状态射入形为抛物线的接收天线，经反射聚焦到焦点处（如下图右所示）.已知接收天线的口径（直径）为4米，深度为0.5米，则该抛物线的焦点到顶点的距离为 米. 11．（24-25高二上·山东枣庄·期末）已知点在抛物线上，则点到抛物线的焦点的距离为 ． 12．（24-25高二上·贵州六盘水·期末）已知抛物线的焦点为F，点在抛物线上，若，则 . 13．（24-25高二上·广东深圳·期末）已知抛物线焦点为，抛物线上的点到坐标原点的距离等于该点到准线的距离，则 14．（25-26高三上·安徽·开学考试）已知抛物线过点，其焦点为F，则直线的方程为 ． 15．（24-25高二上·浙江杭州·期末）为坐标原点，为抛物线的焦点，为上位于第一象限的点，若，则点的坐标为 ． 四、解答题 16．（24-25高二上·河南南阳·期中）已知抛物线，焦点为. (1)求的坐标及抛物线的准线方程； (2)已知点是抛物线上的一个动点，定点，则当点在抛物线C上移动时，求的最小值. 17．（24-25高二上·河北沧州·期中）已知，点与点的横坐标相等，点在直线上，且. (1)求点的轨迹方程； (2)若，求的最小值. 18．（24-25高二上·全国·课后作业）求满足下列条件的抛物线的标准方程． (1)过点； (2)焦点在直线上； (3)焦点到准线的距离是4． 19．（24-25高二上·上海·期中）如图，点是东西和南北走向两条相互垂直的道路和的交点，假设一段铁路从点出发，延曲线方向向东北无限延伸，铁路上任意点到点正东0.5公里处的一车站与其到道路的距离之差均为0.5公里（道路与铁路的宽度均忽略不计）.    (1)试建立合适的直角坐标系，求铁路所在曲线的方程； (2)若在道路上位于点正东公里处有一仓库（为常数，），为铁路上任意一点，其到点的距离为，求的最小值，并求此时点到道路的距离（单位：公里）. 20．（25-26高二上·全国·单元测试）如图，地在地东偏北45°方向相距处，且与东西方向的高铁线（近似看成直线）相距4km．已知曲线形公路上任意一点到地的距离等于到的距离，现要在公路旁建造一个变电房（变电房与公路之间的距离忽略不计）． (1)试建立适当的平面直角坐标系，求公路所在曲线的方程． (2)问：变电房应建在相对地的什么位置（方位和距离），才能使得从到两地架设电路所用电线长度最短？并求出最短长度． 1 学科网（北京）股份有限公司 $