专题4：带电粒子在复合场中运动 专项训练-2026届高考物理二轮电学压轴题

高考二轮复习电学压轴题专题训练 专题4 带电粒子在复合场中的运动 1.（2025·四川宜宾模拟）如图所示，位于竖直平面内的坐标系xOy，在其第三象限空间有垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B＝0.5 T，还有沿x轴负方向的匀强电场，电场强度大小为E＝2 N/C。在其第一象限空间有沿y轴负方向的、电场强度大小也为E的匀强电场，并在y＞h＝0.4 m的区域有磁感应强度也为B的、垂直于纸面向里的匀强磁场。一个带电荷量为q的油滴从图中第三象限的P点得到一初速度，恰好能沿PO做匀速直线运动（PO与x轴负方向的夹角为θ＝45°），并从原点O进入第一象限。已知重力加速度g＝10 m/s2，求： （1）油滴在第三象限运动时受到的重力、静电力、洛伦兹力三力的大小之比，并指出油滴带何种电荷； （2）油滴在P点得到的初速度大小； （3）油滴在第一象限运动的时间。 答案：（1）1∶1∶　油滴带负电荷　（2）4 m/s（3）0.828 s 解析：（1）对油滴受力分析及作出油滴的运动轨迹如图所示。 根据油滴受力平衡可知油滴带负电荷，设油滴质量为m， 由平衡条件得mg∶qE∶F＝1∶1∶。 （2）由第（1）问得qvB＝qE， 解得v＝＝4 m/s。 （3）进入第一象限，电场力和重力平衡，可知油滴先做匀速直线运动，进入y≥h的区域后做匀速圆周运动，最后从x轴上的N点离开第一象限。 油滴由O→A做匀速运动的位移为 s1＝＝h， 其运动时间t1＝＝0.1 s， 由qvB＝m，T＝得T＝ 由mg＝qE，得＝，油滴从A→C做圆周运动的时间为t2＝T＝≈0.628 s， 由对称性知，油滴从C→N运动的时间t3＝t1， 所以油滴在第一象限运动的总时间t＝t1＋t2＋t3＝2×0.1 s＋0.628 s＝0.828 s。 2.（2025·八省联考晋陕青宁卷）如图，cd边界与x轴垂直，在其右方竖直平面内，第一、二象限内存在垂直纸面向外的匀强磁场，第三、四象限内存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁场区域覆盖有竖直向上的外加匀强电场。在xOy平面内，某质量为m、电荷量为q带正电的绝缘小球从P点与cd边界成30°角以速度v0射入，小球到坐标原点O时恰好以速度v0竖直向下运动，此时去掉外加的匀强电场。重力加速度大小为g，已知磁感应强度大小均为。求： （1）电场强度的大小和P点距y轴的距离； （2）小球第一次到达最低点时速度的大小； （3）小球从过坐标原点时到第一次到达最低点时所用时间。 答案：（1）　　（2）（1＋）v0　（3） 解析：（1）依题意，小球从P点运动到坐标原点O，速率没有改变，即动能变化为零，由动能定理可知合力做功为零，所以，电场力与重力等大反向，可得qE＝mg 解得E＝ 可知小球在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，轨迹如图 根据qv0B＝m 解得r＝ 由几何关系，可得xP＝r＋rcos 30° 联立，解得xP＝。 （2）把小球在坐标原点的速度v0分解为沿x轴正方向的v0和与x轴负方向成45°的v0，如图 其中沿x轴正方向的v0对应的洛伦兹力恰好与小球重力平衡，即F洛＝qv0B＝mg，小球沿x轴正方向做匀速直线运动， 与x轴负方向成45°的v0对应的洛伦兹力提供小球做逆时针匀速圆周运动的向心力，可知小球第一次到达最低点时速度的大小为v＝v0＋v0＝（1＋）v0。 （3）由第二问分析可知小球在撤去电场后做匀速圆周运动的分运动轨迹如图所示 由几何关系，可得小球从过坐标原点到第一次到达最低点时圆弧轨迹对应的圆心角为135°，则所用时间为t＝T 根据q·v0·B＝m 又T＝ 联立，解得t＝。 3. (2023·江苏卷，16)霍尔推进器某局部区域可抽象成如图1所示的模型。Oxy平面内存在竖直向下的匀强电场和垂直坐标平面向里的匀强磁场，磁感应强度为B。质量为m、电荷量为e的电子从O点沿x轴正方向水平入射。入射速度为v0时，电子沿x轴做直线运动；入射速度小于v0时，电子的运动轨迹如图中的虚线所示，且在最高点与在最低点所受的合力大小相等。不计重力及电子间相互作用。 图1 (1)求电场强度的大小E； (2)若电子入射速度为，求运动到速度为时位置的纵坐标y1； (3)若电子入射速度在0＜v＜v0范围内均匀分布，求能到达纵坐标y2＝位置的电子数N占总电子数N0的百分比。 答案　(1)Bv0　(2)　(3)90% 解析　(1)电子沿x轴正方向做直线运动，则电子受平衡力的作用，即 eE＝ev0B 解得E＝Bv0。 (2)电子在电场和磁场叠加场中运动，受洛伦兹力和电场力的作用，只有电场力做功，则电子的速度由到的过程中，由动能定理得 eEy1＝m－m 解得y1＝。 (3)设电子的入射速度为v1时刚好能到达纵坐标为y2＝的位置，此时电子在最高点的速度沿水平方向，且大小假设为v2，则 电子在最低点的合力为F1＝eE－ev1B 电子在最高点的合力为F2＝ev2B－eE 由题意可知电子在最高点与最低点的合力大小相等， 即F2＝F1 整理得v1＋v2＝2v0 电子由最低点到最高点的过程，由动能定理得 eEy2＝mv－mv 整理得v2－v1＝ 解得v1＝v0 又电子入射速度越小，电子运动轨迹的最高点对应的纵坐标越大，则能到y2＝的位置的电子数占总电子数的比例为η＝＝×100% 解得η＝90%。 4 .如图所示，在竖直平面内建立直角坐标系xOy，其第一象限存在着正交的匀强电场和匀强磁场，电场强度的方向水平向右，磁感应强度的方向垂直纸面向里。一带电荷量为＋q、质量为m的微粒从原点出发，以某一初速度沿与x轴正方向的夹角为45°的方向进入复合场中，正好做直线运动，当微粒运动到A(l，l)时，电场方向突然变为竖直向上(不计电场变化的时间)，微粒继续运动一段时间后，正好垂直于y轴穿出复合场。不计一切阻力，重力加速度为g，求： (1)电场强度E的大小； (2)磁感应强度B的大小； (3)微粒在复合场中的运动时间。 答案　(1)　(2)　(3) 解析　(1)微粒到达A(l，l)之前做匀速直线运动，对微粒受力分析如图甲，可知 qE＝mg，得E＝。 　 甲　　　　　　　　　　乙 (2)由平衡条件得qvB＝mg 电场方向变化后，微粒所受重力与静电力平衡，微粒在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，轨迹如图乙所示 qvB＝m 由几何知识可得r＝l 联立解得v＝，B＝。 (3)微粒做匀速直线运动的时间 t1＝＝ 微粒做匀速圆周运动的时间 t2＝＝ 微粒在复合场中的运动时间 t＝t1＋t2＝。 5. （2024江苏扬州期末） 如图1所示，在真空中有一光滑水平面xOy，匀强磁场方向竖直向下，磁感应强度为B；在第四象限存在沿－y轴方向的匀强电场，电场强度为E．质量为m，电荷量为－q的小滑块在xOy平面内从y轴上的P点进入磁场，速度大小为，方向与＋y轴方向成30°角，刚好垂直于x轴进入由两平行挡板构成的狭缝MN中，狭缝足够长，宽度略大于滑块．已知滑块与挡板间动摩擦因数为，从M处离开狭缝时的速度大小为，在运动过程中电荷量保持不变。求： （1）P点的纵坐标y； （2）滑块克服摩擦力所做的功W； （3）在图2中定性画出滑块从进入狭缝到离开狭缝过程的速度—时间图像；并利用此图像计算滑块在此过程中所受电场力的冲量大小I。 【参考答案】（1）；（2）；（3）见解析， 【名师解析】 （1）设滑块在磁场中圆周运动的半径为r，根据牛顿第二定律有 解得 根据几何关系可得 （2）滑块带负电荷，从M点进入狭缝再从M点离开，电场力做功为0；而洛伦兹力不做功。由动能定理可得 解得克服摩擦力做功为 （3）对滑块受力分析，滑块所受摩擦力为 滑块向－y方向运动过程中，根据牛顿第二定律有 做加速度逐渐减小的减速运动。滑块向＋y方向运动过程中，根据牛顿第二定律有 做加速度减小的加速运动，则小球运动的速度—时间图像如图所示 摩擦阻力的大小与粒子速率成正比，故“阻力—时间”图像与“速度—时间”图像相似，速度-时间图像与时间轴所围面积表示位移，滑块进入狭缝到离开狭缝运动的总位移为零。而阻力—时间曲线与时间轴所围的面积表示阻力的冲量，类比可得摩擦阻力的总冲量为零。以＋y方向为正方向，根据动量定理可得，电场力冲量的大小为 6. （2024福建泉州质检2） 如图，在直角坐标系中，y轴竖直，左侧存在一个垂直纸面向里的匀强磁场和沿y轴正方向的匀强电场；右侧存在沿x轴负方向的匀强电场，y轴左侧场强大小为右侧的2倍。质量为m、电荷量为q的带正电小球（可视为质点），从点以某一初速度沿y轴正方向射出，恰好经过原点O且此时速度方向刚好沿x轴负方向，继续运动一段时间后到达点。已知重力加速度大小为g。求： （1）小球从M点运动到原点O过程中的水平加速度大小； （2）y轴左侧电场强度的大小； （3）匀强磁场的磁感应强度大小B。 【参考答案】（1）；（2）；（3） 【名师解析】 （1）设小球从M点运动到点的时间为，水平方向的加速度大小为，则有水平方向 竖直方向 解得 （2）设右侧场强大小为，左侧场强大小为，由牛顿第二定律得 又 解得 （3）小球在轴左侧电场中受到的电场力 方向竖直向上，所以带电小球在磁场中做匀速圆周运动，做出小球的运动轨迹如图所示 由几何关系可知 则可知 ， 设小球运动半径为，根据几何关系有 设小球经过时的速度大小为，由（1）可知 根据洛伦兹力充当向心力有 联立解得 7. （2024江苏镇江质检）如图所示，自左向右的三个区域依次为竖直向下场强为E的匀强电场、场强为B的垂直纸面向里的匀强磁场以及由这两种场叠加形成的复合场。电场和磁场区域宽度相同均为d，复合场区域的宽度足够大。带电粒子在运动过程中不会离开复合场区。一带正电的粒子向右以一定的初速度由A处进入电场，经电场和磁场的偏转后再水平向右进入复合场区域。不计粒子重力。求： （1）粒子刚进入A处的初速度的大小； （2）若粒子刚进入复合场区域时的速度是刚进入A处初速度的两倍，请计算粒子刚进入复合场时，相对于A处在竖直方向偏移的距离以及该电荷的比荷； （3）若取粒子刚进入复合场区域时为零时刻，其速度是刚进入A处初速度的两倍，计算该粒子在该场区运动时速度的最小值以及对应的时刻t。 【参考答案】（1）；（2），；（3）， 【名师解析】 （1）根据题意，画出粒子的运动轨迹，如图所示 设粒子离开电场时的速度大小为，速度方向相对入射方向偏转的角度为，速度的竖直分量为，在电场中的运动时间为，则有 ，，， 由几何关系可得，粒子在磁场中的转动半径为 根据洛伦兹力提供向心力 解得 联立上述方程可以得到 （2）若粒子刚进入复合场区域时的速度是刚进入A处初速度的两倍，则有 解得 则粒子在电场中位移与水平方向夹角的正切值为 由几何关系有 解得 由几何关系可知，粒子在磁场中竖直方向的偏移 所以相对于A处在竖直方向偏移的距离为 粒子在电场中做类平抛运动，竖直方向上有 又有 联立解得 （3）由于 则有 若粒子刚进入复合场区域时速度是刚进入A处初速度的两倍，利用配速法把其速度分为 可知，粒子在复合场中水平方向以做匀速运动，同时以做匀速圆周运动，其运动轨迹如图所示 由 可得，其对应的旋轮半径为 在最高点速度最小为 对应的时间是摆线的半周期的奇数倍，即 8. (2024年3月福建泉州质检)如图甲所示，在水平地面上方分布有相互垂直的匀强电场与匀强磁场，电场方向竖直向上，场强大小为E，磁场方向垂直纸面向里。在离地高为h的O点处建立一直角坐标系xOy，y轴竖直向上。一个带正电小球A从O点以速率沿x轴负方向射出，恰好可以垂直打到地面。已知重力加速度大小为g，A受到的电场力恰好等于重力，运动过程中带电量不变，忽略空气阻力。 （1）求匀强磁场的磁感应强度的大小B； （2）若大量与A相同的小球仍从O点以速率在xOy平面内沿各个方向先后射出，小球间的相互作用均不计，落地后均不反弹，求小球落地点区间的长度； （3）若撤去电场，小球仍从O点以某一速率沿y轴正方向射出，恰好不会打到地面。 i.求小球从O点射出时的速率； ii.已知小球的速率v与时间t的关系如图乙所示，求小球速率达到最小时两个位置之间的距离。 【参考答案】（1）；（2）；（3）i.，ii.（n=1，2，3…） 【名师解析】（1）由于小球所受电场力大小等于重力，则有 可知，电场力与重力平衡，小球做匀速圆周运动，则有 根据几何关系有 解得 （2）结合上述可知，当小球在第二象限与y轴正方向夹角射出时，可运动到左侧最远落地点，此时落地与O点连线为轨迹直径，则其水平位移 当小球沿方向射出时，可运动到右侧最远落地点，此时轨迹与地面相切，则其水平位移 则落地点区间的长度为 结合上述解得 （3）i.将小球的运动分解为圆周运动与匀速运动，如图所示 则匀速运动的速度为 圆周运动的速度 圆周运动的半径 根据几何关系有 ， 解得 ii.小球速度达到最小时的位置之间的距离 （n=1，2，3…） 其中周期 解得 9. （2024河北衡水名校协作体期末联考）如图所示，竖直面内的三个区域中分别存在电场和磁场。在区域内匀强电场方向沿轴正方向，在轴右侧分布着相邻的匀强电场和匀强磁场，电场方向沿轴正向，磁场方向垂直纸面向里，磁感应强度大小为。一质量为、带电量为的油滴从轴上的点无初速释放，到达轴上的点时，速度与轴负方向夹角；到达竖直电场右边界的点时，速度与轴正方向夹角仍为。两点间距离两点的竖直高度差。已知重力加速度取，带电油滴的运动均在真空中。求： （1）水平电场的大小及油滴到达到点时的速度； （2）竖直电场的大小及油滴到达点时的速度； （3）油滴在磁场中运动的速度的最大值。 【参考答案】（1），；（2），；（3） 【名师解析】 （1）由题可知，油滴从P到Q做匀加速直线运动，即 解得 根据可知 （2）由题可知，油滴在电场内做类抛体运动，可将其分解为沿x方向的匀速直线运动和沿y方向的匀加速直线运动，故 ， 到达M点时的速度为 由动能定理可知 代入数据解得 （3）如图所示将速度进行分解 其中 故油滴的运动可分解为沿水平方向的匀速直线运动和一个匀速圆周运动 由余弦定理可得 联立解得 当两速度方向相同时，油滴的速度最大 10.（10分）（2024山西太原高二期末）如图所示，竖直平面直角坐标系xOy第一象限内，存在水平向右的电场、垂直纸面向里的磁场。质量m=1kg、电荷量q=+0.1C的小球由O到A恰好做直线运动，当小球运动到A（0.1m，0.1m）点时，电场方向瞬间变为竖直向上，小球继续运动一段时间后，垂直于y轴射出第一象限。不计一切阻力，重力加速度g取10m/s2。求： （1）电场强度E的大小，磁感应强度B的大小； （2）小球在第一象限内运动的时间。 【名师解析】.（10分） （1）小球在到达A点之前做匀速直线运动 电场方向变化后，小球所受重力与电场力平衡，小球在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动 由几何关系得 （2）小球做匀速直线运动的时间 小球做匀速圆周运动的周期 小球做匀速圆周运动转过的圆心角 小球做匀速圆周运动的时间 学科网（北京）股份有限公司 $ 高考二轮复习电学压轴题专题训练 专题4 带电粒子在复合场中的运动 1.（2025·四川宜宾模拟）如图所示，位于竖直平面内的坐标系xOy，在其第三象限空间有垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B＝0.5 T，还有沿x轴负方向的匀强电场，电场强度大小为E＝2 N/C。在其第一象限空间有沿y轴负方向的、电场强度大小也为E的匀强电场，并在y＞h＝0.4 m的区域有磁感应强度也为B的、垂直于纸面向里的匀强磁场。一个带电荷量为q的油滴从图中第三象限的P点得到一初速度，恰好能沿PO做匀速直线运动（PO与x轴负方向的夹角为θ＝45°），并从原点O进入第一象限。已知重力加速度g＝10 m/s2，求： （1）油滴在第三象限运动时受到的重力、静电力、洛伦兹力三力的大小之比，并指出油滴带何种电荷； （2）油滴在P点得到的初速度大小； （3）油滴在第一象限运动的时间。 2.（2025·八省联考晋陕青宁卷）如图，cd边界与x轴垂直，在其右方竖直平面内，第一、二象限内存在垂直纸面向外的匀强磁场，第三、四象限内存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁场区域覆盖有竖直向上的外加匀强电场。在xOy平面内，某质量为m、电荷量为q带正电的绝缘小球从P点与cd边界成30°角以速度v0射入，小球到坐标原点O时恰好以速度v0竖直向下运动，此时去掉外加的匀强电场。重力加速度大小为g，已知磁感应强度大小均为。求： （1）电场强度的大小和P点距y轴的距离； （2）小球第一次到达最低点时速度的大小； （3）小球从过坐标原点时到第一次到达最低点时所用时间。 3. (2023·江苏卷，16)霍尔推进器某局部区域可抽象成如图1所示的模型。Oxy平面内存在竖直向下的匀强电场和垂直坐标平面向里的匀强磁场，磁感应强度为B。质量为m、电荷量为e的电子从O点沿x轴正方向水平入射。入射速度为v0时，电子沿x轴做直线运动；入射速度小于v0时，电子的运动轨迹如图中的虚线所示，且在最高点与在最低点所受的合力大小相等。不计重力及电子间相互作用。 图1 (1)求电场强度的大小E； (2)若电子入射速度为，求运动到速度为时位置的纵坐标y1； (3)若电子入射速度在0＜v＜v0范围内均匀分布，求能到达纵坐标y2＝位置的电子数N占总电子数N0的百分比。 4 .如图所示，在竖直平面内建立直角坐标系xOy，其第一象限存在着正交的匀强电场和匀强磁场，电场强度的方向水平向右，磁感应强度的方向垂直纸面向里。一带电荷量为＋q、质量为m的微粒从原点出发，以某一初速度沿与x轴正方向的夹角为45°的方向进入复合场中，正好做直线运动，当微粒运动到A(l，l)时，电场方向突然变为竖直向上(不计电场变化的时间)，微粒继续运动一段时间后，正好垂直于y轴穿出复合场。不计一切阻力，重力加速度为g，求： (1)电场强度E的大小； (2)磁感应强度B的大小； (3)微粒在复合场中的运动时间。 5. （2024江苏扬州期末） 如图1所示，在真空中有一光滑水平面xOy，匀强磁场方向竖直向下，磁感应强度为B；在第四象限存在沿－y轴方向的匀强电场，电场强度为E．质量为m，电荷量为－q的小滑块在xOy平面内从y轴上的P点进入磁场，速度大小为，方向与＋y轴方向成30°角，刚好垂直于x轴进入由两平行挡板构成的狭缝MN中，狭缝足够长，宽度略大于滑块．已知滑块与挡板间动摩擦因数为，从M处离开狭缝时的速度大小为，在运动过程中电荷量保持不变。求： （1）P点的纵坐标y； （2）滑块克服摩擦力所做的功W； （3）在图2中定性画出滑块从进入狭缝到离开狭缝过程的速度—时间图像；并利用此图像计算滑块在此过程中所受电场力的冲量大小I。 6. （2024福建泉州质检2） 如图，在直角坐标系中，y轴竖直，左侧存在一个垂直纸面向里的匀强磁场和沿y轴正方向的匀强电场；右侧存在沿x轴负方向的匀强电场，y轴左侧场强大小为右侧的2倍。质量为m、电荷量为q的带正电小球（可视为质点），从点以某一初速度沿y轴正方向射出，恰好经过原点O且此时速度方向刚好沿x轴负方向，继续运动一段时间后到达点。已知重力加速度大小为g。求： （1）小球从M点运动到原点O过程中的水平加速度大小； （2）y轴左侧电场强度的大小； （3）匀强磁场的磁感应强度大小B。 7. （2024江苏镇江质检）如图所示，自左向右的三个区域依次为竖直向下场强为E的匀强电场、场强为B的垂直纸面向里的匀强磁场以及由这两种场叠加形成的复合场。电场和磁场区域宽度相同均为d，复合场区域的宽度足够大。带电粒子在运动过程中不会离开复合场区。一带正电的粒子向右以一定的初速度由A处进入电场，经电场和磁场的偏转后再水平向右进入复合场区域。不计粒子重力。求： （1）粒子刚进入A处的初速度的大小； （2）若粒子刚进入复合场区域时的速度是刚进入A处初速度的两倍，请计算粒子刚进入复合场时，相对于A处在竖直方向偏移的距离以及该电荷的比荷； （3）若取粒子刚进入复合场区域时为零时刻，其速度是刚进入A处初速度的两倍，计算该粒子在该场区运动时速度的最小值以及对应的时刻t。 8. (2024年3月福建泉州质检)如图甲所示，在水平地面上方分布有相互垂直的匀强电场与匀强磁场，电场方向竖直向上，场强大小为E，磁场方向垂直纸面向里。在离地高为h的O点处建立一直角坐标系xOy，y轴竖直向上。一个带正电小球A从O点以速率沿x轴负方向射出，恰好可以垂直打到地面。已知重力加速度大小为g，A受到的电场力恰好等于重力，运动过程中带电量不变，忽略空气阻力。 （1）求匀强磁场的磁感应强度的大小B； （2）若大量与A相同的小球仍从O点以速率在xOy平面内沿各个方向先后射出，小球间的相互作用均不计，落地后均不反弹，求小球落地点区间的长度； （3）若撤去电场，小球仍从O点以某一速率沿y轴正方向射出，恰好不会打到地面。 i.求小球从O点射出时的速率； ii.已知小球的速率v与时间t的关系如图乙所示，求小球速率达到最小时两个位置之间的距离。 9. （2024河北衡水名校协作体期末联考）如图所示，竖直面内的三个区域中分别存在电场和磁场。在区域内匀强电场方向沿轴正方向，在轴右侧分布着相邻的匀强电场和匀强磁场，电场方向沿轴正向，磁场方向垂直纸面向里，磁感应强度大小为。一质量为、带电量为的油滴从轴上的点无初速释放，到达轴上的点时，速度与轴负方向夹角；到达竖直电场右边界的点时，速度与轴正方向夹角仍为。两点间距离两点的竖直高度差。已知重力加速度取，带电油滴的运动均在真空中。求： （1）水平电场的大小及油滴到达到点时的速度； （2）竖直电场的大小及油滴到达点时的速度； （3）油滴在磁场中运动的速度的最大值。 10.（10分）（2024山西太原高二期末）如图所示，竖直平面直角坐标系xOy第一象限内，存在水平向右的电场、垂直纸面向里的磁场。质量m=1kg、电荷量q=+0.1C的小球由O到A恰好做直线运动，当小球运动到A（0.1m，0.1m）点时，电场方向瞬间变为竖直向上，小球继续运动一段时间后，垂直于y轴射出第一象限。不计一切阻力，重力加速度g取10m/s2。求： （1）电场强度E的大小，磁感应强度B的大小； （2）小球在第一象限内运动的时间。 学科网（北京）股份有限公司 $