第09讲 垂径定理（知识详解+2典例分析+习题巩固）【满分全攻略备考系列】2025-2026学年北师大版数学九年级下册重难点讲义与测试

本初中数学讲义聚焦垂径定理这一核心知识点，系统梳理垂直于弦的直径平分弦及所对两条弧的定理内容，进而延伸至平分非直径弦的直径垂直于弦并平分弧的推论，构建从定理到推论的递进式学习支架。 资料通过典例分析融入圆形拱门、冰壶轨迹等实际情境，培养学生用数学眼光观察现实世界的几何直观，习题分层设计单选、填空、解答题，提升推理意识与运算能力，课中辅助教师教学，课后助力学生巩固知识、查漏补缺。

宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味 第09讲垂径定理（知识详解+2典例分析+习题巩固） 目标导航 知识详解 知识点01：垂径定理 知识点02：垂径定理的推论 典例分析 考点1：利用垂径定理进行相关计算 考点2：垂径定理在实际问题中的应用 (举三反三) 习题巩固 一、单选题(6) 二、填空题(6) 三、解答题(4) o识详解 【知识点01】垂径定理 1.垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧 2.示例：如图3-3-1，CD1AB于点E,CD是⊙0的直径，那么可用几何语言表述为 CD是直径 (AE=BE, AD=BD, CD⊥AB AC=BC. B E D 图3-3-1 【知识点02】垂径定理的推论 ⊙ 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味 1.推论 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧， 2.示例如图3-3-4，CD是⊙O的直径，AB是弦（非直径），AB与CD相交于点E,且AE=BE,那么CD垂直于 AB,并且AC=CB,AD=DB ,可用几何语言表述为 CD是直径 CD⊥AB, AE=BE AD=BD, AB不是直径 AC=BC. B E D 图3-3-4 典例分析 【题型一】利用垂径定理进行相关计算 【典例1-1】如图，在⊙O中，半径长为5，圆心O到弦AB的距离OE=3,则弦AB的长为() A.4 B.6 C.8 D.10 【答案】C 【分析】此题考查了垂径定理与勾股定理.由勾股定理即可求得AE的长，然后由垂径定理求得AB的长. 【详解】解：依题意，OE⊥AB,OE=3,OA=5,由勾股定理得： 2 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味 AE=OA2-OE2=4, OE⊥ABO, ∴AB=2AE=8, 故选：C. 【典例1-2】如图，O4,OB,OC都是⊙0的半径，AC,OB交于点D.若AD=CD=8,OD=6,则BD的长为 【答案】4 【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理，解题的关键是：根据垂径定理的推论得OB⊥AC,再根据勾股定理得 0A=√AD2+0D2=V82+62=10,即可求出答案。 【详解】解：，AD=CD=8, .OB⊥AC, 在Rt△AOD中，OA=√AD2+OD2=V82+62=10, 1OB=10, .BD=10-6=4. 故答案为：4. 【典例1-3】如图，⊙O的两条弦AB∥CD(AB不是直径)，点E为AB中点，连接EC,ED ⊙ 宋老师数学图文制作室 宋老们学 ©初高中数学备课备考 教学课件讲义、单元、月考、期中期味 E B D (I)求证：直线EO⊥AB, (2)求证：EC=ED 【答案】(I)见解析 (2)见解析 【分析】(1)依据垂径定理的推论平分弦（不是直径）的直径垂直于弦可得结论 (2)证明EF LCD,由垂径定理可得结论. 【详解】(1)证明：如图，连接EO, E B 过点，为 的中点， D EO O E AB EO⊥AB」 (2)证明：延长EO交CD于F ,⊙ 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味 E B C D .EO⊥AB AB∥CD ..EF⊥CD EF过点O, :.CF=DF, .EF垂直平分CD, .EC=ED 【点睛】本题考查了垂径定理，灵活利用垂径定理及其推论是解题的关键. 【变式1-1】如图，在平面直角坐标系中，一条圆弧经过A2,2),B(4,0),0三点，那么这条圆弧所在圆的圆心为图 中的( ) 3 A 2 D 1 1E2 3FB5文 G A.点D B.点E C.点F D.点G 【答案】B 【分析】根据图形作线段AB和PQ的垂直平分线，两线的交点即为圆心，根据图形得出即可， ⊙ 1,⊙ 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味 【详解】解：如图 3 A 2 D P 1E2 EFAB5 G 2 3 作线段AB和PQ的垂直平分线，交于点E,即为弧的圆心， 故选：B. 【点睛】本题考查了垂径定理，线段垂直平分线性质，坐标与图形性质的应用 【变式1-2】如图，⊙0的半径为10，弦AB的长为12，OD⊥AB,交AB于点D,交⊙0于点C,则OD=一· B 【答案】8 【分析】本题主要考查了垂径定理以及勾股定理，熟练掌握勾股定理，由垂径定理求出AD的长是解题的关键.根据 垂径定理求出AD=6,再根据勾股定理求出OD即可. 【详解】解：：⊙O的半径为10， .OA=10: OD⊥AB,AB=12, 6 ,⊙ 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件讲义、单元、月考、期中期味。 .AD=14B-6, 2 在Rt△AOD中，由勾股定理得：D=VO42-AD=V10-6=8, 故答案为：8. 【变式1-3】如图，OA=OB,AB交⊙O于点C,D,OE是半径，且OE⊥AB于点F. O (I)求证：AC=BD (2)若OF=2EF,CD=8,求⊙O直径的长. 【答案】(1)见解析 2o0的直径是24v5 【分析】本题考查垂径定理和勾股定理.熟练掌握垂径定理是解题的关键， (I)根据垂径定理，得到CF=DF,等腰三角形三线合一AF=BF,即可得出结论： (2)连接OC,设⊙O的半径是r,根据垂径定理和勾股定理进行求解即可. 【详解】(1)证明：，OE⊥AB,且OE过圆心O ∴.CF=DF, :OA=OB,OE⊥AB, > ⊙ 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 !:1 教学课件讲义、单元、月考、期中期味。 ∴.AF=BF, ∴.AF-CF=BF-DF, .AC=BD; (2)解：连接OC,设⊙O的半径是r, dF AC DB E .OF =2EF,OF+EF=OE=r, :0F=3, 2 :CD=8, .CF-CD-4. .在Rt△OCF中，C0=CF2+OF2, r=12 5 或，=-125 5 (舍去)， 4V5 ·o0的直径是 5 ,⊙ 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期昧 【题型二】垂径定理在实际问题中的应用 【典例2-1】(24-25九年级下·湖南怀化月考)如图，圆形拱门最下端AB在地面上，D为AB的中点，C为拱门最高 点，线段CD经过拱门所在圆的圆心，若AB=3m,CD=4.5m,则拱门所在圆的半径为() A.2.4m B.2m C.2.5m D.3m 【答案】C 【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，连接BO,根据垂径定理的推论得OD⊥AB,设BO=”,则 OD=4.5-r,再根据勾股定理列出方程，求出解即可. 【详解】如图所示，连接BO, A D B 点D是AB的中点， OD L AB' BD=14B=1.5. 设BO=r,则OD=4.5-r, 在Rt△OBD中，根据勾股定理，得OB2=OD2+BD2, 即r2=(4.5-r)2+1.52, 解得r=2.5 9 ,⊙ 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味 故选：C 【典例2-2】(24-25九年级下·广东佛山月考)如图，北京冬奥冰壶比赛中，凌智在中轴线上A点投出一个冰壶，范 苏圆通过擦冰让冰壶的运行轨迹为圆弧，对方在中轴上B点有一障碍壶，AB=16米，且冰壶偏离中轴线的最大距离 为4米，如果要把对方冰壶撞开，则圆弧的半径为一· 【答案】10米/10m 【分析】依题意，A,B,C三点共圆，设圆弧的半径为，，过点O作OD L AB交ACB于点E,进而根据垂径定理得出 AD=8,在Rt△AOD中，根据勾股定理，即可求解. 【详解】解：依题意，A,B,C三点共圆，如图， D 设圆弧的半径为，，过点O作OD⊥AB交ACB于点E, AB=16,DE=4, .∴.AD=8,OD=r-4 在Rt△AOD中，AO2=AD2+OD2 .r2=82+(-42 解得：r=10 故答案为：10米。 10宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期末 第09讲垂径定理（知识详解+2典例分析+习题巩固） 目标导航 知识详解 知识点01：垂径定理 知识点02：垂径定理的推论 典例分析 考点1：利用垂径定理进行相关计算 考点2：垂径定理在实际问题中的应用 (举三反三) 习题巩固 、单选题(6) 二、 填空题(6) 三、解答题(4) 知0详解 【知识点01】垂径定理 1.垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧 2.示例：如图3-3-1，CD⊥AB于点E,CD是⊙O的直径，么可用几何语言表述为 CD是直径1 (AE=BE, AD BD, CD⊥AB AC=BC. B E D 图3-3-1 【知识点2】垂径定理的推论 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味 1.推论 平分弦（不是直径的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧 2.示例如图3-3-4，CD是⊙O的直径，AB是弦（非直径），AB与CD相交于点E,且AE=BE,那么CD垂直于AB, 并且AC=CB,AD=DB.可用几何语言表述为 CD是直径 AE=BE CD⊥AB, AD=BD AB不是直径 AC=BC. 0 E D 图3-3-4 典例分新 【题型一】利用垂径定理进行相关计算 【典例1-1】如图，在⊙O中，半径长为5，圆心0到弦AB的距离0E=3,则弦AB的长为() E A.4 B.6 C.8 D.10 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味 【典例1-2】(23-24九年级上福建莆田·期中)如图，0A,0B,0C都是⊙0的半径，AC,0B交于点D.若 AD=CD=8,OD=6,则BD的长为 D B 【典例1-3】如图，OO的两条弦AB∥CD(AB不是直径)，点E为AB中点，连接EC,ED E D (I)求证：直线E0⊥AB; (2)求证：EC=ED. 3 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 ⊙ 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味 【变式1-1】如图，在平面直角坐标系中，一条圆弧经过A2,2),B(4,0),O三点，那么这条圆弧所在圆的圆心为图 中的() 3 A 2 D 1E2 3FB5衣 G -2 3 A.点D B.点E C.点F D.点G 【变式1-2】如图，O0的半径为10，弦AB的长为12，OD1AB,交AB于点D,交O0于点C,则OD= 【变式1-3】如图，OA=OB,AB交O于点C,D,OE是半径，且OE⊥AB于点F. D B E 4 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期未 (I)求证：AC=BD (2)若0F=2EF,CD=8,求O直径的长. 【题型二】垂径定理在实际问题中的应用 【典例2-1】(24-25九年级下·湖南怀化月考)如图，圆形拱门最下端AB在地面上，D为AB的中点，C为拱门最高 点，线段CD经过拱门所在圆的圆心，若AB=3m,CD=4.5m,则拱门所在圆的半径为() D B A.2.4m B.2m C.2.5m D.3m 【典例2-2】(24-25九年级下·广东佛山·月考)如图，北京冬奥冰壶比赛中，凌智在中轴线上A点投出一个冰壶，范 苏圆通过擦冰让冰壶的运行轨迹为圆弧，对方在中轴上B点有一障碍壶，AB=16米，且冰壶偏离中轴线的最大距离为 4米，如果要把对方冰壶撞开，则圆弧的半径为一 【典例2-3】(24-25九年级下湖北黄石期中)如图，在化学实验中，一个底部呈球形的烧瓶，其纵截面是如右图的 O.瓶内液体的最大深度CD为2cm,液面的宽度AB的长为8cm,求O的半径. & 5 5 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味 【变式2-1】(2025九年级上全国·专题练习)筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，如图1，筒车盛水桶的运行 轨道是以轴心O为圆心的圆，如图2，已知圆心0在水面上方，且O被水面截得弦AB长为4米.O半径长为3米， 若点C为运行轨道的最低点.则点C到弦AB所在直线的距离是() 水面 图1 图2 A.1米 B.2米 c.(3-⑤米 D.3+V5)米 【变式2-2】(24-25九年级上湖北省直辖县级单位·期末)如图，是一个隧道的横截面，它的形状是以0为圆心的圆 的一部分，C0⊥AB,垂足为M,路面AB宽为6m,若圆的半径为5m,则隧道的最大高度CM=m. 【变式2-3】(2425九年级下·广东中山月考)如图1，平底烧瓶是实验室中使用的一种烧瓶类玻璃器皿，主要用来盛 液体物质，它的截面图可以近似看作是由O去掉两个弓形后与矩形ABCD组合而成的图形，其中BC∥MN,若O的 半径为25mm,AB=36mm,BC=14mm,MN=30mm,求该平底烧瓶的高度. 6 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期床 D B M 图1 图2 100 习题R固 一、 单选题 1.(24-25九年级下·陕西汉中期中)管是灌溉的常用工具之一，如图是一个圆柱形水管在某次灌溉时横截面的示意图， 阴影部分为有水部分，如果水面AB的宽为24cm,水面最深的地方高度为18cm,则该水管的半径为() A.12 cm B.13cm C.14cm D.15cm 2.(24-25九年级下·安徽滁州·月考)如图，AB是⊙O的直径，弦CDAB于H,若BH=2,CD=8,则⊙O的半 径长为() B D A.2 B.3 C.4 D.5 7 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味。 3.(24-25九年级下·全国·期末)如图，⊙0的半径为5，圆心O到弦AB的距离0M的长为3，则弦AB的长是() M B A.4 B.6 C.7 D.8 4.(24-25九年级下·湖南永州期中)如图，AB是⊙0的直径，CD是O0的弦，AB⊥CD,垂足为E.若 CD=8,OD=5,则OE的长为() D B A.4 B.3 C.2 D.1 5.(24-25九年级上·甘肃定西·期中)如图，有一个底部呈球形的烧瓶，球的半径为5cm,瓶内液体已经过半，最大深 度CD=7cm,则截面圆中弦AB的长为() B D A.4cm B.4v6cm C.2√21cm D.2√29cm 6.如图，AB是OO的直径，弦CD⊥AB,垂足为M,下列结论不一定成立的是() 8 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期未 B A.CM =DM B.AD=2BD C.AC=AD D.∠BCD=∠BDC 二、填空题 7.（2425九年级上·黑龙江牡丹江·期末)己知⊙0的半径为13，弦AB平行于弦CD,CD=10,AB=24,AB和CD之 间的距离是 8.如图，AB为O0的直径，弦CD⊥AB于点E,若CD=8,BE=2,则O0的半径为一· D 9.(24-25九年级上山东滨州月考)常用钢珠来测量零件上小圆孔的宽口，假设小圆孔的宽口AB的长度是24mm, 测得钢珠顶端离零件表面的距离为18mm,如图所示，则这个钢珠的直径为 0。 18mm 10.(24-25九年级下·四川成都月考)如图是一款轴对称“磁悬浮地漏”无水时的示意图，它由一个圆弧形密封盖MN与 两个磁体组成（下侧磁体固定不动），连接杆EF与地面BD垂直，排水口CD=24√3mm,密封盖最高点E到地面的距 离为6mm,密封盖被磁体顶起将排水口密封，MW所在圆的半径为」 mm 9 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期未 D 6 地面 密封盖W 磁体 11.如图，AB是O的直径，OD垂直于弦AC于点D,D0的延长线交O于点E,若AC=4V2,DE=4,则BC 的长是」 E D 三、解答题 12.(24-25九年级下·上海青浦·月考)如图，在⊙0中，长度为16cm的弦EF与直径AB交于点D,已知BD=4cm, 且AE=AF. 0 E D B (I)求证：AD⊥EF; (2)求O的半径长. 10