专题03勾股定理寒假预习闯关必备讲义(2)(知识点梳理+常考题型精析+强化巩固)2025-2026学年人教版八年级数学下册

专题03勾股定理寒假预习闯关必备讲义(2) 1.记准勾股定理公式a2+b2=c2（、为直角边，c为斜边），知道逆定理可判定直角三角形。 2.记住 3 组常见勾股数，比如 3,4,5；5,12,13。 3.能认出梯子靠墙、旗杆测高等场景的直角三角形模型，列出三边等量关系。 4.会用定理求直角三角形边长，用逆定理判断三角形是否为直角三角形。 5.标记预习时不懂的问题，方便课堂提问。 预习必备 知识点梳理 1.基础核心概念. 2.通用解题步骤 3.应用场景:核心公式+等量关系 4.易错点提醒 常考题型 精讲精炼 1.梯落滑地:求滑落高度 2.旗杆高度的计算 3.小鸟直线飞行距离 4.求大树折断前的高度 5.水杯中筷子长度问题 6.解决航海问题 7.勾股定理求河宽 8.求台阶上地毯长度 9.汽车是否超速判断 10.台风影响范围判定 11.等距选址问题 12.最短路径求解 13.三边构成三角形的判定 14.网格中直角三角形的判断 15.利用勾股定理的逆定理求解 16.勾股定理逆定理的实际应用 强化巩固 题型通关 (18题) 【知识点01.基础核心概念】 1. 勾股定理 文字表述：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。 符号公式：若直角边为、，斜边为c，则 a2+b2=c2。 适用条件：仅针对直角三角形。 2. 勾股定理逆定理 文字表述：若一个三角形的三边长、、满足a2+b2=c2，则该三角形是直角三角形（c对应直角）。 作用：判定三角形是否为直角三角形。 3. 勾股数 定义：满足a2+b2=c2的三个正整数。 特性：勾股数的正整数倍仍是勾股数（如3,4,5的 2 倍6,8,10）。 常见勾股数：3,4,5；5,12,13；7,24,25等。 【知识点02.通用解题步骤】 1.建模： 将实际问题转化为直角三角形模型（找 “垂直”“水平 / 竖直” 对应的直角）。 2.定边： 区分已知边是直角边还是斜边（最长边通常为斜边）。 3.计算 / 判定： 用勾股定理：已知两边求第三边； 用逆定理：已知三边，验证a2+b2=c2判定直角三角形。 【知识点03.应用场景:核心公式+等量关系】 应用分类 具体场景 核心等量关系（公式） 长度 距离 类 梯子滑落高度 梯子长（c）² =墙高(a)² +梯底距墙距离(b)²（梯子为斜边） 小鸟飞行距离 飞行距离（c）²= 水平距离（a）² +垂直距离（b）² 河宽 河宽（a）²=对岸连线长（c）² -河岸横向距离（b）² 台阶地毯长度 地毯长（c）²= 台阶水平总长（a）² +台阶垂直总高（b）² 立体最短路径（展开） 最短路径（c）²=展开后水平边长（a）²+展开后竖直边长（b）² 高度 类 旗杆高度 旗杆高（a）² = 绳子长（c）² - 绳端距旗杆底距离（b）² 大树折断前高度 1.折断部分长（c）² =树桩高（a）² +折端距树根距离（b）² 2.总高 = 树桩高 + 折断部分长 实际 生活 类 水杯中筷子长度 杯内筷子最长（c）² = 水杯底面直径（a）² + 水杯高度（b）² 航海距离（航向垂直） 两船距离(c)²=船 1 航行距离（a）² + 船 2 航行距离（b）² 汽车超速判断 1.行驶距离（c）² = 水平路段长（a）² + 垂直路段长（b）² 2.速度 = 距离 ÷ 时间（与限速比较） 台风影响判断 观测点到台风路径的垂直距离（a） ≤ 台风影响半径（c）→ 受影响；反之不受影响 【知识点04.易错点提醒】 1.误用勾股定理：在非直角三角形中直接使用公式。 2.混淆边的类型：求直角边时误用 “a2+c2=b2”（应是b2=c2−a2）。 3.勾股数概念错误：将非正整数（如2​,3​）误认为勾股数。 【题型1.梯滑落地:求滑落高度】 【典例】如图,小巷左右两侧是竖直的墙,一架梯子斜靠在左墙时,梯子底端到左墙的距离为0.7米,顶端距离地面2.4米．若保持梯子底端位置不动,将梯子斜靠在右墙时,顶端距离地面1.5米,则小巷的宽度为（    ） A．1.8米 B．2米 C．2.5米 D．2.7米 【答案】D 【分析】此题考查的是勾股定理的应用，掌握勾股定理的内容是解决此题的关键．先根据题意求得，再求得，，，从而利用勾股定理求得的长；然后再利用勾股定理求得的长，进而利用线段的和差关系，求得即可． 【详解】解：如图，，，，， 在中， ∵， ∴， ∴ ∴，即小巷的宽度为2.7米． 故选：D． 【跟踪专练1】如图，一根竹竿长米，斜靠在竖直的墙上，竹竿底端离墙米，若竹竿底端向左滑动米，那么竹竿顶端下滑 米． . 【答案】 【分析】本题主要考查勾股定理的应用，解题的关键是读懂题意列出已知数据，并利用勾股定理求解．由题意得米，米，米，米，在中，，在中，，即可求出顶端下滑的距离． 【详解】解：如图， 由题意得，米，米，米， ∴米， 在中，米， 在中，米， 则顶端下移的距离米． 故答案为：． 【跟踪专练2】某数学兴趣小组开展了笔记本电脑的张角大小的实践探究活动．如图，当张角为时，顶部边缘D处离桌面的高度为，此时底部边缘A处与E处间的距离为，小组成员调整张角的大小继续探究，最后发现当张角为时（D是B的对应点），顶部边缘B处到桌面的距离为，则底部边缘A处与C之间的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解此题的关键． 先由勾股定理可得，再由勾股定理计算即可得解， 【详解】解：根据题意得 在中，，， ， ∴， 在中，，， ， ∴， ∴底部边缘A处与C之间的距离的长为． 故选：D． 【题型2.旗杆高度计算】 【典例】如图，小华将升旗的绳子拉紧到旗杆底端点B，绳子末端刚好接触到地面，然后拉紧绳子使其末端到点D处，点D到地面的距离长为，点D到旗杆的水平距离为，若设旗杆的高度长为，则根据题意所列的方程是 ．    【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，作，根据即可列出方程． 【详解】解：作，如图所示：   ， ∵ ∴ 故答案为： 【跟踪专练1】如图所示，小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆上的绳子垂到地面时还多了，当他把绳子拉直，端点刚好着地，下端距离点，则旗杆的高为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了学生利用勾股定理解决实际问题的能力，关键是利用勾股定理即可求得的长． 根据题意设旗杆的高为，则绳子的长为，再利用勾股定理即可求得AB的长，即旗杆的高． 【详解】解：设旗杆的高为，则绳子的长为， 在中，， ∴， 解得， ∴， ∴旗杆的高． 故选C． 【跟踪专练2】学完勾股定理之后，同学们想利用升旗的绳子、卷尺测算出学校旗杆的高度．爱动脑筋的小亮设计了一个方案：如图，小亮将升旗的绳子拉直到末端刚好接触地面，测得此时绳子末端距旗杆底端，然后将绳子末端拉直到距离旗杆处，测得此时绳子末端距离地面的高度为．如果设旗杆的高度为（滑轮上方的部分忽略不计），求x的值． 【答案】12.25米． 【分析】本题考查的知识点是勾股定理的应用，解题的关键是熟练地掌握勾股定理的应用． 由左图，根据勾股定理得，绳长的平方，右图，根据勾股定理得，绳长的平方，建立方程，解方程即得． 【详解】解：设旗杆的高为x米， 由左图，根据勾股定理得，绳长的平方，右图，根据勾股定理得，绳长的平方， ∴， 解得，米． 答：旗杆的高度是12.25米． 【题型3.小鸟直线飞行距离】 【典例】如图，一段与水平面成30°角的斜坡上有两棵树，两棵树水平距离为，树的高度都是．一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞 ．(    ) A． B．8 C．11 D．12 【答案】D 【分析】本题主要考查含角的直角三角形的性质，理解题意，掌握含角的直角三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：根据题意，，，， ∴，， ∴m， ∴m， ∴小鸟至少要飞， 故选：． 【跟踪专练1】如图，有两棵树，一棵高6米，另一棵高3米，两树相距4米，一只鸟从一棵树的树顶飞到另一棵树的树顶，问小鸟至少飞行 米． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理的应用，解答本题的关键是明确题意，构造直角三角形，利用数形结合的思想解答． 根据题意，作出合适的直角三角形，然后根据勾股定理即可求得的长． 【详解】解：如图所示，    由题意可得，（米），米， ， （米）， 即小鸟至少飞行米， 故答案为：． 【跟踪专练1】如图所示，有两根直杆隔河相对，一杆高30m，另一杆高，两杆相距．现两杆上各有一只鱼鹰，他们同时看到两杆之间的河面上E处浮起一条小鱼，于是以同样的速度同时飞下来夺鱼，结果两只鱼鹰同时叼住小鱼．则两杆底部距小鱼E处的距离各是多少？ 【答案】和 【分析】本题考查了勾股定理的应用，正确理解题意是解题的关键．由题意可得：，，那么，代入数据，解方程即可． 【详解】解：由题意可得：，， 则， 故， 解得：， 则（m）， 答：两杆底部距小鱼E处的距离分别是和． 【题型4.求大树折断前的高度】 【典例】如图，一木杆在离地面3m处折断，木杆顶端落在离木杆底端4m处．木杆折断之前的高度是（   ） A．7m B．8m C．9m D．10m 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的应用，主要考查学生对勾股定理在实际生活中的运用能力．由题意得，在直角三角形中，知道两直角边，运用勾股定理即可求出斜边，从而得出这棵树折断之前的高度． 【详解】解：由题意可知，两段木杆和地面构成直角三角形，则由勾股定理得： 折断的部分长为， 故木杆折断之前的高度是． 故选： B． 【跟踪专练1】如图，一棵树（树干与地面垂直）高8米，在一次强台风中树被强风折断，倒下后的树顶与树根的距离为4米，则这棵树断裂处点离地面的高度的值为 ． 【答案】3 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，根据勾股定理建立方程：，求出大树折断部分的高度即可． 【详解】解：∵是直角三角形，米，米， ， 即， 解得：， 即这棵树断裂处点离地面的高度的值为 3 米， 故答案为：3． 【跟踪专练2】2025年第18号台风“桦加沙”登陆期间，部分地区受到影响．如图所示，一棵垂直于地面且高度为8米的树木被台风折断，折断后树顶B落在离树根底部C的4米处，求这棵树在离地面多高处被折断． 【答案】这棵树在离地面3米处被折断 【分析】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解答本题的关键．直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方． 当题目中出现直角三角形，且该直角三角形的一边为待求量时，常使用勾股定理进行求解．有时也可以利用勾股定理列方程求解．设米，则米，利用勾股定理列方程求解即可. 【详解】解：设米，则米， 由题意得4米， 在中，， ∴， ∴，即米． 答：这棵树在离地面3米处被折断． 【题型5.水杯中筷子长度问题】 【典例】已知某个抽屉的底面是一个长，宽的矩形，现打算贴抽屉底面放一根木棒（不计木棒粗细），那么这根木棒最长是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的应用，理解矩形中最长的线段是矩形的对角线是关键；利用勾股定理求出矩形的对角线长，即是木棒的最大长度． 【详解】解：由勾股定理得：； 即这根木棒最长是； 故选：C． 【跟踪专练1】如图，将一根长的玻璃棒，放在底面直径为，高为的圆柱形水杯中，设玻璃棒露在杯子外面的长度为，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键；由题意易得当玻璃棒斜靠在杯子的边缘时，漏出杯子外面的长度最短，然后利用勾股定理可进行求解． 【详解】解：由题意得：当玻璃棒斜靠在杯子的边缘时，漏出杯子外面的长度最短，最短为； 当玻璃棒垂直杯子底面时，漏出杯子外面的长度最长，最长为； ∴的取值范围是； 故答案为． 【跟踪专练2】小明在参观我国古代园林时，发现一个有趣的景观：一个正方形的莲花池，池中心有一支荷花高出水面1尺（如图）．一阵风吹过，荷花被吹倒，荷花顶端恰好到达池边的水面．如果荷花与水面相交点离池边尺，请你帮小明算一算池塘的水深和荷花的长度．（注：尺寸，结果用尺表示） 【答案】池塘水深尺，荷花长尺． 【分析】本题考查了勾股定理的应用，设池塘水深度为尺，则荷花原长为尺，由于荷花位于水池中央，所以为尺，然后由勾股定理得，即，然后求出的值即可，掌握勾股定理是解题的关键． 【详解】解：设池塘水深度为尺，则荷花原长为尺，由于荷花位于水池中央，所以为尺， 在中，，即， 解得：． ∴池塘水深为尺，荷花长度为， 答：池塘水深尺，荷花长尺． 【题型6.解决航海问题】 【典例】如图，某港口位于东西方向的海岸线上．“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号沿东北方向航行，每小时航行海里，“海天”号沿西北方向航行，每小时航行海里．它们离开港口小时后分别位于点处，此时两船的距离是（   ） A．32海里 B．42海里 C．40海里 D．30海里 【答案】D 【分析】本题考查了方位角，勾股定理的运用，理解方位角的意义，掌握勾股定理的计算是解题的关键． 根据方位角可得，由勾股定理即可求解． 【详解】解：“远航”号沿东北方向航行，“海天”号沿西北方向航行， ∴， ∴， ∵“远航”号每小时航行海里，“海天”号每小时航行海里，它们离开港口小时， ∴（海里），（海里）， ∴（海里）， 故选：D ． 【跟踪专练1】甲轮船以每小时海里的速度从港口出发向东北方向航行，同时乙轮船以每小时海里的速度从港口出发向西北方向航行，小时后，甲乙两轮船之间距离为 海里 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练运用勾股定理进行计算是解题的关键．根据方位角可知两船所走的方向正好构成了直角，根据路程速度时间分别求出、的长，然后利用勾股定理求解的长即可． 【详解】解：如图所示，甲轮船以每小时海里的速度从港口出发向东北方向航行，同时乙轮船以每小时海里的速度从港口出发向西北方向航行， ， 小时后，（海里），（海里）， 在中，（海里）， 即小时后，甲乙两轮船之间距离为海里． 故答案为： ． 【跟踪专练2.】小王与小林进行遥控赛车游戏，小王的赛车从点出发，以的速度由西向东行驶，同时小林的赛车从点出发，以的速度由南向北行驶（如图）．已知赛车之间的距离小于或等于时，遥控信号会产生相互干扰，，． (1)出发时，遥控信号是否会产生相互干扰？ (2)出发几秒钟时，遥控信号将会产生相互干扰？ 【答案】(1)出发时，遥控信号不会产生相互干扰 (2)出发秒钟时，遥控信号将会产生相互干扰 【分析】本题主要考查了勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）根据题意可得，，再根据勾股定理即可求解． （2）设出发秒钟时，遥控信号将会产生相互干扰，根据题意列方程求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，出发时，，， ∵，， ∴，， ∴， ∴出发时，遥控信号不会产生相互干扰． （2）解：设出发秒钟时，遥控信号将会产生相互干扰， 根据题意得，， 解得：，（舍去）， ∴出发秒钟时，遥控信号将会产生相互干扰． 【题型7.勾股定理求河宽】 【典例】如图，某人欲渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点C偏离欲到达的B点，结果他在水中实际游了，则该河的宽度为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了勾股定理的应用，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型．从实际问题中找出直角三角形，利用勾股定理进行计算即可得到该河流的宽度． 【详解】解：根据图中数据，由勾股定理可得：． ∴该河流的宽度为． 故选：C． 【跟踪专练1】如图，船工欲将一艘船横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点G偏离欲到达点F，结果他在水中实际划了，则该河流的宽度 m． 【答案】300 【分析】本题考查了勾股定理的应用．从实际问题中找出直角三角形，利用勾股定理解答． 【详解】解：． 故答案为：300． 【跟踪专练2】如图所示，为修铁路需凿通隧道，测得，，，，若每天凿，试计算需要几天才能把隧道凿通？ 【答案】天 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，解题关键是是运用勾股定理求边的长度，然后除以每天凿的隧道的长度，即可求出所需的天数． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，， ∴， （天）． 答：需要天才能把隧道凿通． 【题型8.求台阶上地毯长度】 【典例】某台阶的示意图如图所示．已知每个台阶的宽度都是cm，高度都是cm，连接，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】作出直角三角形后分别求得直角三角形的两直角边的长后，即可利用勾股定理求得斜边的长． 【详解】解：如图，由题意得： ， ， ∴． 故选：A． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是从实际问题中抽象出直角三角形． 【跟踪专练1】如图是一个三级台阶它的每一级的长、宽和高分别等于和，A和B这个的两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，这只蚂蚁从A点出发，沿着面爬到B点，最短线路为 ． 【答案】13 【分析】考查了利用台阶的平面展开图求最短路径问题，根据题意判断出长方形的长和宽是解题关键．只需要将其展开便可直观的得出解题思路．将台阶展开得到的是一个长方形，蚂蚁要从A点到B点的最短距离，便是长方形的对角线，利用勾股定理即可解出答案． 【详解】解：将台阶展开，如下图， 因为， 所以， 所以， 所以蚂蚁爬行的最短线路为． 故答案为：． 【跟踪专练2】某宾馆装修，需在一段楼梯台阶上铺上一块地毯，将楼梯台阶完全盖住．楼梯台阶剖面图如图，已知，，． (1)求BC的长； (2)若已知楼梯宽，需要购买________的地毯才能铺满所有台阶． 【答案】(1)； (2)． 【分析】此题考查了平移的性质，勾股定理的应用． （1）根据勾股定理即可求解； （2）根据题意，结合图形，把楼梯台阶的横竖分别向上向左平移，进一步求出面积即可． 【详解】（1）解：由题意可得，； （2）解：利用平移可知，把楼梯台阶的横竖分别向上向左平移，地毯的长为， ∴地毯面积为， 故答案为： 【题型9.汽车是否超速的判断】 【典例】交通法规规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过．如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路面车速检测仪正前方处，过了后，测得小汽车与车速检测仪间距离为，这辆小汽车超速了吗？ 【答案】超速 【分析】解直角三角形，求出，再求出小汽车的速度，从而可进行判断．本题主要考查的是勾股定理的应用，将实际问题转化为直角三角形中的数学问题是解题的关键． 【详解】∵是直角三角形，， ∴， ∴， ∴，． ∵， ∴这辆小汽车超速了． 【跟踪专练1】某条高速公路限速，如图，一辆大巴车在这条道路上沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪C处的正前方的B处，过了，大巴车到达A处，此时测得大巴车与车速检测仪间的距离为． (1)求的长． (2)这辆大巴车超速了吗? 【答案】(1) (2)大巴车超速了 【分析】本题考查了将实际问题转化为直角三角形中的数学问题，理解题意是解题关键． （1）在中，根据勾股定理即可求出的长； （2）根据（1）中结果求出大巴车的速度，即可判断出结果． 【详解】（1）解：由题意可知，，， ， （2）由（1）得：大巴车的速度为， ， 大巴车超速了． 【跟踪专练2】如图，小亮与小红进行遥控赛车游戏，终点为点A，小亮的赛车从点C出发，以4米/秒的速度由西向东行驶，同时小红的赛车从点B出发，以3米/秒的速度由南向北行驶，已知整个过程两辆赛车均沿直线行驶，米，米． (1)经过4秒，两赛车之间的距离是多少米？ (2)已知赛车之间的距离小于或等于25米时，遥控信号会产生相互干扰，若某一时刻，这两辆赛车距点A的距离之和为35米，则此时遥控信号是否会产生相互干扰？ 【答案】(1)两赛车之间的距离是30米 (2)当两赛车的距离之和为米时，遥控信号将会产生干扰 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． （1）根据题意求得米，米，得到 米，米，根据勾股定理即可得到结论； （2）设出发秒钟时，遥控信号将会产生相互干扰，根据题意列方程即可得到结论． 【详解】（1）解：如图， 出发秒钟时，米，米 米，米 米，米 （米） 答：两赛车之间的距离是30米． （2）解：设出发秒钟时，两赛车距 A 点的距离之和为 35 米， 由题意得，，解得 此时， 此时， 即两赛车间的距离是25米，所以遥控信号将会受到干扰， 答：当两赛车的距离之和为米时，遥控信号将会产生干扰． 【题型10.受台风影响范围判定】 【典例】今年，第十五号台风登陆江苏．如图，A市接到台风警报时，台风中心位于A市正南方向的B处，正以的速度沿方向移动．已知A市到的距离，如果在距台风中心的圆形区域内都将受到台风影响，那么A市经过（    ）个小时开始受到台风影响． A． B． C．6 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用．设台风中心移动到点E时，A市开始受到台风影响，分别在和中，利用勾股定理求出，即可求解． 【详解】解：如图，设台风中心移动到点E时，A市开始受到台风影响，此时， 在中，，， ∴， 在中，，， ∴， ∴， 时， 即A市经过个小时开始受到台风影响． 故选：D 【跟踪专练1】如图，在笔直的公路旁有一个城市书房C，C到公路的距离为80米，为100米，为300米．一辆公交车以3米/秒的速度从A处向B处缓慢行驶，若公交车鸣笛声会使以公交车为中心170米范围内受到噪音影响，那么公交车至少 秒不鸣笛才能使在城市书房C看书的读者不受鸣笛声影响． 【答案】70 【分析】如图，设米，由勾股定理求出和的长，则可求出答案． 【详解】解：如图，设米， ∵，米， ∴（米）， ∵米，米， ∴（米）， ∴（米）， ∴公交车鸣笛声会受到噪音影响的时间为（秒）， 故答案为：70． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 【跟踪专练2】广东省月份是台风登陆的高频季节，在这期间，西太平洋和南海海域水温较高，大气不稳定，热带扰动容易发展成台风，且此时副热带高压位置偏北，引导气流使台风更容易向广东沿海移动．如图，某沿海城市A接到台风预警，在该市正南方向的B处有一台风中心，沿方向以的速度移动，已知城市A到的距离为． (1)台风中心经过多长时间从B点移到D点？ (2)如果在距台风中心的圆形区域内都将受到台风的影响，那么A市受到台风影响的时间持续多少小时？ 【答案】(1)台风中心经过从B点移到D点 (2)A市受到台风影响的时间持续 【详解】（1）解：由题意可知，，，， ， ， 台风中心经过从B点移到D点； （2）解：在射线上取点E，F，使得， 由得， 在中，， ， ， A市受到台风影响的时间持续． 【题型11.等距选址问题】 【典例】小明从家出发向正北方向走了60m，接着向正东方向走到离家100m远的地方，小明向正东方向走了（    ） A．60m B．80m C．100m D．160m 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，熟记勾股定理的内容是解题的关键． 直接由勾股定理求解即可． 【详解】解：由题意可得，小明向正东方向走了 故选：B． 【跟踪专练1】如图，商场（点M）距公路（直线l）的距离（）为，在公路上有一车站（点N），车站距商场（）为，公交公司拟在公路l上建一个公交车停靠站（点P），要求停靠站（点P）到商场（点M）与到车站（点N）的距离相等，则停靠站到车站的距离（）为 ． 【答案】 【分析】本题考查了选址使到两地距离相等(勾股定理的应用)，解题关键是掌握勾股定理． 连结，利用勾股定理列出关于待求线段的方程求解． 【详解】解：连结， ∵停靠站（点P）到商场（点M）与到车站（点N）的距离相等， ∴， ∴， ∵商场（点M）距公路（直线l）的距离（）为，在公路上有一车站（点N），车站距商场（）为， ∴，， ∴（），（）， 解得：，， ∴停靠站到车站的距离（）为． 故答案为：． 【跟踪专练2】背景介绍：勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．千百年来，人们对它的证明门庭若市，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者，向常春在1994年构造发现了一个新的证法． 小试牛刀：把两个全等的直角三角形，，如图1放置，其三边长分别为、、．显然，，请用a、b、c分别表示出梯形、四边形、的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，可得到勾股定理，________________________ 则它们满足的关系式为________经化简，可得到勾股定理 知识运用： （1）如图2，铁路上A、B两点（看作直线上的两点）相距40千米，C、D为两个村庄（看作两个点），，，垂足分别为A、B，千米，千米，则两个村庄的距离为________千米（直接填空）； （2）在（1）的背景下，若千米，千米，千米，要在上建造一个供应站P、使得，求出的距离． 【答案】小试牛刀：；；；； 知识运用：（1）41；（2）（千米）； 【分析】本题考查勾股定理的证明，勾股定理，中垂线的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键： 小试牛刀：根据三角形的面积和梯形的面积可以表示出相应部分面积； 知识运用：（1）连接，过点作的垂线，根据垂直得到边长之间的关系，再用勾股定理即可求得． （2）作的垂直平分线，交于点，分别在和中用勾股定理表示出与联立方程求解即可． 【详解】解：小试牛刀：由图可知： ，     ，         ，     则它们满足的关系式为：． 知识运用： （1）如图2①，连接，作于点E，    则：，， ， 在中，由勾股定理，得， （千米）， ∴两个村庄相距41千米． （2）连接，作的垂直平分线交于点，则，    设千米，则千米， 在中， ， 在中，， ∵， ∴， 解得，， 即千米． 【题型12.最短距离求解】 【典例.】如图，在一个长方形草坪上，嵌入一根长方体的木条，已知米，米，该木条的较长的棱长与平行，露出地面部分的横截面是边长为1米的正方形，一只蚂蚁从点A爬过木条到达点C处需要走的最短路程是（   ） A．13米 B．10米 C．米 D．米 【答案】D 【分析】本题主要考查了平面展开最短路线问题，两点之间线段最短，解题的关键是将木块表面展开，然后根据两点之间线段最短解答． 【详解】解：由题意可知，将木条展开，相当于是个正方形的宽， ∴长为米；宽为6米， 于是最短路径为：（米）． 故选：D． 【跟踪专练1】如图，这是一个供滑板爱好者使用的U型池的示意图，该U型池可以看成是长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是直径为米的半圆，其边缘米，点E在上，米，一滑板爱好者从A点滑到E点，则他滑行的最短距离为 米． 【答案】20 【分析】本题考查了平面展开-最短路径问题，熟练掌握该知识点是关键． 要求滑行的最短距离，需将该U型池的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果，U型池的侧面展开图是一个长方形，此长方形的宽等于半径为的半圆的弧长，长方形的长等于米，然后问题可求解． 【详解】解：如图是其侧面展开图： 米，米，米， 在中，， 解得（负值舍去）， 故他滑行的最短距离约为20米； 故答案为：20． 【跟踪专练2】某学校要举办第四届运动会，现需装饰一根高为，底面半径为的圆柱（如图）．A，B分别是圆柱两底面圆周上的点，且点A，B在同一母线上，用一根彩带（宽度不计）从点A处顺着圆柱侧面绕3圈到点B，那么这根彩带的长度最短多少？ 【答案】最短为 【分析】本题考查勾股定理的实际应用，将立体图形展开，形成平面图形，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：∵用一根彩带（宽度不计）从点A处顺着圆柱侧面绕3圈到点B， ∴将圆柱的侧面展开图平铺三次（如图），则所求最短长度是图中的长， ∵圆柱底面半径为， ∴长方形的长为圆柱的底面周长的三倍，即， 长方形的宽为圆柱的高，即， 在中，； 答：这根彩带的长度最短为． 【题型13.三边构成三角形的判定】 【典例】下列各组数是勾股数的是（   ） A．，， B．5，， C．1，2， D．4，5，6 【答案】B 【分析】本题考查了勾股树（数）问题，判断三边能否构成直角三角形，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 勾股数必须是三个正整数，且满足勾股定理．逐项验证各选项即可． 【详解】解：∵勾股数需为正整数且满足， 对于A：，，不是正整数， ∴不是勾股数． 对于B：5，，均为正整数， 且，， ∴，∴是勾股数． 对于C：1，2，，但不是正整数， ∴不是勾股数． 对于D：4，5，6均为正整数， 但， ∴不是勾股数． 故选：B． 【跟踪专练1】已知的三边长分别为，，，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理逆定理和三角形面积公式，由三边长度，利用勾股定理逆定理得到三角形是直角三角形，根据直角三角形面积公式求解即可． 【详解】解：设，，， ，， ， 所以是直角三角形，且为直角边，为斜边， 故， 故答案为：． 【跟踪专练2】以下列四组数为边长，不能构成直角三角形的是（   ） A． B．4，3，5 C． D．8，15，17 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理的逆定理，即若三角形三边满足两小边的平方和等于最大边的平方，则该三角形为直角三角形．因此，需要计算每组数中两小边的平方和与最大边的平方是否相等，从而判断能否构成直角三角形即可． 【详解】解：，能构成直角三角形，不符合题意； B、，能构成直角三角形，不符合题意； C、，不能构成直角三角形，符合题意； D、，能构成直角三角形，不符合题意； 故选C． 【题型14.网格中直角三角形的判断】 【典例】如图，在3×4的正方形网格中， 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理与网格问题，勾股定理的逆定理；根据网格的特点可得三角形是等腰直角三角形，即可求解． 【详解】解：如图， ∵， ∴ ∴是等腰直角三角形， ∴， 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，已知每个小正方形的边长为1，若A，B，C是小正方形的顶点，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，三角形内角和定理，先结合网格以及勾股定理得，则，故，又因为，所以运用三角形内角和性质列式计算，即可作答． 【详解】解：观察网格，， ∵， 即， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 【跟踪专练2】如图在的网格中， 【答案】45 【分析】本题主要考查了网格与勾股定理，直角三角形的判定，等腰三角形的性质，平行线的性质，解题的关键是作出辅助线． 连接，证明得，根据平行线的性质得出，根据网格判定为等腰直角三角形，得出，根据即可求出结果． 【详解】解：如图，连接， 在和中， ， ∴ ∴． ∵， ∴． ∵，，， ∴，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴． 故答案为：45． 【题型15.利用勾股定理逆定理求解】 【典例】如图，五根小棒的长度分别是，，，，．现要将它们摆成两个直角三角形，下列摆法中符合要求的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，根据两直角边的平方和等于斜边的平方即可求解． 【详解】解：，， 为两个直角三角形的斜边， 故选：B． 【跟踪专练1】如图，在四边形中，，若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理以及勾股逆定理，三角形内角和性质，等边对等角，先结合，得，，又因为，故，所以，即可计算出的度数，即可作答． 【详解】解：连接，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， 则 即， ∴， ∴． 故答案为： 【跟踪专练2】如图，四边形中，．则四边形的面积是（    ） A．72 B．66 C．42 D．36 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理及直角三角形面积计算，解题的关键是通过连接对角线将四边形分割为两个直角三角形，利用勾股定理及其逆定理分析三角形形状． 连接，先在中用勾股定理求；再通过勾股定理逆定理判断为直角三角形；最后分别计算两个直角三角形的面积并求和，得到四边形面积． 【详解】解：连接，如图： 在中， ， ， ， 在中， ， ， ， ∴是直角三角形， ， ∴四边形的面积为． 【题型16.勾股定理逆定理的实际应用】 【典例】古埃及人曾经用如图所示的方法画直角：把一根长绳打上等距离的13个结，然后以3个结间距、4个结间距、5个结间距的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一角便是直角，这样做的依据是 ． 【答案】勾股定理的逆定理 【分析】此题考查了勾股定理的逆定理，属于基础题，注意仔细阅读题目所给内容，得到解题需要的信息，比较简单．根据勾股定理的逆定理即可判断． 【详解】解：设相邻两个结点的距离为，则此三角形三边的长分别为、、． ， 根据勾股定理的逆定理：如果三角形的两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形． 以、、为边长的三角形是直角三角形． 故答案为：勾股定理的逆定理． 【跟踪专练1】在下列三角形中，能从几何角度直接验证的图形是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】本题考查了勾股定理的逆定理和垂线段最短的性质，解题的关键是构造直角三角形并利用相关性质验证大小关系． 通过构造三边长为、、的直角三角形，利用勾股定理的逆定理证明其为直角三角形，再结合垂线段最短的性质验证． 【解答】解：如图，中，，，， ∵，， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴， ∵垂线段最短， ∴， ∴， 故A符合题意， 选项、、均无法通过几何角度直接验证， 故选：A． 【跟踪专练2】如图中，为钝角，边，的垂直平分线分别交于点，．若，则 度． 【答案】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，等边对等角，勾股定理的逆定理，三角形内角和定理，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．连接、，根据线段垂直平分线的性质得到，， 得到，， ，根据勾股定理的逆定理得到，根据三角形内角和定理计算即可． 【详解】解：如图所示，连接、， 边，的垂直平分线分别交于点，， ，， ，， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． . 1．若的三边、、满足，则形状为（   ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰三角形或直角三角形 【答案】D 【分析】本题考查因式分解、等腰三角形的判定、勾股定理逆定理的应用，解题的关键是通过代数变形得到边的关系． 通过因式分解将方程化为，结合三角形边长为正，得出或者，从而判断形状． 【详解】解：∵， ∴ ， ∴， ∴， ∴或者， ∴为等腰三角形或直角三角形 故选：D． .2．在中，，，的对边分别是a，b，c．下列条件中，不能判定是直角三角形的是（　　） A． B． C． D．，， 【答案】A 【分析】本题主要考查三角形内角和定理和勾股定理的逆定理，根据三角形内角和定理和勾股定理的逆定理，判断各选项是否能判定直角三角形． 【详解】解：A：设， ，则，∴，， ， ，无90°角，∴ 此三角形不是直角三角形，符合题意； B：设， ，则，∴ 满足勾股定理，能判定直角三角形，不符合题意； C：∵ ，∴，∴ 能判定直角三角形，不符合题意； D：∵ ， ，，∴ 满足勾股定理，能判定直角三角形，不符合题意； 故选：A． 3．在中，，则（    ） A．一定是锐角 B．一定是直角 C．一定是钝角 D．都有可能 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形边角关系，由已知条件入手，把进行变形，变形为，再利用三角形边角关系得,把其代入可得关系式，再利用完全平方公式得，可得，可得一定是锐角． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵是三角形的三边， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ∴一定是锐角． 故选：A． 4．在正方形网格中画格点三角形，下列四个三角形，是直角三角形的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理，勾股定理的逆定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 利用勾股定理、勾股定理的逆定理即可判断． 【详解】解：A．∵，，， ∴三角形不是直角三角形； B．∵，，，， ∴三角形不是直角三角形； C．∵，，，， ∴三角形是直角三角形； D．∵，，，, ∴三角形不是直角三角形． 故选：C． 5．如图，在方格中作以为一边的，要求点C也在格点上，这样的能作出（    ） A．2个 B．4个 C．6个 D．7个 【答案】C 【分析】此题主要考查了勾股定理逆定理，正确进行讨论，把每种情况考虑全，是解决本题的关键，当是斜边时有四个，当是直角边时有2个． 【详解】解：当是斜边时，则第三个顶点所在的位置有：C、D、E、H四个； 当是直角边，A是直角顶点时，第三个顶点是F点； 当是直角边，B是直角顶点时，第三个顶点是G． 因而共有6个满足条件的顶点． 故选C． 6．如图，在四边形中，，，，，且，则四边形的面积为（    ） A． B． C．31 D．37 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理的应用；先根据勾股定理求得的长，然后根据勾股定理的逆定理得出是直角三角形，进而根据三角形的面积公式即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴ ∵，， ∴ ∴ ∴是直角三角形， ∴四边形的面积为， 故选：B． 7．如图，公路上A、B两点相距，C、D为两村庄，已知，，于A，于B，现要在上建一个服务站E，使得C、D两村庄到E站的距离相等，则的长是（   ）． A．4 B．5 C．6 D．2 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的应用，掌握以上知识是解答本题的关键； 设，则，由勾股定理得：，，再根据，得到，然后即可求解； 【详解】解：设，则， 由勾股定理得：在中，， 在中，， 由题意可知：， ∴， 解得：， ∴的长是， ∴， 故选：C； 8．一架云梯长25米，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米，如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底端在水平方向滑动的距离为（   ） A．4米 B．6米 C．8米 D．15米 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理在实际生活中的运用，考查了直角三角形中勾股定理的运用，本题中正确的使用勾股定理求的长度是解题的关键． 根据梯子长度不会变这个等量关系，利用勾股定理，即可解题． 【详解】解：由题意知米，米，米， 在直角中，斜边， 米， 已知米，则米， 在直角中， 米， 米． 故选：C． 9．如图，是一个三级台阶，它的每一级长、宽、高分别是，和，、是这个台阶上两个相对的端点，点有一只蚂蚁，想去点吃可口的食物，则蚂蚁沿台阶爬行到点的最短距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平面展开—最短距离问题，勾股定理的应用，把立体几何图展开得到平面几何图，如图，然后利用勾股定理计算，则根据两点之间线段最短得到蚂蚁所走的最短路线长度．把立体几何图中的问题转化为平面几何图中的问题是解题的关键． 【详解】解：展开图为： 则，， 在中， ， ∴蚂蚁沿台阶爬行到点的最短距离是. 故选：B． 10．如图，一个棱长为的正方体盒子上，一只蚂蚁在的中点处，它到的中点的最短路线是（   ） A．8 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的拓展应用．“化立体为平面”是解决“怎样爬行最近”这类问题的关键． 分两种情形展开，利用勾股定理解决问题即可． 【详解】解：①沿展开，如图所示， 在中，，，， ∴； ②沿展开，如图所示： 在中，，，， ∴， ∵， ∴最短路线长是， 故选：D． 11．如图，铁路和公路在点处交汇，．公路上处距点240米，如果火车行驶时，周围200米以内会受到噪音的影响．那么火车在铁路上沿方向以20米/秒的速度行驶时，处受噪音影响的时间为（    ）    A．12秒 B．16秒 C．20秒 D．30秒 【答案】B 【分析】本题考查的是点勾股定理的应用，过点作，利用直角三角形的性质求出的长与相比较，发现受到影响，然后过点作，求出的长即可得出受噪音影响的时间． 【详解】解：如图：过点作，米， ，米， 米， 当火车到点时对处产生噪音影响，此时米， 米，米， 由勾股定理得：米，米，即米， 火车在铁路上沿方向以20米秒的速度行驶， 影响时间应是：秒． 故选：B．    12．如图，，，，，，请你连接．求： (1)的长； (2)四边形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了勾股定理与逆定理，根据勾股定理的逆定理判定是直角三角形是解题的关键． （1）根据勾股定理得出即可； （2）先根据勾股定理的逆定理得出是直角三角形，再根据三角形的面积公式解答即可． 【详解】（1）解：如图， ，，， ； （2）解：，， ， 是直角三角形， ， 在中，， 在中，， ． 13．台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心，常在周围几百千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向由点向点移动，已知点为一海港，且点与，两点之间的距离，分别为，，，以台风中心为圆心周围以内（包括）为受影响区域． (1)海港受台风影响吗？为什么？ (2)若海港受台风影响，且台风中心移动的速度为，台风影响海港持续的时间有多长？（若海港不受台风影响，则忽略此问） 【答案】(1)海港受台风影响，理由见解析 (2) 【分析】本题考查勾股定理，利用直角三角形的等面积法求高．找到台风影响海港的临界位置是解题关键． （1）用勾股定理的逆定理证是直角三角形，再用等面积法求到的距离，将该距离与进行比较，判断海港是否受影响． （2）以“台风中心到海港的距离等于”为临界状态，确定台风移动路径上的两个临界位置、，结合（1），用勾股定理算出临界位置到的距离，由对称性得，最后用“影响路段长度台风移动速度”得到持续时间． 【详解】（1）解：海港受台风影响，理由如下： 如图，过点作于点， ，，，， 是直角三角形，， 由三角形面积相等可得：， 即， ， 以台风中心为圆心周围以内（包括）为受影响区域， 海港受台风影响． （2）解：如图，设台风中心移动到点，处时刚好影响海港，连接，，则， 根据勾股定理，， ，， ， ， 台风中心移动的速度为， ， 台风影响海港持续的时间为． 答：． 14．图1是某超市的购物车，图2为其侧面简化示意图，测得支架，，两轮中心的距离，滚轮半径． (1)判断的形状，并说明理由． (2)若购物车上篮子的左边缘D与点A的距离，，且，和都与地面平行，求购物车上篮子的左边缘D到地面的距离． 【答案】(1)是直角三角形，理由见解析 (2) 【分析】本题主要考查勾股定理及其逆定理的运用，理解图示，掌握勾股定理的计算是解题的关键． （1）运用勾股定理逆定理判定即可； （2）运用勾股定理可得，运用等面积法可得，由此即可求解． 【详解】（1）解：是直角三角形，理由如下， ∵，，， 而，即， ∴， ∴是直角三角形. （2）解：∵，，， ∴ 过点A作于点G， 由（1）得，是直角三角形， ∴ ∴ ∵滚轮半径 ∴购物车上篮子的左边缘D到地面的距离为． 15．如图，超强台风“桦加沙”登陆时把一棵垂直于地面且高度为的大树被大风吹折，折断处与地面的距离，树尖恰好碰到地面．在大树倒下的方向上的点处停着一辆小轿车，，树枝落地时是否会砸着小轿车并说明理由． 【答案】树枝落地时会砸着小轿车；理由见解析 【分析】本题考查勾股定理，大树折断后，剩余部分的树干、折断的树干部分和地面之间构成了一个直角三角形，利用勾股定理计算出落地后树尖与树干的距离为，比较和的大小，可知大树砸不到小车． 【详解】解：树枝落地时不会砸着小轿车；理由如下： 由题意可知，， ∴为直角三角形， 在中，， 由勾股定理得：， ∵，， ∴树枝落地时会砸着小轿车． 16．白鹭洲公园是温州市民放风筝的最佳场所．某校八年级（1）班的小华和小轩学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度，他们进行了如下操作： ①测得水平距离的长为12米； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为20米； ③牵线放风筝的小明的身高为1.62米． (1)根据以上操作，可得风筝的垂直高度为_____； (2)若小明想让风筝沿方向下降11米，则他应该往回收线多少米？ (3)若小明以1米每秒的速度往左移动，风筝线也以1米每秒的速度延长，而风筝始终保持在点E的上方，风筝在经过t秒之后高度是上升还是下降，说出你的理由． 【答案】(1)17.62米 (2)他应该往回收线7米 (3)风筝高度上升，理由见详解 【分析】本题主要考查利用勾股定理解决实际问题，熟练利用勾股定理来解决实际问题是解题的关键． （1）首先在中，利用勾股定理求出的长度，最后再加上小明的身高即为风筝的垂直高度； （2）首先明确风筝沿方向下降11米后对应的的高度，即可在新的中，求出的长度，即可求出他应该往回收线多少米； （3）首先根据题意，列出经过t秒后，对应的水平距离变为米，风筝线长度变为米，即可求出此时风筝的总高度，判断此时风筝的总高度的大小即为上升还是下降． 【详解】（1）解：根据题意可得：米，米，， ∴在中，（米）， ∵小明的身高为1.62米， ∴（米）， 故答案为：17.62米； （2）解：如图， ∵风筝沿方向下降11米， ∴此时（米）， ∴此时（米）， ∴应该往回收线：（米）； （3）解：风筝高度上升，理由如下： 由题意，设经过t秒后，小明往左移动t米，水平距离变为米，风筝线长度变为米， ∴此时竖直高度为， ∴风筝的总高度为， ∵， ∴随t的增大而增大， ∴风筝高度上升． 17．台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心，常在周围几百千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向由点向点移动，已知点为一海港，且点与，两点之间的距离，分别为，，，以台风中心为圆心周围以内（包括）为受影响区域． (1)海港受台风影响吗？为什么？ (2)若海港受台风影响，且台风中心移动的速度为，台风影响海港持续的时间有多长？（若海港不受台风影响，则忽略此问） 【答案】(1)海港受台风影响，理由见解析 (2) 【分析】本题考查勾股定理，利用直角三角形的等面积法求高．找到台风影响海港的临界位置是解题关键． （1）用勾股定理的逆定理证是直角三角形，再用等面积法求到的距离，将该距离与进行比较，判断海港是否受影响． （2）以“台风中心到海港的距离等于”为临界状态，确定台风移动路径上的两个临界位置、，结合（1），用勾股定理算出临界位置到的距离，由对称性得，最后用“影响路段长度台风移动速度”得到持续时间． 【详解】（1）解：海港受台风影响，理由如下： 如图，过点作于点， ，，，， 是直角三角形，， 由三角形面积相等可得：， 即， ， 以台风中心为圆心周围以内（包括）为受影响区域， 海港受台风影响． （2）解：如图，设台风中心移动到点，处时刚好影响海港，连接，，则， 根据勾股定理，， ，， ， ， 台风中心移动的速度为， ， 台风影响海港持续的时间为． 答：． 18．【问题情境】如图①，已知圆柱底面的周长为，圆柱的高为，在圆柱的侧面上，过上底面的点A和下底面上与点A相对的点C嵌有一圈长度最短的金属丝，下底面的点B在点A的正下方． (1)【操作发现】现将圆柱侧面沿剪开，所得的圆柱侧面展开图是 ．（填字母） (2)【变式探究】如图②，若将金属丝从点B沿圆柱侧面绕四圈到达点A，求所需金属丝的最短长度． (3)【拓展应用】如图③，现有一个长、宽、高分别为，，（即，，）的无盖长方体木箱．现在箱外的点A处有一只蚂蚁，箱内的点C处有一滴蜂蜜．请你为蚂蚁设计一条路线，使其能以最短的路程吃到蜂蜜，并求出此最短路程．木板的厚度忽略不计 【答案】(1)A (2)所需金属丝的最短长度为 (3) 【分析】本题考查了平面展开-最短路径，理解转化思想是解题的关键． （1）要求丝线的长，需将圆柱的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果，在求线段长时，根据勾股定理计算即可； （2）若将金属丝从点B绕四圈到达点A，则所需金属丝最短长度是以周长的高为直角三角形的斜边长的4倍； （3）将玻璃杯侧面展开，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求，利用勾股定理求解即可得． 【详解】（1）解：∵两点之间线段最短， 故选：A； （2）解：若将金属丝从点B沿圆柱侧面绕四圈到达点A，则所需金属丝的最短长度与底面周长的4倍及高构成直角三角形．由勾股定理，得． 答：所需金属丝的最短长度为； （3）解：如图，先将长方体的侧面和侧面展开，再作点C关于的对称点N，连接交于点M，则． 所以； 根据两点之间线段最短可知，当A，M，N三点共线时，的值最小，即的值最小，此时就是蚂蚁爬行的路线，线段AN的长即为最短路程． 在中，，根据勾股定理，得： ． 所以最短路程为． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $专题03勾股定理寒假预习闯关必备讲义(2) 预习目标 1.记准勾股定理公式a+b2=c2(、为直角边，c为斜边)，知道逆定理可判定 直角三角形。 2.记住3组常见勾股数，比如3,4,5；5,12,13。 3.能认出梯子靠墙、旗杆测高等场景的直角三角形模型，列出三边等量关系。 4.会用定理求直角三角形边长，用逆定理判断三角形是否为直角三角形。 5.标记预习时不懂的问题，方便课堂提问。 预习内容概览 预习必备 1.基础核心概念 2.通用解题步骤 知识点梳理 3.应用场景：核心公式+等量关系 4.易错点提醒 1.梯落滑地：求滑落高度 2.旗杆高度的计算 3.小鸟直线飞行距离 4.求大树折断前的高度 常考题型 5.水杯中筷子长度问题 6.解决航海问题 精讲精炼 7.勾股定理求河宽 8.求台阶上地毯长度 9.汽车是否超速判断 10.台风影响范围判定 11.等距选址问题 12.最短路径求解 13.三边构成三角形的判定 14.网格中直角三角形的判断 15.利用勾股定理的逆定理求解 16.勾股定理逆定理的实际应用 强化巩固 (18题) 题型通关 3 知识点梳理 【知识点01.基础核心概念】 1.勾股定理 文字表述：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。 试卷第1页，共3页 符号公式：若直角边为、，斜边为c,则a2+b2=c2。 适用条件：仅针对直角三角形。 2.勾股定理逆定理 文字表述：若一个三角形的三边长、、满足a2+b2=c2,则该三角形是直角三角形 (c对应直角)。 作用：判定三角形是否为直角三角形。 3.勾股数 定义：满足a2+b2=c2的三个正整数。 特性：勾股数的正整数倍仍是勾股数（如3,4,5的2倍6,8,10）。 常见勾股数：3,4,5；5,12,13；7,24,25等。 【知识点02.通用解题步骤】 1.建模 将实际问题转化为直角三角形模型（找“垂直”“水平/竖直”对应的直角）。 2.定边： 区分已知边是直角边还是斜边（最长边通常为斜边）。 3.计算/判定： 用勾股定理：己知两边求第三边； 用逆定理：已知三边，验证a2+b2=c2判定直角三角形。 【知识点O3.应用场景：核心公式+等量关系】 应用分 具体场景 核心等量关系（公式） 类 梯子滑落高度 梯子长(c)2=墙高(a)2+梯底距墙距离(b)2(梯子为斜边) 小鸟飞行距离 飞行距离(c)2=水平距离(a)2+垂直距离(b)2 长度 河宽 河宽(a)2=对岸连线长(c)2-河岸横向距离(b)2 距离 台阶地毯长度 地毯长(c)2=台阶水平总长(a)2+台阶垂直总高(b)2 类 立体最短路径 最短路径（c)2=展开后水平边长(a)2+展开后竖直边长(b)2 (展开) 高度 旗杆高度 旗杆高(a)2=绳子长(c)2-绳端距旗杆底距离(b)2 试卷第1页，共3页 应用分 具体场景 核心等量关系（公式） 类 类 大树折断前高 1. 折断部分长(c)2=树桩高(a)2+折端距树根距离(b)2 度 2.总高=树桩高+折断部分长 水杯中筷子长 杯内筷子最长(c)2=水杯底面直径(a)2+水杯高度(b)2 度 实际 航海距离（航向 生活 两船距离(c)2=船1航行距离(a)2+船2航行距离(b)2 垂直) 类 1.行驶距离(c)2=水平路段长(a)2+垂直路段长(b)2 汽车超速判断 2.速度=距离÷时间（与限速比较） 观测点到台风路径的垂直距离(a)≤台风影响半径(c)→受 台风影响判断 影响；反之不受影响 【知识点04.易错点提醒】 1.误用勾股定理：在非直角三角形中直接使用公式。 2.混淆边的类型：求直角边时误用“a2+c2=b2”(应是b2=c2-a2)。 3.勾股数概念错误： 将非正整数（如2,3）误认为勾股数。 常考题型精讲精练 【题型1.梯滑落地：求滑落高度】 【典例】如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙的距离为 0.7米，顶端距离地面2.4米.若保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面 1.5米，则小巷的宽度为() A.1.8米 B.2米 C.2.5米 D.2.7米 【跟踪专练1】如图，一根竹竿长1.5米，斜靠在竖直的墙上，竹竿底端离墙0.9米，若竹竿 试卷第1页，共3页 底端向左滑动0.3米，那么竹竿顶端下滑米 D/B 【跟踪专练2】某数学兴趣小组开展了笔记本电脑的张角大小的实践探究活动.如图，当张 角为∠DAF时，顶部边缘D处离桌面的高度DE为20cm,此时底部边缘A处与E处间的距 离AE为I5cm,小组成员调整张角的大小继续探究，最后发现当张角为∠BAF时(D是B 的对应点)，顶部边缘B处到桌面的距离BC为7cm,则底部边缘A处与C之间的距离AC 为() 万 A.13cm B.15cm C.20cm D.24cm 【题型2.旗杆高度计算】 【典例】如图，小华将升旗的绳子拉紧到旗杆底端点B,绳子末端刚好接触到地面，然后拉 紧绳子使其末端到点D处，点D到地面的距离CD长为2m,点D到旗杆AB的水平距离为 8m,若设旗杆的高度AB长为m,则根据题意所列的方程是 2m B 8m C 【跟踪专练1】如图所示，小明想知道学校旗杆AB的高，他发现旗杆上的绳子垂到地面时 还多了1m,当他把绳子拉直，端点C刚好着地，下端C距离B点5m,则旗杆的高为() 试卷第1页，共3页 B A.5m B.6m C.12m D.13m 【跟踪专练2】学完勾股定理之后，同学们想利用升旗的绳子、卷尺测算出学校旗杆的高度， 爱动脑筋的小亮设计了一个方案：如图，小亮将升旗的绳子拉直到末端刚好接触地面，测得 此时绳子末端距旗杆底端2m,然后将绳子末端拉直到距离旗杆7m处，测得此时绳子末端 距离地面的高度为2m,如果设旗杆的高度为xm(滑轮上方的部分忽略不计)，求x的值。 X 、 7m- 12m 2m 【题型3.小鸟直线飞行距离】 【典例】如图，一段与水平面成30°角的斜坡上有两棵树，两棵树水平距离为6√5m,树的 高度都是4m· 一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞_m·() B 30° 6v3m A.6√3 B.8 C.11 D.12 【跟踪专练1】如图，有两棵树，一棵高6米，另一棵高3米，两树相距4米，一只鸟从一 棵树的树顶飞到另一棵树的树顶，问小鸟至少飞行米 试卷第1页，共3页 【跟踪专练1】如图所示，有两根直杆隔河相对，一杆高30m,另一杆高20m,两杆相距 50m.现两杆上各有一只鱼鹰，他们同时看到两杆之间的河面上E处浮起一条小鱼，于是 以同样的速度同时飞下来夺鱼，结果两只鱼鹰同时叼住小鱼，则两杆底部距小鱼E处的距 离各是多少？ A 【题型4.求大树折断前的高度】 【典例】如图，一木杆在离地面3m处折断，木杆顶端落在离木杆底端4m处.木杆折断之 前的高度是() A.7m B.8m C.9m D.10m 【跟踪专练1】如图，一棵树（树干与地面垂直)高8米，在一次强台风中树被强风折断， 倒下后的树顶C与树根A的距离为4米，则这棵树断裂处点B离地面的高度AB的值 为 【跟踪专练2】2025年第18号台风“桦加沙”登陆期间，部分地区受到影响.如图所示，一 棵垂直于地面且高度为8米的树木被台风折断，折断后树顶B落在离树根底部C的4米处， 求这棵树在离地面多高处被折断. 试卷第1页，共3页 B 【题型5.水杯中筷子长度问题】 【典例】已知某个抽屉的底面是一个长40cm，宽30cm的矩形，现打算贴抽屉底面放一根 木棒（不计木棒粗细），那么这根木棒最长是() A.40cm B.45cm C.50cm D.55cm 【跟踪专练1】如图，将一根长30cm的玻璃棒，放在底面直径为10cm,高为24cm的圆柱 形水杯中，设玻璃棒露在杯子外面的长度为hcm,则h的取值范围是 【跟踪专练2】小明在参观我国古代园林时，发现一个有趣的景观：一个正方形的莲花池， 池中心有一支荷花高出水面1尺（如图）.一阵风吹过，荷花被吹倒，荷花顶端恰好到达池 边的水面.如果荷花与水面相交点离池边2尺，请你帮小明算一算池塘的水深和荷花的长度. (注：1尺=10寸，结果用尺表示) D 0的 【题型6.解决航海问题】 【典例】如图，某港口P位于东西方向的海岸线上.“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口， 各自沿一固定方向航行，“远航”号沿东北方向航行，每小时航行16海里，“海天”号沿西北方 向航行，每小时航行12海里.它们离开港口1.5小时后分别位于点Q,R处，此时两船的距离 试卷第1页，共3页 是() E A.32海里 B.42海里 C.40海里 D.30海里 【跟踪专练1】甲轮船以每小时18海里的速度从港口O出发向东北方向航行，同时乙轮船以 每小时24海里的速度从港口0出发向西北方向航行，1小时后，甲乙两轮船之间距离为 海里 【跟踪专练2.】小王与小林进行遥控赛车游戏，小王的赛车从点C出发，以4m/s的速度由 西向东行驶，同时小林的赛车从点B出发，以3ms的速度由南向北行驶（如图），己知赛 车之间的距离小于或等于25m时，遥控信号会产生相互干扰，AC=40m,AB=30m· 北 C A →东 B (1)出发3s时，遥控信号是否会产生相互干扰？ (2)出发几秒钟时，遥控信号将会产生相互干扰？ 【题型7.勾股定理求河宽】 【典例】如图，某人欲渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点C偏离欲到达的B点 240m,结果他在水中实际游了510m,则该河的宽度为() A.300m B.400m C.450m D.480m 【跟踪专练1】如图，船工欲将一艘船横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点G偏离 欲到达点F400m,结果他在水中实际划了500m,则该河流的宽度EF=m. 试卷第1页，共3页 G E 【跟踪专练2】如图所示，为修铁路需凿通隧道AC,测得∠A=53°，∠B=37°， AB=5km,BC=4km,若每天凿0.3km,试计算需要几天才能把隧道AC凿通？ 【题型8.求台阶上地毯长度】 【典例】某台阶的示意图如图所示.已知每个台阶的宽度都是20cm,高度都是10cm,连接 AB,则AB=() A ◇ B A.130cm B.140cm C.150cm D.160cm 【跟踪专练1】如图是一个三级台阶它的每一级的长、宽和高分别等于5cm,3cm和1cm,A 和B这个的两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，这只蚂蚁从A 点出发，沿着面爬到B点，最短线路为 cm 【跟踪专练2】某宾馆装修，需在一段楼梯台阶上铺上一块地毯，将楼梯台阶完全盖住.楼 梯台阶剖面图如图，己知∠C=90°，AC=3m,AB=5m. 50m 3m 试卷第1页，共3页 (I)求BC的长； (2)若己知楼梯宽2.8m,需要购买 m2的地毯才能铺满所有台阶 【题型9.汽车是否超速的判断】 【典例】交通法规规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过70km/h·如图，一辆小汽车 在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路面车速检测仪正前方30m处，过了2s后， 测得小汽车与车速检测仪间距离为50m,这辆小汽车超速了吗？ 小汽车笼 一9小汽车 、A 检测仪 【跟踪专练1】某条高速公路限速100km/h,如图，一辆大巴车在这条道路上沿直线行驶， 某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪C处的正前方50m的B处，过了4s,大巴车到达A 处，此时测得大巴车与车速检测仪间的距离为130m. A0--- oB -8C 检测仪 (1)求AB的长 (2)这辆大巴车超速了吗？ 【跟踪专练2】如图，小亮与小红进行遥控赛车游戏，终点为点A,小亮的赛车从点C出发， 以4米秒的速度由西向东行驶，同时小红的赛车从点B出发，以3米秒的速度由南向北行 驶，已知整个过程两辆赛车均沿直线行驶，AC=40米，AB=30米. 北 》东 B (1)经过4秒，两赛车之间的距离是多少米？ (2)已知赛车之间的距离小于或等于25米时，遥控信号会产生相互干扰，若某一时刻，这两 辆赛车距点A的距离之和为35米，则此时遥控信号是否会产生相互干扰？ 试卷第1页，共3页