2025-2026学年苏科版数学九年级上册期末巩固复习练习模拟卷（扬州专用）

2025-2026学年苏科版九年级上学期数学期末仿真模 拟卷（扬州专用）》 参考答案及评分细则 一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分。每小题给出的四个选项中只有一个选 项符合题意) 题 2 号 6 7 8 答 A B D A 案 二、 填空题（本题共10小题，每题3分，共30分） 9.5 10.2026 11.20 12.(55-5 13.55 14.1:6 15.6s 16.9或25 17.-1≤t<15 三、解答题（本题共10小题，19-22每题8分，23-26题每题10分，27-28每题12分，共 96分.计算题要写出完整步骤！) 19.【详解】(1)解：原式 2 4x +V2x1 2 -3-2W5+2 4 (2)解：△=(-4)2-4×2×1=8>0 x=4±22 4 1② 本=1+② (8分) 2 2 20.【详解】(1)解：：关于x的方程x2-2(k-1x+k2=0有两个不相等实数根， A=[-2(k-10]-4k2=-8k+4>0, :k<2 1 (2)将x=-2代入原方程，得4+4(k-1)+k2=0, 解得：k=0,k3=4, 设方程的另一个根为x, 当k=0时，原方程为x2+2x=0, -2x=0, 解得：x=0, 当k=-4时，原方程为x2+10x+16=0, -2x=16, 解得：x=-8. ·方程其中一个根为-2时，另一个根为0或-8.(8分) 21.【详解】(1)解，△AB,C即为所求： BB） 3 -5-4-3-2-112345 2 (2)解：如图，△4，B,C即为所求； 23 5 B(B) 4 -5-4-3-2 451 B2 (3)解：：△AB,C与ABC的位似比为2：1， ABC与△AB,C的相似比为1：2， ABC与△ABC的周长比为1：2 故答案为：1：2， (8分) 22.【详解】(1)解：10÷10%=100（名）： 故答案为：100； (2)解：100-(10+20+40+5=25（名）； 人数/名 40 4 35 2 25 20 1 10 5 5 0 A B C D E类别 20 (3)解：1000× =200(名)： 100 故选择“踢毽子"的学生有200人； (4)解：列表如下： 甲 乙 丙 丁 甲 一一 甲乙 甲丙 甲丁 乙 乙甲 一一 乙丙 乙T 丙 丙甲 丙乙 丙丁 丁甲 丁乙 丁丙 共有12种等可能结果，其中选中甲乙的结果有两种， 21 P选取甲Z)=126 故被选取的两人恰好是甲和乙的概率为 6 (8分) 23.【详解】(1)证明：：AE·AB=AD·AC, “ED AC AB' 又：∠A=LA, △ADE∽△ABC; (2)解：：点E为AB中点，AB=20, 4E=48=0, AD:AE=6:5, .AD=12, 根据解析(1)可知：E=D AC AB 1012 4C20 解得：AC= 3 .CD=AC-AD=50 12=14 3 (10分) 24.【详解】解：(1)设正方形EFHG的边长为xmm, EF KD xmm,AK AD-KD =(80-x)mm :四边形EFHG是正方形， .EF∥GH,即EF∥BC, △AEFABC, EF AK 即x=80-x BC AD 12080 解得：x=48, :加工成的正方形零件的边长是48mm; (2)设EG=amm, :四边形EGHF是矩形， EF∥GH,即EF∥BC,KD=EG=amm, △AEFn△ABC,AK=AD-KD=(80-amm, Bc1D,即580-a EF AK 12080 ∴.EF=120- , 2 :矩形EGHP面积5=a120-3a-3a2+120a=-3a-40y+240. 2 2 当a=40时，此时s最大，最大值为2400， :当EG=40mm时，此时矩形EGHF面积最大，最大面积是2400mm2. (10分) 25.【详解】(1)证明：连接0C,如图， B :AD为⊙0的直径， ∠ACD=90°， .∠AC0+L0CD=90°， :0A=0C, .∠A=∠AC0, .∠A+∠0CD=90°， :∠BCD=LBAC, .∠BCD+∠0CD=90°， .∠0CB=90°， 且0C是半径， 则BC是OO的切线； (2)解：：∠ACD=90°， :tan∠ADC-4C-2, CD :∠BCD=∠BAC,∠B=∠B, .△BCD∽△BAC, BC BD CD 1 AB BC AC2 AB=85, :BC=45, :BD=BC=25, 则AD=AB-BD=8√5-2V5=6V5, 0-号0=35. 故⊙0的半径3√5. (10分) 26.【详解】(1)当45≤x≤90时，y=(160-2x)(70-20)=-100x+8000; (2)当1≤x<45时， y=(160-2x)(x+30-20)=-2x2+140x+1600=-2(x-35)2+4050, 二次项系数为-2<0， :二次函数开口向下，二次函数对称轴为x=35, 当x=35时，y最大=4050， 当45≤x≤90时，y=-100x+8000,y随x的增大而减小， 当x=45时，y最大=3500， 综上所述，该商品第35天时，当天销售利润最大，最大利润是4050元： (3)解：：在销售的前45天内 .1≤x<45 根据题意得，y=(160-2x)(x+30-20-a=-2x2+(140+2ax+1600-160a, 函数的对称轴x=-140+20=35+a, -4 2 当x=35+0时，y大=3872， -235++140+2aj35+}160-160u=3872. 解得a=2或178， :1≤x<45 1≤35+20<45 .-68≤a<20 a>0 .0<a<20 .=178舍去， a=2. (10分) 27.【详解】(1)解：：抛物线y=x2+bx+c经过B、C两点， :将点B(3,0)、点C(0,3)代入y=x2+bx+c,得 c=3 b=4 9+3b+c=0' 解得 c=3 :抛物线的解析式为y=x2-4x+3, ∴.y=x2-4x+3=(x-2)2-1, 则顶点P的坐标为(2，-1)： (2)解：设直线BC的解析式为y=x+b, 将点B(3,0)、点C0,3代入y=x+b',得 b'=3 [k=-1 3k+b=0’ 解得6=3 “直线BC的解析式为y=-x+3, 过点E作y轴的平行线交直线BC于点F,如图所示： F B 设点E(x,x2-4x+3),则点F(x,-x+3, EF=-x+3-x2-4x+3=-x2+3x, .5.cw-2EF-(s-x)+iEF-(*-x) =LEF-(xa-xc) 2 -3-0r+刘 =-3r+9x 2 2 抛物线开口向下，对称轴为x=) 当x时，6E8C的面积有最大值，为智，此时，[-引】 (3)解：存在， 如图所示： e M 由(1)(2)知，C(0,3,P(2,-1, 设M(2,y,N(x,0), ()以CN为对角线时， 0+x=2+2 x=4 则 解得 3+0=-1+y (y=4' .M(2,4),N4,0: (i)以CP为对角线时， 0+2=2+x x=0 3+(-1)=y+0'解得 则 y=2' .M,2,2,N2(0,0; (i)以CM为对角线时， 则0+2=2+x (3+y=-1+0’解得 x=0 y=-4 .M,2,-4,N,(0,0); 综上所述，当点M的坐标为(2,4)或(2,2)或(2，-4)时，存在以C、P、M、N为顶点的四边 形是平行四边形， (12分) 28.【详解】(1)解：①：四边形ABCD是正方形， AB=DA,∠ABE=90°=LDAQ,ABIICD, ,∠QAO+∠OAD=90°， 9 :AE⊥DQ, .∠AD0+∠0AD=90°， .∠QAO=∠ADO, ∠ABE=∠DAQ 在△ABE和△DAQ中， AB=DA ∠BAE=∠ADQ .△ABE≌△DAQ(ASA, :AE=DO, 故答案为：=； ②：DQ⊥AE,FG⊥AE, .D9‖FG, FQ∥DG, :四边形DQFG是平行四边形， :FG=DO, AE=DO, .FG=AE, .GF =1. AE 故答案为：1： (2)解： -2,理由如下 FG AE 3 如图2中，过点G作GM⊥AB于M, D M F 子 E 图2 根据折叠的性质可得：AE⊥GF, .∠AOF=∠GMF=∠ABE=90°， 6 2025-2026学年苏科版九年级上学期数学期末仿真模拟卷（扬州专用） （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写清楚 2．回答填空题时，请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应横线上。 3.回答解答题时，每题必须给出必要的演算过程或推理步骤，用2B铅笔作图画出必要的线条与图形（包括辅助线），请将解答过程书写在试卷中中对应的位置上 4．测试范围：苏科版九年级1-8章全部内容 5．难度系数：0.65。 第一卷 一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分。每小题给出的四个选项中只有一个选项符合题意） 1．若关于x的方程是一元二次方程，则a的取值范围是（    ） A．取任意实数 B． C． D． 2．下列命题正确的是（    ） A．平分弦的直径平分弦所对的弧 B．垂直平分弦的直线必定经过圆心 C．相等的圆心角所对的弧一定相等 D．相等的弦所对的圆周角一定相等 3．如图所示，每个小正方形的边长均为1，则下列A、B、C、D四个图中的三角形阴影部分与相似的是（    ） A． B． C． D． 4．一个纸盒里装有除颜色外其他都一样的红球和绿球各1个，随机从中摸出一球，记下颜色后放回盒中，充分摇匀后，再随机摸出一球，两次都摸到绿球的概率是（    ） A． B． C． D． 5．如图，点，，在上，点在劣弧上，连接，，，作射线，已知，则的度数是（    ） A．58° B．116° C．64° D．60° 6．如图，l1∥l2∥l3，两条直线与这三条平行线分别交于点A、B、C和D、E、F，若，则的值为（　　） A． B． C． D． 7．如图，将放在边长均为的正方形网格中，点，，均在格点上，则的值是（   ） A． B． C． D． 8．我们定义一种新函数：形如（，）的函数叫做“鹊桥”函数．某数学兴趣小组画出了“鹊桥”函数：的图象（如图所示），并写出了下列结论：①图象与坐标轴的交点为，，； ②当时，函数取得最大值； ③当或时，函数值随值的增大而增大； ④若在函数图象上，则也在函数图象上； ⑤当直线与函数的图象有2个交点时，则的取值范围是或者．其中正确的结论有（    ） A．①②③ B．①③④ C．①③⑤ D．②③④ 第二卷 二、填空题（本题共10小题，每题3分，共30分） 9．若一组数据5，1，，6，2的众数是6，则这组数据的中位数是 ． 10．若是方程的一个根，则的值为 ． 11．一个不透明袋子中，装有40个红球和一些白球，这些球除颜色外无其他差别．若从袋中随机摸出一个球是红球的概率为，则袋中白球的个数是 ． 12．大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，P为的黄金分割点，如果的长度为，那么的长度为 ． 13．一个圆锥的侧面展开图是半径为10的半圆，则该圆锥的高是 ． 14．如图，点G是的重心，连接并延长交于点D，连接，则 ． 15．“科教兴国，强国有我”．某中学在科技实验活动中，设计制作了“水火箭”升空实验，已知“箭”的升空高度（m）与飞行时间（s）满足的关系为．当“水火箭”的升空高度为时，此时的飞行时间为 ． 16．如图，在中，，，点P从A出发，以的速度向B运动，同时点Q从C出发，以的速度向A运动，当其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，当以，，为顶点的三角形与相似时，则运动时间为 ． 17．二次函数的对称轴为直线，若关于x的一元二次方程（t为实数）在的范围内有解，则t的取值范围是 ． 18．如图，是的直径，C为上一点，且为圆上一动点，M为的中点，连接．则的最大值 ． 三、解答题（本题共10小题，19-22每题8分，23-26题每题10分，27-28每题12分，共96分.计算题要写出完整步骤！） 19．（1）计算： （2）解方程： 20．已知关于的方程有两个不相等实数根 (1)求的取值范围； (2)若方程其中一个根为，求方程的另一个根． 21．如图，在平面直角坐标系中， (1)画出一个以点为位似中心的图形，使与的位似比为2∶1； (2)在第三象限内，以原点为位似中心，画出，使与的位似比为1∶1； (3)与的周长比为_____． 22．我市义务教育学校全面施行优化课间时长，课间时长从10分钟延长为15分钟，上午、下午各安排一次30分钟的大课间体育活动．某学校编制《课间15分快乐菜单》可供班级选择：A．踢足球，B．踢毽子，C．跳绳，D．丢沙包，E．跳皮筋，学校就学生参加这五项课间活动的意向对学生进行了抽样调查（每名学生只能从中选择一种最喜欢的），并将调查结果绘制了如下两幅不完整的统计图． 请结合图中所给信息，解答下列问题： (1)本次参与抽样调查的学生共有______人； (2)补全条形统计图； (3)该校共有1000名学生，请估计选择“踢毽子”的学生有多少人？ (4)在最喜欢“跳绳”的学生中，有甲、乙、丙、丁四位同学表现优秀，现从这四位同学中随机选出两名同学参加上级的跳绳比赛，请用列表或画树状图法求被选取的两人恰好是甲和乙的概率． 23．如图，在中，点D，E分别在边上且，连接，． (1)求证：． (2)若点E为中点，，若，求的长． 24．综合与实践． 一块材料的形状是锐角三角形，边，高． 【特例初探】 （1）若把它加工成正方形零件如图（a），使正方形的一边在上，其余两个顶点分别在和上．这个正方形零件的边长是多少？ 【迁移运用】 （2）若把它加工成矩形零件，如图（b），当宽为多少时，矩形有最大面积，最大面积是多少？ 25．如图，中D为边上一点，连接，，以为直径的恰好经过点C． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径r． 26．某商店销售进价为20元/件的某种商品，在第天的售价与销量的相关信息如下表：设销售商品的每天利润为y元． 时间x（天） 售价（元/件） 70 每天销量（件） (1)求当时，y与x的函数关系式； (2)问该商品第几天时，当天销售利润最大，最大利润是多少？ (3)现该商店决定每销售1件该商品就捐赠a元给贫困地区，在销售的前45天内该商店当日最大利润为3872元，求a的值． 27．如图（1），直线与轴、轴分别交于点、点，经过两点的抛物线与轴的另一个交点为，顶点为． (1)求该抛物线的解析式与点的坐标； (2)当时，在抛物线上求一点E，使的面积有最大值； (3)连接，点在轴上，点在对称轴上，是否存在点，使以为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 28．问题探究：如图1，在正方形中，点E，Q分别在边，上，于点O，点G，F分别在边、上，． (1)①判断与的数量关系：_____； ②推断：_____（填数值）； (2)类比探究：如图2，在矩形中，．将矩形沿折叠，使点A落在边上的点E处，得到四边形，交于点H，连接交于点O．试探究与之间的数量关系，并说明理由； (3)拓展应用1：如图3，四边形中，，，，，点M，N分别在边、上，求的值． (4)拓展应用2：如图2，在（2）的条件下，连接，若，，求的长 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年苏科版九年级上学期数学期末仿真模拟卷（扬州专用） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写清楚 2．回答填空题时，请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应横线上。 3.回答解答题时，每题必须给出必要的演算过程或推理步骤，用2B铅笔作图画出必要的线条与图形（包括辅助线），请将解答过程书写在试卷中中对应的位置上 4．测试范围：苏科版九年级1-8章全部内容 5．难度系数：0.65。 第一卷 一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分。每小题给出的四个选项中只有一个选项符合题意） 1．若关于x的方程是一元二次方程，则a的取值范围是（    ） A．取任意实数 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，含有一个未知数，并且未知数的次数为2的整式方程为一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的定义． 根据一元二次方程的定义可得，，由于，可得，恒不为零，即可求解． 【详解】解：由题意可得，二次项系数， 又∵， ∴，恒成立， ∴取任意实数， 故选A． 2．下列命题正确的是（    ） A．平分弦的直径平分弦所对的弧 B．垂直平分弦的直线必定经过圆心 C．相等的圆心角所对的弧一定相等 D．相等的弦所对的圆周角一定相等 【答案】B 【分析】本题考查圆的基本性质，包括垂径定理、圆心角与弧的关系、圆周角定理，掌握相关定理是解题的关键． 根据有关性质逐一判断即可得到答案 【详解】解：对于A：平分弦的直径不一定平分弦所对的弧，例如当弦为直径时，平分它的直径不一定垂直于此弦，此时不平分弧，故A错误． 对于B：垂径定理的逆定理表明，垂直平分弦的直线必经过圆心，故B正确． 对于C：相等的圆心角所对的弧相等必须在同圆或等圆中才成立，否则不一定成立，故C错误． 对于D：在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角相等或互补，故D错误． 故选：B． 3．如图所示，每个小正方形的边长均为1，则下列A、B、C、D四个图中的三角形阴影部分与相似的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的判定和勾股定理．识别两三角形相似，除了要掌握定义外，还要注意正确找出两三角形的对应边、对应角，可利用数形结合思想根据图形提供的数据计算对应边的比． 根据勾股定理，易得出的三边的边长，故只需分别求出各选项中三角形的边长，分析两三角形对应边是否成比例，即可根据相似三角形的判定得到结论． 【详解】解：小正方形的边长为1， 在中，，，， A选项中，一边，一边，一边，三边与中的三边不能对应成比例，故两三角形不相似，不符合题意； B选项中，一边，一边，一边， 有，即三边与中的三边对应成比例，故两三角形相似，符合题意； C选项中，一边，一边，一边，三边与中的三边不能对应成比例，故两三角形不相似，不符合题意； D选项中，一边，一边，一边，三边与中的三边不能对应成比例，故两三角形不相似，不符合题意． 故选：B． 4．一个纸盒里装有除颜色外其他都一样的红球和绿球各1个，随机从中摸出一球，记下颜色后放回盒中，充分摇匀后，再随机摸出一球，两次都摸到绿球的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了树状图法或列表法求解概率，先画树状图得到所有等可能性的结果数，再找到两次都摸到绿球的结果数，最后根据概率计算公式求解即可． 【详解】解：画树状图如下所示： 由树状图可知，一共有四种等可能性的结果数，其中两次都摸到绿球的结果数有1种， ∴两次都摸到绿球的概率为， 故选：D． 5．如图，点，，在上，点在劣弧上，连接，，，作射线，已知，则的度数是（    ） A．58° B．116° C．64° D．60° 【答案】A 【分析】本题考查了圆周角定理，作出所对的圆周角，先求出，再根据，得出，即可得出答案，熟练掌握圆周角定理是解此题的关键． 【详解】解：如图作出所对的圆周角， ∵， ∴ ∵， ∴． 故选：A． 6．如图，l1∥l2∥l3，两条直线与这三条平行线分别交于点A、B、C和D、E、F，若，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直接利用平行线分线段成比例定理进而得出，再将已知数据代入求出即可． 【详解】解：， ， ， ； 故选：C． 7．如图，将放在边长均为的正方形网格中，点，，均在格点上，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的知识点是勾股定理、锐角三角函数的定义，解题关键是熟练掌握锐角三角函数的定义． 取格点，求出后，在中，根据正弦定义即可求解． 【详解】解：如图，取格点， 由网格可知，， 在中，． 故选：． 8．我们定义一种新函数：形如（，）的函数叫做“鹊桥”函数．某数学兴趣小组画出了“鹊桥”函数：的图象（如图所示），并写出了下列结论：①图象与坐标轴的交点为，，； ②当时，函数取得最大值； ③当或时，函数值随值的增大而增大； ④若在函数图象上，则也在函数图象上； ⑤当直线与函数的图象有2个交点时，则的取值范围是或者．其中正确的结论有（    ） A．①②③ B．①③④ C．①③⑤ D．②③④ 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，利用数形结合的思想是解题的关键． 对于①，求出函数与坐标轴的交点坐标即可判断；对于②和③，根据函数图象判断即可；对于④，根据函数的对称轴即可判断；对于⑤，由图可知，当直线与函数在之间的图象相切时，恰好有三个交点，当直线过点时，直线与函数图象恰好有三个交点，解得此时的值，再结合图象即可判断． 【详解】解：对于①，， 令，则， ． 令，即， 解得或， ，， ①正确，符合题意； 对于②，由图可知，函数无最大值，故②错误，不符合题意； 对于③， 函数的图象与轴的交点为，， 结合图象可知，函数图象的对称轴为直线， 当或时，函数值随值的增大而增大，故③正确，符合题意； 对于④：函数图象的对称轴为直线，而， 若在函数图象上，则不一定在函数图象上，故④错误，不符合题意； 对于⑤：如图，当直线过点时，直线与函数的图象恰好有三个交点， 把代入中得，，解得； 当直线过点时，直线与函数的图象恰好有一个交点， 把代入中得，，解得； 根据函数图象，当时，直线与函数的图象有2个交点． 当时，， ， 当直线与函数的图象只有一个交点时，直线与函数恰好有三个交点， 令， 整理得，， ， 解得， 结合图象可知，当时，直线与函数的图象有2个交点． 综上所述，当直线与函数的图象有2个交点时，的取值范围为或，故⑤正确，符合题意． 综上所述，正确的结论有①③⑤． 故选：C． 第二卷 二、填空题（本题共10小题，每题3分，共30分） 9．若一组数据5，1，，6，2的众数是6，则这组数据的中位数是 ． 【答案】5 【分析】本题考查了众数和中位数的知识，主要考查了众数、中位数的意义与求解方法． 根据众数的定义，众数是6，因此必须是6，从而得到数据组为5，1，6，6，2，排序后求中位数． 【详解】解：∵众数为6， ． ∴数据组为5，1，6，6，2， 排序后为1，2，5，6，6， ∴中位数为5． 故答案为：5． 10．若是方程的一个根，则的值为 ． 【答案】2026 【分析】本题考查一元二次方程的解，掌握好方程的解的意义是解题关键． 利用方程根的定义，将a代入方程得到的值，然后代入所求代数式计算即可． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴，变形得，， ∴． 故答案为：2026． 11．一个不透明袋子中，装有40个红球和一些白球，这些球除颜色外无其他差别．若从袋中随机摸出一个球是红球的概率为，则袋中白球的个数是 ． 【答案】20 【分析】本题考查了根据概率求数量． 先求出总数，再乘以白球概率即可． 【详解】解：从袋中随机摸出一个球是红球的概率为， 从袋中随机摸出一个球是白球的概率为， 总数为， 袋中白球的个数是． 故答案为：． 12．大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，P为的黄金分割点，如果的长度为，那么的长度为 ． 【答案】 【分析】本题考查了黄金分割，根据P为的黄金分割点，进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵P为的黄金分割点，且的长度为， ∴， 即， 故答案为：． 13．一个圆锥的侧面展开图是半径为10的半圆，则该圆锥的高是 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆锥的侧面展开图，勾股定理，根据圆锥的侧面展开图为半圆，母线长为半圆半径，半圆弧长等于底面周长，由此求出底面半径，再根据勾股定理计算高即可． 【详解】解：设圆锥的底面半径为，圆锥的高， ∵侧面展开图是半径为10的半圆， ∴母线，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 14．如图，点G是的重心，连接并延长交于点D，连接，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了重心的应用，与中线有关的面积，熟练掌握重心的性质是解题的关键．先根据点G是的重心，得，则，，故，即可作答． 【详解】解：∵点G是的重心， ∴， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：． 15．“科教兴国，强国有我”．某中学在科技实验活动中，设计制作了“水火箭”升空实验，已知“箭”的升空高度（m）与飞行时间（s）满足的关系为．当“水火箭”的升空高度为时，此时的飞行时间为 ． 【答案】6s 【分析】本题考查了二次函数的应用，令升空高度，代入关系式得到关于t的一元二次方程，解方程求，即可求解． 【详解】解：由题意，令，得 ， 整理得， 解得． 故答案为． 16．如图，在中，，，点P从A出发，以的速度向B运动，同时点Q从C出发，以的速度向A运动，当其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，当以，，为顶点的三角形与相似时，则运动时间为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查相似三角形的性质，掌握相似三角形对应边成比例是关键． 根据题意，设运动时间为，则，，结合图形，分类讨论：当时；当时；由此列式求解即可． 【详解】解：，点P从A出发，以的速度向B运动，同时点Q从C出发，以的速度向A运动， ∴点的时间为，点的时间为， 设运动时间为， ∴，则， 当时，， ∴， 解得，； 当时，， ∴， 解得，； 综上所述，当以，，为顶点的三角形与相似时，则运动时间为或， 故答案为：或． 17．二次函数的对称轴为直线，若关于x的一元二次方程（t为实数）在的范围内有解，则t的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点，明确二次函数的性质及二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键．先根据对称轴求出的值，从而二次函数的解析式可得，从而可得当和时的函数值，再根据的解为与直线在范围内的交点横坐标解答即可． 【详解】解：对称轴为直线， ， ， 二次函数的解析式为：， 其顶点坐标为， 当时，， 时，， 的解为与直线在范围内的交点横坐标， 当时，一元二次方程为实数）在的范围内有解． 故答案为：． 18．如图，是的直径，C为上一点，且为圆上一动点，M为的中点，连接．则的最大值 ． 【答案】/ 【分析】连接，由垂径定理的推论可得，推出当点P在上移动时，的中点M的轨迹是以为直径的，可得当与相切时最大， 最大．作于点H，连接，利用三角形等面积法及勾股定理求出和，最后根据正切函数的定义即可求解． 【详解】解：如图，连接． M为的中点， ， ， 当点P在上移动时，的中点M的轨迹是以为直径的， 如图，当与相切时最大， 最大．作于点H，连接， 设半径为1，则， ． 与相切， ， 在和中，， ， ， ， 垂直平分， ． ，即， ， ， ， ，即， ， ， ． 故答案为：． 三、解答题（本题共10小题，19-22每题8分，23-26题每题10分，27-28每题12分，共96分.计算题要写出完整步骤！） 19．（1）计算： （2）解方程： 【答案】（1）（2）， 【分析】本题考查特殊角的三角函数值和解一元二次方程，掌握特殊角的三角函数值和配方法、因式分解法解一元二次方程是解题的关键； （1）把特殊角的三角函数值代入进行计算，即可解答； （2）利用公式法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：原式      （2）解： ∴      ，． 20．已知关于的方程有两个不相等实数根 (1)求的取值范围； (2)若方程其中一个根为，求方程的另一个根． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围； （2）将代入原方程求出值，再利用两根之积等于，即可求出方程的另一个根． 【详解】（1）解：关于的方程有两个不相等实数根， ， ； （2）将代入原方程，得， 解得：，， 设方程的另一个根为， 当时，原方程为， ， 解得：， 当时，原方程为， ， 解得：． 方程其中一个根为时，另一个根为或． 21．如图，在平面直角坐标系中， (1)画出一个以点为位似中心的图形，使与的位似比为2∶1； (2)在第三象限内，以原点为位似中心，画出，使与的位似比为1∶1； (3)与的周长比为_____． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了位似图形的画法与位似图形的性质，解题的关键是掌握位似图形的作图方法及相似图形的周长比与位似比的关系． （1）以点为位似中心，按位似比确定的位置并画图； （2）以原点为位似中心，在第三象限按位似比确定的位置并画图； （3）利用位似图形的周长比等于位似比计算比值． 【详解】（1）解，即为所求； （2）解：如图，即为所求； （3）解：∵与的位似比为， ∴与的相似比为， ∴与的周长比为． 故答案为：． 22．我市义务教育学校全面施行优化课间时长，课间时长从10分钟延长为15分钟，上午、下午各安排一次30分钟的大课间体育活动．某学校编制《课间15分快乐菜单》可供班级选择：A．踢足球，B．踢毽子，C．跳绳，D．丢沙包，E．跳皮筋，学校就学生参加这五项课间活动的意向对学生进行了抽样调查（每名学生只能从中选择一种最喜欢的），并将调查结果绘制了如下两幅不完整的统计图． 请结合图中所给信息，解答下列问题： (1)本次参与抽样调查的学生共有______人； (2)补全条形统计图； (3)该校共有1000名学生，请估计选择“踢毽子”的学生有多少人？ (4)在最喜欢“跳绳”的学生中，有甲、乙、丙、丁四位同学表现优秀，现从这四位同学中随机选出两名同学参加上级的跳绳比赛，请用列表或画树状图法求被选取的两人恰好是甲和乙的概率． 【答案】(1)100名 (2)见解析 (3)200名 (4) 【分析】本题考查了统计图和概率，熟练掌握条形统计图和扇形统计图的互补性，补全条形统计图，样本估计总体，列表法或画树状图法求概率，是解题的关键． （1）用A项数据计算； （2）总人数减去A、B、C、E的人数得到D项有人数，补上条形图即可； （3）1000乘踢毽子人数的占比即得； （4）列表求出所有等可能情况总数和同时选中甲乙的情况总数，用概率公式计算即得． 【详解】（1）解：（名）； 故答案为：100； （2）解：（名）； （3）解：（名）； 故选择“踢毽子”的学生有200人； （4）解：列表如下： 甲 乙 丙 丁 甲 —— 甲乙 甲丙 甲丁 乙 乙甲 —— 乙丙 乙丁 丙 丙甲 丙乙 —— 丙丁 丁 丁甲 丁乙 丁丙 —— 共有12种等可能结果，其中选中甲乙的结果有两种， ∴． 故被选取的两人恰好是甲和乙的概率为． 23．如图，在中，点D，E分别在边上且，连接，． (1)求证：． (2)若点E为中点，，若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，三角形中线的性质，证明是解题的关键． （1）根据已知条件得到，再根据两边对应成比例且它们的夹角相等的两三角形相似进行证明即可； （2）先求出，再根据，求出，根据，求出，即可得出答案． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 又∵， ∴； （2）解：∵点E为中点，， ∴， ∵， ∴， 根据解析（1）可知：， ∴， 解得：， ∴． 24．综合与实践． 一块材料的形状是锐角三角形，边，高． 【特例初探】 （1）若把它加工成正方形零件如图（a），使正方形的一边在上，其余两个顶点分别在和上．这个正方形零件的边长是多少？ 【迁移运用】 （2）若把它加工成矩形零件，如图（b），当宽为多少时，矩形有最大面积，最大面积是多少？ 【答案】（1）；（2）当时，此时矩形面积最大，最大面积是 【分析】本题是相似形的应用，主要考查了正方形的性质，相似三角形的性质与判定，二次函数的性质，熟知相似三角形的性质与判定条件是解题的关键． （1）设正方形的边长为，根据正方形的性质和相似三角形的性质进行计算即可解答； （2）设，利用相似三角形的性质求出，根据矩形面积公式得到关于a的二次函数，根据二次函数求出矩形的最大值． 【详解】解：（1）设正方形的边长为， 则， ∵四边形是正方形， ，即， ， ，即， 解得：， 加工成的正方形零件的边长是； （2）设， 四边形是矩形， ，即，， ，， ，即， ， 矩形面积， 当时，此时最大，最大值为2400， ∴当时，此时矩形面积最大，最大面积是． 25．如图，中D为边上一点，连接，，以为直径的恰好经过点C． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径r． 【答案】(1)见详解； (2). 【分析】（1）连接，根据题意得，结合圆和等腰三角形的性质得，则，结合已知得，即可证明； （2）根据题意知和，则，解得和，求得，即可得半径． 【详解】（1）证明：连接，如图， ∵为的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 且是半径， 则是的切线； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 则， ∴， 故的半径． 26．某商店销售进价为20元/件的某种商品，在第天的售价与销量的相关信息如下表：设销售商品的每天利润为y元． 时间x（天） 售价（元/件） 70 每天销量（件） (1)求当时，y与x的函数关系式； (2)问该商品第几天时，当天销售利润最大，最大利润是多少？ (3)现该商店决定每销售1件该商品就捐赠a元给贫困地区，在销售的前45天内该商店当日最大利润为3872元，求a的值． 【答案】(1) (2)第35天时，最大利润为4050元 (3)2 【分析】本题考查了一次函数和二次函数的应用，利用函数的性质求最值，求出函数的解析式是关键． （1）根据单个利润乘以数量，可得利润，列出函数关系式可得答案； （2）分两种情况，分别得出最大值，比较可得答案； （3）根据题意表示出，然后根据二次函数的性质和最大利润为3872列方程求出或，然后根据排除不符合的答案即可． 【详解】（1）当时，； （2）当时， ， ∵二次项系数为， 二次函数开口向下，二次函数对称轴为， 当时，， 当时，，随的增大而减小， 当时，， 综上所述，该商品第天时，当天销售利润最大，最大利润是元； （3）解：∵在销售的前45天内 ∴ 根据题意得，， 函数的对称轴， 当时，， ∴， 解得或， ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴舍去， ． 27．如图（1），直线与轴、轴分别交于点、点，经过两点的抛物线与轴的另一个交点为，顶点为． (1)求该抛物线的解析式与点的坐标； (2)当时，在抛物线上求一点E，使的面积有最大值； (3)连接，点在轴上，点在对称轴上，是否存在点，使以为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，顶点的坐标为 (2) (3)存在，点的坐标为或或 【分析】（1）由待定系数法，将点、点代入得方程组求解即可得到抛物线的解析式，再将二次函数一般式化为顶点式即可得到点的坐标； （2）先由待定系数法求出直线的解析式为，过点作轴的平行线交直线于点，如图所示，设点，则点，表示出，由二次函数图象与性质分析即可得到答案； （3）根据题意，作出平行四边形，由平行四边形性质：对角线互相平分，借助中点坐标公式列方程组求解即可得到答案． 【详解】（1）解：抛物线经过两点， 将点、点代入，得 ，解得， ∴抛物线的解析式为， ， 则顶点的坐标为； （2）解：设直线的解析式为， 将点、点代入，得 ，解得， ∴直线的解析式为， 过点作轴的平行线交直线于点，如图所示： 设点，则点， ， ， 抛物线开口向下，对称轴为， ∴当时，的面积有最大值，为，此时，； （3）解：存在， 如图所示： 由（1）（2）知，，， 设， （i）以为对角线时， 则，解得， ； （ii）以为对角线时， 则，解得， ； （iii）以为对角线时， 则，解得， ； 综上所述，当点的坐标为或或时，存在以为顶点的四边形是平行四边形． 28．问题探究：如图1，在正方形中，点E，Q分别在边，上，于点O，点G，F分别在边、上，． (1)①判断与的数量关系：_____； ②推断：_____（填数值）； (2)类比探究：如图2，在矩形中，．将矩形沿折叠，使点A落在边上的点E处，得到四边形，交于点H，连接交于点O．试探究与之间的数量关系，并说明理由； (3)拓展应用1：如图3，四边形中，，，，，点M，N分别在边、上，求的值． (4)拓展应用2：如图2，在（2）的条件下，连接，若，，求的长． 【答案】(1)①；②1 (2)；理由见解析 (3) (4) 【分析】（1）①由正方形的性质得，，接着证明，于是，可得；②证明四边形是平行四边形即可解决问题； （2）过点作于．证明即可解决问题； （3）过点作，交的延长线于点，过点作，连接，证明，得出，证明，可得出，由勾股定理求出，则可得出答案； （4）过点作交的延长线于．设，那么，然后利用勾股定理求得，接着证明相似三角形的性质求出即可解决问题． 【详解】（1）解：①∵四边形是正方形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴， 故答案为：； ②∵，， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：1； （2）解：；理由如下： 如图2中，过点作于． 根据折叠的性质可得：， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴； （3）解：如图3，过点作，交的延长线于点，过点作，连接， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴，，， 在和中，， ∴， ∴， ∴，且， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴（不合题意，舍去），， ∴， ∴， ∵， ∴同（2）可得，， ∴； （4）如图4，过点作交的延长线于． ∵， ∴设， ∵， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， ∴或（不合题意，舍去）， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $