7.5 正态分布-【精讲精练】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册配套练习（人教A版）

[必备知识·基础巩固]

1．已知某批零件的长度误差(单位：mm)服从正态分布N(0，32)，从中随机取一件，其长度误差落在区间(3，6)内的概率为(　　)

附：若随机变量X服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ<X<μ＋σ)≈68.27%，P(μ－2σ<X<μ＋2σ)≈95.45%.

A．4.56%　　　　　　 B．13.59%

C．27.18%    D．31.74%

解析　由正态分布的概率公式知P(－3<X<3)＝0.682 7，P(－6<X<6)＝0.954 5，

故P(3<X<6)＝[P(－6<X<6)－P(－3<X<3)]＝(0.954 5－0.682 7)＝0.135 9＝13.59%.

答案　B

2．设随机变量X～N(1，52)，且P(X≤0)＝P(X>a－2)，则实数a的值为(　　)

A．3    B．4

C．5    D．6

解析　因为随机变量X～N(1，52)，且P(X≤0)＝P(X>a－2)，所以由正态分布密度曲线的对称性(对称轴是x＝1)可知，a－2＝2×1，解得a＝4.

答案　B

3．(多选题)已知三个正态密度函数φi(x)＝· (x∈R，i＝1，2，3)的图象如图所示，则下列结论正确的是(　　)

A．σ1＝σ2    B．μ1>μ2

C．μ1＝μ2    D．σ2<σ3

解析　由图可知μ2＝μ3>μ1，σ1＝σ2<σ3，故AD正确．

答案　AD

4．(多选题)(2024·新课标Ⅰ卷)随着“一带一路”国际合作的深入，某茶叶种植区多措并举推动茶叶出口．为了解推动出口后的亩收入(单位：万元)情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值＝2.1，样本方差s2＝0.01.已知该种植区以往的亩收入X服从正态分布N(1.8，0.12)，假设推动出口后的亩收入Y服从正态分布N(，s2)，则(若随机变

量Z服从正态分布N(μ，σ2)，则P(Z<μ＋σ)≈0.841 3)(　　)

A．P(X>2)>0.2    B．P(X>2)<0.5

C．P(Y>2)>0.5    D．P(Y>2)<0.8

解析　由题意可知，X～N(1.8，0.12)，

所以P(X>2)<P(X>1.8)＝0.5，

P(X<1.9)≈0.841 3，

所以P(X>2)<P(X≥1.9)＝1－P(X<1.9)≈1－0.841 3＝0.158 7<0.2，

所以A错误，B正确．

因为Y～N(2.1，0.12)，

所以P(Y<2.2)≈0.841 3，

P(Y>2)>P(Y>2.1)＝0.5，

所以P(2<Y<2.1)＝P(2.1<Y<2.2)＝P(Y<2.2)－P(Y≤2.1)≈0.841 3－0.5＝0.341 3，

所以P(Y>2)＝P(2<Y<2.1)＋P(Y≥2.1)≈0.341 3＋0.5＝0.841 3 >0.8，

所以C正确，D错误．

综上，选BC.

答案　BC

5．已知随机变量X服从正态分布N(2，σ2)，且P(2＜X≤2.5)＝0.36，则P(X＞2.5)＝________．

解析　由题意可知，P(X>2)＝0.5，

故P(X>2.5)＝P(X>2)－P(2<X≤2.5)＝0.14.

答案　0.14

6．某市有48 000名学生，一次考试后数学成绩服从正态分布，平均分为80，标准差为10，从理论上讲，在80分到90分之间有________人．

解析　设X表示该市学生的数学成绩，则X～N(80，102)，则P(80－10<X≤80＋10)＝0.682 7.所以在80分到90分之间的人数为48 000××0.682 7≈16 385(人).

答案　16 385

7．已知X～N(4，σ2)，且P(2<X<6)≈0.682 7，则σ＝________，P(|X－2|<4)＝________．

解析　∵X～N(4，σ2)，∴μ＝4.

∵P(2<X<6)≈0.682 7，

∴∴σ＝2.

∴P(|X－2|<4)＝P(－2<X<6)

＝P(－2<X<2)＋P(2<X<6)

＝[P(－2<X<10)－P(2<X<6)]＋P(2<X<6)

＝P(－2<X<10)＋P(2<X<6)＝0.84.

答案　2　0.84

8．设X～N(3，42)，试求：

(1)P(－1<X≤7)；

(2)P(7<X≤11)；

(3)P(X≥11).

解析　∵X～N(3，42)，∴μ＝3，σ＝4.

(1)P(－1<X≤7)＝P(3－4<X≤3＋4)

＝P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝0.682 7.

(2)∵P(7<X≤11)＝P(－5<X≤－1)，

∴P(7<X≤11)

＝[P(－5<X≤11)－P(－1<X≤7)]

＝[P(3－8<X≤3＋8)－P(3－4<X≤3＋4)]

＝[P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)－P(μ－σ<X≤μ＋σ)]

＝(0.954 5－0.682 7)＝0.135 9.

(3)∵P(X≥11)＝P(X≤－5)，

∴P(X≥11)＝[1－P(－5<X≤11)]

＝[1－P(3－8<X≤3＋8)]

＝[1－P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)]

＝(1－0.954 5)＝0.022 75.

[关键能力·综合提升]

9．(多选题)某厂生产的零件外径X～N(10，0.04)，今从该厂上午、下午生产的零件中各取一件，测得其外径分别为9.9 cm，9.3 cm，则可认为(　　)

A．上午生产情况正常 B．下午生产情况异常

C．下午生产情况正常 D．上午生产情况异常