第14讲 正态分布（七大题型+思维导图+知识梳理+课后提升练）-2025-2026学年高二数学春季讲义（人教A版选择性必修第三册）

本讲义聚焦高中数学正态分布核心知识点，系统梳理连续型随机变量概念、正态密度函数与曲线定义、均值方差性质、正态曲线七大特点及3σ原则，构建从概念到性质再到解题策略（对称轴、标准差、分布区间）的完整学习支架。 资料以丰富题型（密度函数、曲线特点、概率计算等）为特色，通过例题与变式训练培养数学思维（推理、运算），结合成绩分布等实际应用题型引导用数学眼光观察现实世界，课中辅助教师教学，课后助力学生查漏补缺，提升应用意识与解题能力。

第14讲 正态分布 【人教A版】 模块一 正态分布 1．连续型随机变量 随机变量的取值充满某个区间甚至整个数轴，但取一点的概率为0，称这类随机变量为连续型随机变量. 2．正态分布 (1)正态曲线 函数f(x)=，x∈R.其中μ∈R，σ>0为参数.我们称f(x)为正态密度函数，称它的图象为正态密度曲线，简称正态曲线. (2)正态分布 若随机变量X的概率分布密度函数为f(x)，则称随机变量X服从正态分布，记为X~N(μ,σ2).特别地，当μ=0，σ=1时，称随机变量X服从标准正态分布. (3)正态分布的均值和方差 若X~N(μ,σ2)，则E(X)=μ，D(X)=σ2. 3．正态曲线的特点 (1)曲线位于x轴上方，与x轴不相交； (2)曲线是单峰的，它关于直线x=μ对称； (3)曲线在x=μ处达到峰值； (4)当|x|无限增大时，曲线无限接近x轴； (5)对任意的σ>0，曲线与x轴围成的面积总为1； (6)在参数σ取固定值时，正态曲线的位置由μ确定，且随着μ的变化而沿x轴平移，如图甲所示； (7)当μ取定值时，正态曲线的形状由σ确定，当σ较小时，峰值高，曲线“瘦高”，表示随机变量X的分布比较集中；当σ较大时，峰值低，曲线“矮胖”，表示随机变量X的分布比较分散，如图乙所示. 4．3σ原则 (1)正态总体在三个特殊区间内取值的概率 P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.6827； P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.9545； P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.9973. (2)3σ原则 在实际应用中，通常认为服从正态分布N(μ,σ2)的随机变量X只取[μ-3σ，μ+3σ]中的值，这在统计学中称为3σ原则. 5．正态分布问题的解题策略 解决正态分布问题有三个关键点： (1)对称轴x=μ； (2)标准差σ； (3)分布区间. 利用对称性可求指定范围内的概率值；由μ，σ，分布区间的特征进行转化，使分布区间转化为3σ特殊区间，从而求出所求概率.注意只有在标准正态分布下对称轴才为x=0. 【注】若X服从正态分布，即X～N(μ,σ2)，要充分利用正态曲线关于直线x=μ对称和曲线与x轴之间的面积为1解题. 【题型1 正态密度函数】 【例1】（24-25高二下·湖北武汉·期末）设随机变量，则X的密度函数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据正态分布的定义可求得，从而可求X的密度函数. 【解答过程】因为，所以，即， 所以X的密度函数为A. 故选：A. 【变式1.1】（24-25高二下·江苏·课后作业）已知正态分布密度函数，，则分别是（  ） A．0和4 B．0和2 C．0和8 D．0和 【答案】B 【解题思路】将化为正态密度函数的定义形式，即可求出. 【解答过程】， . 故选：B. 【变式1.2】（24-25高二下·陕西宝鸡·期末）已知三个正态分布密度函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【解题思路】结合正态分布密度函数中参数表示其均值大小，表示离散程度，利用图象形状即可判断出结论. 【解答过程】根据正态分布密度函数中参数的意义， 结合图象可知，对称轴位置相同，所以可得； 且都在的右侧，即， 比较和图像可得，其形状相同，即， 又的离散程度比和大，所以可得； 故选：B. 【变式1.3】（24-25高二·全国·课堂例题）若一个正态密度函数是一个偶函数，且该函数的最大值为，求该正态密度函数的解析式． 【答案】 【解题思路】可根据正态密度函数的性质，结合偶函数的特点以及函数最大值来确定正态密度函数解析式中的参数. 【解答过程】由于该正态密度函数是一个偶函数， 所以正态曲线关于轴对称，即，又该函数的最大值是， 所以，解得． 故所求正态密度函数的解析式为. 【题型2 正态曲线的特点】 【例2】（24-25高二下·山东菏泽·期末）两个正态分布和的密度函数图象如图所示，则（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【解题思路】由正态曲线和均值、标准差的意义判断即可. 【解答过程】由正态分布和的密度函数图象， 的对称轴在的对称轴的左侧， 故， 由图象可得的数据的集中程度相比更加分散， 根据方差的意义可得， 故选：C. 【变式2.1】（24-25高二下·山东淄博·月考）设，这两个变量的正态曲线如图所示，下列说法正确的是（    ） A． B． C． D．若，则 【答案】D 【解题思路】由已知图象可得与，与的大小关系，然后利用正态分布的性质逐一分析各选项即可得解. 【解答过程】由正态分布密度曲线图象的对称性知，，由图象形状可得，如图， 对于 A，由图象可得，故A错误； 对于 B，若，则，故B错误； 对于 C，由图结合图象的对称性知，，故C错误； 对于D，若，结合图象的对称性知，故D正确. 故选：D. 【变式2.2】（2025·天津·二模）如图是两个正态分布的密度函数图象，则下列表述正确的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【解题思路】根据给定的函数图象，结合正态分布的密度函数图象性质判断即得. 【解答过程】令对应的正态密度函数分别为， 则函数图象的对称轴分别为，且， 观察图象，得，，所以，. 故选：C. 【变式2.3】（24-25高二下·云南昆明·期中）李明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他分别记录了50次坐公交车和50次骑自行车所花的时间，经数据分析得到，假设坐公交车用时和骑自行车用时都服从正态分布，，．和的正态曲线如图所示．则下列结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据给定的正态分布密度曲线，结合正态分布的对称性和性质，逐项判定，即可求解. 【解答过程】对于，随机变量服从正态分布，且， 所以随机变量的方差，故错误； 对于，根据给定的正态分布密度曲线图象，可得，， 所以，故正确； 对于，根据正态分布密度曲线图象，可得时随机变量对应的曲线与轴围成的面积小于时随机变量对应的曲线与轴围成的面积， 所以，故错误； 对于，根据正态分布密度曲线图象，可得，， 即，所以D错误. 故选：. 【题型3 利用正态曲线的性质求概率】 【例3】（24-25高二下·海南·月考）设，且，则（    ） A．0.3 B．0.35 C．0.4 D．0.45 【答案】A 【解题思路】应用正态分布的对称性有，，即可求概率. 【解答过程】由对称性质知，且， 又， 所以. 故选：A. 【变式3.1】（24-25高二下·山东泰安·期末）已知随机变量，若，则（   ） A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.7 【答案】A 【解题思路】由正态分布的对称性求解即可. 【解答过程】因为，所以， 若，则，所以. 故选：A. 【变式3.2】（24-25高二下·辽宁沈阳·期末）若随机变量服从正态分布，且，则（    ） A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.6 【答案】B 【解题思路】根据题意，利用正态分布曲线的对称性质，求得，进而求得的值. 【解答过程】因为随机变量服从正态分布，且， 所以，所以． 故选：B． 【变式3.3】（24-25高二下·湖北襄阳·期末）已知随机变量，，则（   ） A．0.15 B．0.2 C．0.3 D．0.35 【答案】C 【解题思路】由正态分布的对称性即可求解. 【解答过程】已知随机变量，， 则 . 故选：C. 【题型4 根据正态曲线的对称性求参数】 【例4】（24-25高二下·广西桂林·开学考试）设随机变量服从正态分布.若，则（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】A 【解题思路】利用正态密度曲线的对称性可得出关于的等式，解之即可. 【解答过程】因为随机变量服从正态分布，， 所以，解得. 故选：A. 【变式4.1】（24-25高二下·天津·期末）设为随机变量，若，当时，的值为（   ） A．3 B．5 C．7 D．9 【答案】A 【解题思路】根据正态分布的对称性求解即可. 【解答过程】随机变量服从正态分布，且满足， ，解得：. 故选：A. 【变式4.2】（24-25高二下·甘肃甘南·期末）若随机变量，且，则的值为（   ） A．0 B．1 C．2 D．4 【答案】C 【解题思路】利用正态分布曲线的对称性即可求解. 【解答过程】因为随机变量，所以正态曲线的对称轴是， 又，可得，则. 故选：C. 【变式4.3】（24-25高二下·陕西榆林·期末）已知随机变量服从正态分布，若，则（    ） A． B．0 C．2 D．6 【答案】D 【解题思路】通过正态分布的对称性来求解的值. 【解答过程】由题干知，随机变量服从正态分布， 正态分布的图像关于对称， 又， 即，解得． 故选：D． 【题型5 利用3σ原则求概率】 【例5】（24-25高二下·新疆乌鲁木齐·期末）某地区有20000名考生参加了高三第二次调研考试.经过数据分析，数学成绩X近似服从正态分布，则数学成绩位于的人数约为（   ） 参考数据：，，. A．790 B．2720 C．430 D．1360 【答案】C 【解题思路】根据题设条件结合对称性得出数学成绩位于的人数. 【解答过程】由题意可知，， 则数学成绩位于的人数约为. 故选：C. 【变式5.1】（24-25高二下·湖南邵阳·期末）已知某市高中男生的身高X（单位：）近似服从正态分布，则从该市随机抽取一名高中男生，其身高位于到之间的概率约为（   ） 参考数据： A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据正态分布的原则，计算概率即可. 【解答过程】由题意知， 则， 故选：B. 【变式5.2】（24-25高二下·山东临沂·期末）已知0.9973.某体育器材厂生产一批篮球，单个篮球的质量（单位：克）服从正态分布，从这一批篮球中随机抽检300个，则被抽检的篮球的质量不小于596克的个数约为（    ） A．286 B．293 C．252 D．246 【答案】C 【解题思路】根据正态分布的性质，结合所给区间概率公式进行求解即可. 【解答过程】由题意可知：， 由所给公式， 即， 所以， 因此被抽检的篮球的质量不小于596克的个数约为， 故选：C. 【变式5.3】（24-25高二上·吉林·期末）某学校高二年级数学联考成绩，如果规定大于或等于105分为数学成绩“良好”，那么在参加考试的学生中随机选择一名，他的数学成绩为“良好”的概率是（   ） （提示：若，则，，）=0.9973） A．0.0455 B．0.15865 C．0.3173 D．0.34135 【答案】B 【解题思路】根据正态分布的性质计算可得. 【解答过程】因为，所以，， 所以. 故选：B. 【题型6 正态分布的实际应用】 【例6】（24-25高二下·福建福州·期末）李明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到：坐公交车平均用时30min，样本方差为36；骑自行车平均用时34min，样本方差为4．假设坐公交车用时（单位：min）和骑自行车用时（单位：min）都服从正态分布，正态分布中的参数用样本均值估计，参数用样本标准差估计，则（   ） A． B．若某天只有34min可用，李明应选择自行车 C． D．若某天只有40min可用，李明应选择公交车 【答案】C 【解题思路】利用正态分布曲线的意义以及对称性，对四个选项逐一分析判断即可． 【解答过程】对于A，依题意随机变量的均值为，方差为，即，，， 随机变量的均值为，方差为，则，，； 所以，故A错误； 对于C，，， 因为， 所以，故C正确； 对于B，与的密度曲线大致如下， 若某天只有34min可用，由图可知，所以李明应选择公交车，故B错误． 对于D，若某天只有40min可用，由图可知， 所以，所以李明应选择自行车，故D错误． 故选：C． 【变式6.1】（24-25高二下·河南南阳·期末）西峡猕猴桃是河南特产、中国国家地理标志产品.据统计，西峡县某种植基地新品种猕猴桃的单果质量（单位：g）近似服从正态分布，现有随机采摘的该新品种猕猴桃10000个，估计其中单果质量不低于70g的猕猴桃个数为（   ） 参考数据：若，则，，. A．8413 B．9544 C．9772 D．9987 【答案】C 【解题思路】计算出，从而估计出单果质量不低于70g的猕猴桃个数. 【解答过程】，， 又， 故， 估计其中单果质量不低于70g的猕猴桃个数为. 故选：C. 【变式6.2】（24-25高二下·云南昆明·期中）某商场在五一假期间开展了一项有奖闯关活动，并对每一关根据难度进行赋分，已知甲、乙、丙三人都参加了该项闯关活动.每个人闯关活动累计得分服从正态分布，且满分为450分，现要根据得分给共2500名参加者中得分前400名发放奖励. (1)假设该闯关活动平均分数为171分，351分以上共有57人，已知甲的得分为270分，问甲能否获得奖励，请说明理由； (2)丙得知他的分数为430分，而乙告诉丙：“这次闯关活动平均分数为201分，351分以上共有57人”，请结合统计学知识帮助丙辨别乙所说信息的真伪. 附：若随机变量，则；；. 【答案】(1)甲能够获得奖励，理由见详解 (2)乙所说为假 【解题思路】（1）由，且，计算，求出前400名参赛者的最低得分，与甲的得分比较即可； （2）假设乙所说为真，由计算，求出，利用小概率事件即可得出结论． 【解答过程】（1）甲能够获得奖励，理由如下： 设此次闯关活动的分数记为. 由题意可知，因为， 且， 所以，则；而， 且， 可知前400名参赛者的最低得分高于，而甲的得分为270分， 所以甲能够获得奖励. （2）假设乙所说为真，则， ， 而，所以，从而， 而， 所以为小概率事件，即丙的分数为430分是小概率事件，可认为其一般不可能发生，但却又发生了，所以可认为乙所说为假. 【变式6.3】（24-25高二下·河南·月考）在一条生产铜棒的生产线上，生产的成品铜棒的直径为（单位：，以下同），且. (1)分别写出，的值； (2)若生产这样的成品铜棒10000根，试估计直径在内的铜棒根数； (3)若质检员从这些铜棒中随机抽取1根铜棒，求这根铜棒的直径在内的概率. 参考数据：若，则，，. 【答案】(1)，； (2)； (3). 【解题思路】（1）由正态分布概念可确定，； （2）注意到，由题利用可得答案； （3）由，结合题意可得答案. 【解答过程】（1）, 则，； （2）， 因，则直径在内概率约为， 则直径在内的铜棒根数估计为； （3）， 因，， 则， ， 则. 【题型7 正态分布与其他知识综合】 【例7】（24-25高二下·山东泰安·期末）已知随机变量，且，则的展开式中的系数为（    ） A． B． C．8 D．24 【答案】A 【解题思路】利用正态分布性质可求得的值，再利用二项式定理的通项即可求出结果. 【解答过程】易知随机变量，其对称轴为， 又，所以，解得； 因此， 显然含的项为， 所以的展开式中的系数为. 故选：A. 【变式7.1】（24-25高二下·安徽安庆·月考）某次考试成绩X服从正态分布.若，则从参加这次考试的考生中任意选取3名考生，至少有2名考生的成绩高于90的概率为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据正态分布的对称性求出的值，再结合二项分布的概率即可求得答案. 【解答过程】由于考试成绩X服从正态分布，， 故， 从参加这次考试的考生中任意选取3名考生，成绩高于90的人数服从于二项分布， 故至少有2名考生的成绩高于90的概率为， 故选：B. 【变式7.2】（24-25高二上·江苏宿迁·期末）书籍是精神世界的入口，阅读让精神世界闪光，阅读逐渐成为许多人的一种生活习惯，每年4月23日为世界读书日，某研究机构为了解某地年轻人的阅读情况，通过随机抽样调查了100位年轻人，对这些人每天的阅读时间（单位：分钟）进行统计，得到样本的频率分布直方图，如图所示.    (1)若年轻人每天阅读时间近似地服从正态分布，求； (2)为了进一步了解年轻人的阅读方式，研究机构采用分层抽样的方法从每天阅读时间位于分组的年轻人中抽取10人，再从中任选3人进行调查，求抽到每天阅读时间位于的人数的分布列和数学期望. 附参考数据：若，则①；②；③ 【答案】(1)74 (2)分布列见解析， 【解题思路】（1）依据，利用正态分布的对称性计算即可； （2）先由题意得到随机变量的取值，并分别计算相应的概率，然后列出分布列，并按期望公式计算即可. 【解答过程】（1）由题意知，则， 所以； （2）由于和的频率之比为：， 故抽取的10人中，和分别为：2人，4人，4人， 随机变量的取值可以为， ， 的分布列为： 0 1 2 3 【变式7.3】（24-25高二下·广东潮州·月考）为提升工作效率，公司对员工进行了培训.公司规定：只有培训合格才能上岗，否则将补训. (1)若员工甲、乙、丙培训合格的概率分别为，求甲、乙、丙三人中至少有一人不需要补训的概率； (2)为了激发员工的培训积极性，M公司在培训过后举办了一次知识竞赛.已知参加这次知识竞赛员工的竞赛成绩近似服从正态分布，若该集团共有2000名员工，试估计这些员工中成绩超过93分的人数；(结果精确到个位) (3)参加了知识竞赛的员工还可继续参与第二轮答题赢重奖活动，活动规则如下：共有3道题，每答对1道题奖励现金800元.已知参与知识竞赛的员工甲答对每道题的概率均为且每题答对与否都相互独立，记甲获得总奖金为元，求的分布列与数学期望. 参考数据：若，则，，. 【答案】(1) (2)317 (3)分布列见解析， 【解题思路】（1）由题及对立事件概率性质可得答案； （2）由正态分布性质结合题意可得答案； （3）由题可得X的所有可能取值为0，800，1600，2400，然后可得分布列及对应期望. 【解答过程】（1）分别记甲、乙、丙培训合格为事件A，B，C， 则甲、乙、丙三人中至少有一人不需要补训的概率： . （2）由已知得的近似值为90，的近似值为3， 所以 而， 所以估计这些员工中成绩超过93分的人数为317. （3）X的所有可能取值为0，800，1600，2400. 且，， ，. 所以的分布列为 0 800 1 600 2 400 一、单选题 1．（24-25高二下·福建厦门·期中）已知随机变量，且，则（   ） A．0.14 B．0.22 C．0.28 D．0.36 【答案】A 【解题思路】利用正态密度曲线的对称性可求得的值. 【解答过程】利用正态密度曲线的对称性可求得的值 因为随机变量，且， 则， 所以. 故选：A. 2．（25-26高二下·黑龙江·开学考试）设随机变量，若，则（    ） A．1 B．0 C． D．-1 【答案】C 【解题思路】根据正态分布的对称性进行求解即可. 【解答过程】由正态分布关于均值对称，知，解得. 故选：C. 3．（24-25高二下·湖北孝感·月考）已知三个正态分布密度函数（其中，为自然对数的底数）的图像如图所示，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据正态分布密度函数图像直接判断得出. 【解答过程】正态曲线关于对称，且越大图像越靠近右边，根据图像知， 第一个曲线的均值比第二和第三个的均值都小，且第二，第三两个的均值相等， 即，故B、D错误； 越小图像越瘦高，根据图像知，第一个图像的等于第二个图像的，且第二个图像的比第三个的要小， .，所以A错误，C正确． 故选：C. 4．（25-26高二下·河南南阳·月考）在天文学中，星体的视星等是观测者用肉眼所看到的星体亮度，数值越小亮度越高.已知满月的视星等为，由于大气湍流和仪器误差，单次测量满月的视星等服从正态分布，即，则（    ） 参考数据：若，则，． A．0.2715 B．0.8186 C．0.34135 D．0.97725 【答案】B 【解题思路】利用正态分布的性质及区间概率值，即可求得指定区间概率. 【解答过程】由，得， 则 . 故选：B. 5．（24-25高二下·湖南岳阳·期末）设随机变量服从正态分布，服从正态分布，下列说法中错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据正态曲线的性质逐项判断即可. 【解答过程】根据题意，随机变量服从正态分布，， 服从正态分布，， A选项：， ， 故，命题正确； B选项： ，所以，命题正确； C选项：， ， 所以，命题正确； D选项：， ， 所以，命题错误. 故选：D. 6．（24-25高二下·重庆·期末）某汽车制造企业为了解新研发的一款纯电汽车的续航里程（单位：公里）情况，随机抽查得到了5000个样本，根据统计这款新型纯电车的续航里程，若，则该样本中续航里程不小于600公里的纯电汽车大约有（   ） A．75辆 B．85辆 C．100辆 D．120辆 【答案】A 【解题思路】由，利用正态分布的对称性可得，从而得到答案. 【解答过程】因为，，所以， 故该样本中续航里程不小于600公里的纯电汽车大约有辆. 故选：A. 7．（24-25高二下·辽宁沈阳·期中）如果服从二项分布，当且时，可以近似的认为服从正态分布，据统计高中学生的近视率，某校有600名高中学生．设为该校高中学生近视人数，且服从正态分布，下列说法正确的是（   ） （参考数据：，） A．变量服从正态分布 B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据二项分布的期望和方差公式可得，进而可求解AB，根据正态分布的对称性，即可求解CD. 【解答过程】依题意，，， 对于A，变量服从正态分布，A错误； 对于B, ,故B错误， 对于C，，C错误； 对于D，，D正确. 故选：D. 8．（24-25高二下·江苏南京·期中）“立定跳远”是《国家学生体质健康标准》测试项目中的一项，已知某地区高中男生的立定跳远测试数据（单位：cm）服从正态分布，且，现从该地区高中男生中随机抽取3人，并记在的人数为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】应用正态分布的对称性有，进而有，则有，应用二项分布求概率、期望、方差判断各项正误. 【解答过程】因为，所以， 所以，故A错误； 在的概率为，则， 所以，故B正确； 由，所以，故C错误； 由，所以，故D错误． 故选：B. 二、多选题 9．（25-26高二下·全国·课后作业）已知随机变量服从正态分布，其正态曲线在上单调递增，在上单调递减，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【解题思路】首先根据条件确定和，再根据的概率数据，判断选项. 【解答过程】因为正态曲线在上单调递增，在上单调递减，所以正态曲线关于直线对称，所以； 因为，结合，可知； 因为， 且，，， 所以，所以； 因为， 所以． 故选：ACD. 10．（24-25高二下·云南曲靖·期末）统计学中，通常认为服从于正态分布的随机变量只取中的值，简称为原则，某厂有一条零件加工的生产线，生产的零件长度服从正态分布（单位：毫米），则下列说法正确的是（    ）（参考数据：，） A． B．若，则 C． D．若抽检的10个样本中有1个样本的长度为45毫米，应对生产线进行检修 【答案】ABD 【解题思路】根据正态分布的概念可判断A；根据正太分布的对称性可判断BC；根据题设原则计算概率进行比较可判断D． 【解答过程】A选项：由题可得均值，方差，故A正确； B选项：与关于对称，，故B正确； C选项： ∵，∴， ∵，∴， ∴ ，故C错误； D选项：根据原则，零件长度大于42的概率应该小于， 现在抽检的10个样本中有1个样本的长度为45毫米，其概率为，这远远大于， 故应该对生产线进行检修，故D正确． 故选：ABD． 11．（24-25高二下·黑龙江鸡西·期末）红外线自动测温门能有效避免测温者与被测温者近距离接触，从而降低了潜在的感染风险.为防控新冠肺炎，某厂生产了一批红外线自动测温门，其测量体温误差服从正态分布，设表示其体温误差，且，则下列结论正确的是（     ） （附：若随机变量服从正态分布，则 ， ) A． B． C． D． 【答案】ABC 【解题思路】根据正态分布的对称性、性质、均值和方差等知识对选项逐一判断. 【解答过程】因为服从正态分布， 所以，所以A正确，D错误； 根据正态分布的性质可知，所以B正确； 因为. 所以. 所以，所以C正确. 故选：ABC. 三、填空题 12．（25-26高三下·湖南长沙·开学考试）设随机变量，且，则___________． 【答案】 【解题思路】先求解出，然后根据正态分布曲线的对称性可求解出. 【解答过程】因为随机变量，所以其正态曲线关于对称， 因此：， 又因为，所以， 所以， 所以. 故答案为：. 13．（24-25高二下·上海·期中）据统计，某种脐橙的果实横径 (单位： ) 服从正态分布 ，现任取 10 个这种脐橙．设其果实横径在的个数为 ，则 ___________． 附： ． 【答案】 【解题思路】由正态分布的概率计算公式可得的值，再由二项分布的期望公式代入计算，即可得到结果. 【解答过程】由题意可得， 则 ， 则，所以. 故答案为：. 14．（24-25高二下·黑龙江哈尔滨·期末）某省计划在高考中对政治、地理、化学、生物四门选考科目进行赋分制度计分，即将每门选考科目的考生原始成绩从高到低划分为A、B、C、D、E共5个等级，参照正态分布原则，确定各等级人数所占比例分别为10%，35%，35%，18%，2%，选考科目成绩计入考生总成绩时，将A至E等级内的考生原始成绩，依照等比例转换原则，分别转换到，，、、五个分数区间，得到考生的赋分等级成绩，如果该省某次高考模拟考试政治科目的原始成绩，若一名学生想取得A等的赋分等级，则他的原始分数最低为__________分．（分数保留整数） 附：①若，，则；②当时，． 【答案】71 【解题思路】设A等级的原始分最低为，由原始成绩，令，则，即可求解. 【解答过程】由题意知：从高到低，即A等级人数所占比例为， 若A等级的原始分最低为，又原始成绩， ，令，则， 又，所以， 即，可得分, 则他的原始分数最低为71. 故答案为：71. 四、解答题 15．（24-25高二下·江苏苏州·期中）某省举办了一次高三年级化学模拟考试，其中甲市有10000名学生参加考试.根据经验，该省及各市本次模拟考试成绩（满分100分）都近似服从正态分布． (1)已知本次模拟考试甲市平均成绩为65分，87分以上共有228人．甲市学生A的成绩为76分，试估计学生A在甲市的大致名次； (2)在该省本次模拟考试的参考学生中随机抽取40人，记Y表示在本次考试中化学成绩在之外的人数，求的概率． 参考数据： 参考公式：若，有，， 【答案】(1)1587 (2)0.0989 【解题思路】根据正态分布的性质即可求解. 【解答过程】（1）已知本次模拟考试成绩都近似服从正态分布． 由题意得.因为，又. 即，所以，解得. 因为甲市学生A的成绩为分，且. 又，即. 所以学生在甲市的大致名次为名. （2）在本次模拟考试的学生中，抽取名化学成绩在之内的概率为. 所以抽取名化学成绩在之外的概率为. 所以随机变量Y服从二项分布，即， 所以. 16．（24-25高二下·江西景德镇·期中）健康是人生之基，随着生活水平的提高，人们越来越重视身体健康，全民健身运动在全国范围内广泛开展．每年月日为全民健身日，同学们为了解本地年轻人的每日健身时间（单位：分钟），通过随机抽样调查了位年轻人，得到样本的频率分布直方图如下：    (1)根据频率分布直方图，估计这为年轻人每天健身时间的平均数（单位：分钟）；（同一组数据用该组数据区间的中点值表示） (2)若年轻人每日健身时间近似服从正态分布，其中近似为样本平均数，求； 附参考数据：若，则，， 【答案】(1)分钟 (2) 【解题思路】（1）将每个矩形底边的中点值乘以对应矩形的面积，再将所得结果全部相加，即可得出的值； （2）由题意可得，，利用原则可求得的值. 【解答过程】（1）由频率分布直方图可知，这为年轻人每天健身时间的平均数为 （分钟）. （2）由（1）可得，， 所以 . 17．（25-26高二下·内蒙古呼和浩特·月考）某校高三学生数学模考成绩服从正态分布．现随机抽取100名学生的成绩，计算得样本平均分为105分，样本方差为100． (1)根据样本数据，估计该正态分布的参数和，并用的形式写出分布记法； (2)若该校高三共有800名学生，估计成绩在区间内的学生人数；（结果取整数） (3)学校欲制定奖励线（为整数），使得成绩高于的学生获得奖励，且获奖人数约为总人数的16%．试根据原则确定的值．（结果取整数） （参考数据：，，） 【答案】(1)的估计值为105，的估计值为10， 分布记为：. (2)655（人） (3)115 【解题思路】（1）根据正态分布的概念即可求解； （2）根据正态分布的对称性求出成绩在区间内的学生的概率，然后再求人数即可； （3）由题意可得，即满足题意. 【解答过程】（1） 由题意，样本平均分为105分，样本方差为100，因此的估计值为105，的估计值为10， 分布记为：. （2），， 所以成绩在区间内的学生的概率， 故成绩在区间内的学生的人数为(人). （3）由题意，获奖人数占总人数，即，因此， 根据参考数据：，满足要求， 而，因此. 18．（24-25高二下·黑龙江齐齐哈尔·期中）2024年，全国政协十四届二次会议于3月4日下午3时在北京开幕，3月10日上午闭幕，会期6天；十四届全国人大二次会议于3月5日上午开幕，11日下午闭幕，会期7天.为调查居民对两会相关知识的了解情况，某小区开展了两会知识问答活动，现将该小区参与该活动的800名居民的得分（满分100分）进行了统计，得到如下的频率分布直方图. (1)根据频率分布直方图，估计这800名居民得分的平均值；（同一组数据以该组区间的中点值作代表） (2)结合频率分布直方图，近似认为参与活动的小区居民的得分服从正态分布，其中近似为（1）中的样本平均值，试估计得分超过95.8分的居民人数（结果精确到个位）； (3)用频率估计概率，任选2名参加活动的居民，设为得分超过80分的居民人数，求的分布列和数学期望. 附：若随机变量服从正态分布，则. 【答案】(1) (2)18人 (3)分布列见解析，1 【解题思路】（1）应用频率分布直方图计算平均数公式计算； （2）先计算正态分布对应概率再求解人数； （3）先计算二项分布的概率，再得出分布列计算数学期望即可. 【解答过程】（1）由题意得； （2）由（1）得， 则， 所以， 故估计得分超过95.8分的居民约有18人. （3）用频率估计概率，从该小区任选1名居民，该居民得分超过80分的概率为. 所以该小区任选2名居民互不影响，该问题可看作二项分布. 故得分超过80分的居民人数可能的取值为，且， 所以， 所以， 所以的分布列为 0 1 2 . 19．（24-25高二下·辽宁·开学考试）某工厂生产一批机器零件，现随机抽取100件对某一项性能指标进行检测，得到一组数据X，如下表： 性能指标X 66 77 80 88 96 产品件数 10 20 48 19 3 (1)求该项性能指标的样本平均数的值，若这批零件的该项指标X近似服从正态分布，其中：近似为样本平均数的值，，试求的值； (2)若此工厂有甲、乙两台机床加工这种机器零件，且甲机床的生产效率是乙机床的生产效率的2倍，甲机床生产的零件的次品率为0.02，乙机床生产的零件的次品率为0.01，现从这批零件中随机抽取一件． ① 求这件零件是次品的概率； ② 若检测出这件零件是次品，求这件零件是甲机床生产的概率． 参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，． 【答案】(1)80，0.8185 (2)①，② 【解题思路】（1）计算出平均数后可得，结合正态分布的性质计算即可得解；（2）①借助全概率公式计算即可得；②按照条件概率公式计算即可. 【解答过程】（1）， 因为，所以， 则 （2）设“抽取的零件是甲机床生产”记为事件； “抽取的零件是乙机床生产”记为事件； “抽取的零件是次品”记为事件, 则,,,, 则， . 第 1 页 共 23 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第14讲 正态分布 【人教A版】 模块一 正态分布 1．连续型随机变量 随机变量的取值充满某个区间甚至整个数轴，但取一点的概率为0，称这类随机变量为连续型随机变量. 2．正态分布 (1)正态曲线 函数f(x)=，x∈R.其中μ∈R，σ>0为参数.我们称f(x)为正态密度函数，称它的图象为正态密度曲线，简称正态曲线. (2)正态分布 若随机变量X的概率分布密度函数为f(x)，则称随机变量X服从正态分布，记为X~N(μ,σ2).特别地，当μ=0，σ=1时，称随机变量X服从标准正态分布. (3)正态分布的均值和方差 若X~N(μ,σ2)，则E(X)=μ，D(X)=σ2. 3．正态曲线的特点 (1)曲线位于x轴上方，与x轴不相交； (2)曲线是单峰的，它关于直线x=μ对称； (3)曲线在x=μ处达到峰值； (4)当|x|无限增大时，曲线无限接近x轴； (5)对任意的σ>0，曲线与x轴围成的面积总为1； (6)在参数σ取固定值时，正态曲线的位置由μ确定，且随着μ的变化而沿x轴平移，如图甲所示； (7)当μ取定值时，正态曲线的形状由σ确定，当σ较小时，峰值高，曲线“瘦高”，表示随机变量X的分布比较集中；当σ较大时，峰值低，曲线“矮胖”，表示随机变量X的分布比较分散，如图乙所示. 4．3σ原则 (1)正态总体在三个特殊区间内取值的概率 P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.6827； P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.9545； P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.9973. (2)3σ原则 在实际应用中，通常认为服从正态分布N(μ,σ2)的随机变量X只取[μ-3σ，μ+3σ]中的值，这在统计学中称为3σ原则. 5．正态分布问题的解题策略 解决正态分布问题有三个关键点： (1)对称轴x=μ； (2)标准差σ； (3)分布区间. 利用对称性可求指定范围内的概率值；由μ，σ，分布区间的特征进行转化，使分布区间转化为3σ特殊区间，从而求出所求概率.注意只有在标准正态分布下对称轴才为x=0. 【注】若X服从正态分布，即X～N(μ,σ2)，要充分利用正态曲线关于直线x=μ对称和曲线与x轴之间的面积为1解题. 【题型1 正态密度函数】 【例1】（24-25高二下·湖北武汉·期末）设随机变量，则X的密度函数为（    ） A． B． C． D． 【变式1.1】（24-25高二下·江苏·课后作业）已知正态分布密度函数，，则分别是（  ） A．0和4 B．0和2 C．0和8 D．0和 【变式1.2】（24-25高二下·陕西宝鸡·期末）已知三个正态分布密度函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（     ） A．， B．， C．， D．， 【变式1.3】（24-25高二·全国·课堂例题）若一个正态密度函数是一个偶函数，且该函数的最大值为，求该正态密度函数的解析式． 【题型2 正态曲线的特点】 【例2】（24-25高二下·山东菏泽·期末）两个正态分布和的密度函数图象如图所示，则（   ） A．， B．， C．， D．， 【变式2.1】（24-25高二下·山东淄博·月考）设，这两个变量的正态曲线如图所示，下列说法正确的是（    ） A． B． C． D．若，则 【变式2.2】（2025·天津·二模）如图是两个正态分布的密度函数图象，则下列表述正确的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式2.3】（24-25高二下·云南昆明·期中）李明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他分别记录了50次坐公交车和50次骑自行车所花的时间，经数据分析得到，假设坐公交车用时和骑自行车用时都服从正态分布，，．和的正态曲线如图所示．则下列结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【题型3 利用正态曲线的性质求概率】 【例3】（24-25高二下·海南·月考）设，且，则（    ） A．0.3 B．0.35 C．0.4 D．0.45 【变式3.1】（24-25高二下·山东泰安·期末）已知随机变量，若，则（   ） A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.7 【变式3.2】（24-25高二下·辽宁沈阳·期末）若随机变量服从正态分布，且，则（    ） A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.6 【变式3.3】（24-25高二下·湖北襄阳·期末）已知随机变量，，则（   ） A．0.15 B．0.2 C．0.3 D．0.35 【题型4 根据正态曲线的对称性求参数】 【例4】（24-25高二下·广西桂林·开学考试）设随机变量服从正态分布.若，则（    ） A．1 B．2 C． D． 【变式4.1】（24-25高二下·天津·期末）设为随机变量，若，当时，的值为（   ） A．3 B．5 C．7 D．9 【变式4.2】（24-25高二下·甘肃甘南·期末）若随机变量，且，则的值为（   ） A．0 B．1 C．2 D．4 【变式4.3】（24-25高二下·陕西榆林·期末）已知随机变量服从正态分布，若，则（    ） A． B．0 C．2 D．6 【题型5 利用3σ原则求概率】 【例5】（24-25高二下·新疆乌鲁木齐·期末）某地区有20000名考生参加了高三第二次调研考试.经过数据分析，数学成绩X近似服从正态分布，则数学成绩位于的人数约为（   ） 参考数据：，，. A．790 B．2720 C．430 D．1360 【变式5.1】（24-25高二下·湖南邵阳·期末）已知某市高中男生的身高X（单位：）近似服从正态分布，则从该市随机抽取一名高中男生，其身高位于到之间的概率约为（   ） 参考数据： A． B． C． D． 【变式5.2】（24-25高二下·山东临沂·期末）已知0.9973.某体育器材厂生产一批篮球，单个篮球的质量（单位：克）服从正态分布，从这一批篮球中随机抽检300个，则被抽检的篮球的质量不小于596克的个数约为（    ） A．286 B．293 C．252 D．246 【变式5.3】（24-25高二上·吉林·期末）某学校高二年级数学联考成绩，如果规定大于或等于105分为数学成绩“良好”，那么在参加考试的学生中随机选择一名，他的数学成绩为“良好”的概率是（   ） （提示：若，则，，）=0.9973） A．0.0455 B．0.15865 C．0.3173 D．0.34135 【题型6 正态分布的实际应用】 【例6】（24-25高二下·福建福州·期末）李明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到：坐公交车平均用时30min，样本方差为36；骑自行车平均用时34min，样本方差为4．假设坐公交车用时（单位：min）和骑自行车用时（单位：min）都服从正态分布，正态分布中的参数用样本均值估计，参数用样本标准差估计，则（   ） A． B．若某天只有34min可用，李明应选择自行车 C． D．若某天只有40min可用，李明应选择公交车 【变式6.1】（24-25高二下·河南南阳·期末）西峡猕猴桃是河南特产、中国国家地理标志产品.据统计，西峡县某种植基地新品种猕猴桃的单果质量（单位：g）近似服从正态分布，现有随机采摘的该新品种猕猴桃10000个，估计其中单果质量不低于70g的猕猴桃个数为（   ） 参考数据：若，则，，. A．8413 B．9544 C．9772 D．9987 【变式6.2】（24-25高二下·云南昆明·期中）某商场在五一假期间开展了一项有奖闯关活动，并对每一关根据难度进行赋分，已知甲、乙、丙三人都参加了该项闯关活动.每个人闯关活动累计得分服从正态分布，且满分为450分，现要根据得分给共2500名参加者中得分前400名发放奖励. (1)假设该闯关活动平均分数为171分，351分以上共有57人，已知甲的得分为270分，问甲能否获得奖励，请说明理由； (2)丙得知他的分数为430分，而乙告诉丙：“这次闯关活动平均分数为201分，351分以上共有57人”，请结合统计学知识帮助丙辨别乙所说信息的真伪. 附：若随机变量，则；；. 【变式6.3】（24-25高二下·河南·月考）在一条生产铜棒的生产线上，生产的成品铜棒的直径为（单位：，以下同），且. (1)分别写出，的值； (2)若生产这样的成品铜棒10000根，试估计直径在内的铜棒根数； (3)若质检员从这些铜棒中随机抽取1根铜棒，求这根铜棒的直径在内的概率. 参考数据：若，则，，. 【题型7 正态分布与其他知识综合】 【例7】（24-25高二下·山东泰安·期末）已知随机变量，且，则的展开式中的系数为（    ） A． B． C．8 D．24 【变式7.1】（24-25高二下·安徽安庆·月考）某次考试成绩X服从正态分布.若，则从参加这次考试的考生中任意选取3名考生，至少有2名考生的成绩高于90的概率为（ ） A． B． C． D． 【变式7.2】（24-25高二上·江苏宿迁·期末）书籍是精神世界的入口，阅读让精神世界闪光，阅读逐渐成为许多人的一种生活习惯，每年4月23日为世界读书日，某研究机构为了解某地年轻人的阅读情况，通过随机抽样调查了100位年轻人，对这些人每天的阅读时间（单位：分钟）进行统计，得到样本的频率分布直方图，如图所示.    (1)若年轻人每天阅读时间近似地服从正态分布，求； (2)为了进一步了解年轻人的阅读方式，研究机构采用分层抽样的方法从每天阅读时间位于分组的年轻人中抽取10人，再从中任选3人进行调查，求抽到每天阅读时间位于的人数的分布列和数学期望. 附参考数据：若，则①；②；③ 【变式7.3】（24-25高二下·广东潮州·月考）为提升工作效率，公司对员工进行了培训.公司规定：只有培训合格才能上岗，否则将补训. (1)若员工甲、乙、丙培训合格的概率分别为，求甲、乙、丙三人中至少有一人不需要补训的概率； (2)为了激发员工的培训积极性，M公司在培训过后举办了一次知识竞赛.已知参加这次知识竞赛员工的竞赛成绩近似服从正态分布，若该集团共有2000名员工，试估计这些员工中成绩超过93分的人数；(结果精确到个位) (3)参加了知识竞赛的员工还可继续参与第二轮答题赢重奖活动，活动规则如下：共有3道题，每答对1道题奖励现金800元.已知参与知识竞赛的员工甲答对每道题的概率均为且每题答对与否都相互独立，记甲获得总奖金为元，求的分布列与数学期望. 参考数据：若，则，，. 一、单选题 1．（24-25高二下·福建厦门·期中）已知随机变量，且，则（   ） A．0.14 B．0.22 C．0.28 D．0.36 2．（25-26高二下·黑龙江·开学考试）设随机变量，若，则（    ） A．1 B．0 C． D．-1 3．（24-25高二下·湖北孝感·月考）已知三个正态分布密度函数（其中，为自然对数的底数）的图像如图所示，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二下·河南南阳·月考）在天文学中，星体的视星等是观测者用肉眼所看到的星体亮度，数值越小亮度越高.已知满月的视星等为，由于大气湍流和仪器误差，单次测量满月的视星等服从正态分布，即，则（    ） 参考数据：若，则，． A．0.2715 B．0.8186 C．0.34135 D．0.97725 5．（24-25高二下·湖南岳阳·期末）设随机变量服从正态分布，服从正态分布，下列说法中错误的是（   ） A． B． C． D． 6．（24-25高二下·重庆·期末）某汽车制造企业为了解新研发的一款纯电汽车的续航里程（单位：公里）情况，随机抽查得到了5000个样本，根据统计这款新型纯电车的续航里程，若，则该样本中续航里程不小于600公里的纯电汽车大约有（   ） A．75辆 B．85辆 C．100辆 D．120辆 7．（24-25高二下·辽宁沈阳·期中）如果服从二项分布，当且时，可以近似的认为服从正态分布，据统计高中学生的近视率，某校有600名高中学生．设为该校高中学生近视人数，且服从正态分布，下列说法正确的是（   ） （参考数据：，） A．变量服从正态分布 B． C． D． 8．（24-25高二下·江苏南京·期中）“立定跳远”是《国家学生体质健康标准》测试项目中的一项，已知某地区高中男生的立定跳远测试数据（单位：cm）服从正态分布，且，现从该地区高中男生中随机抽取3人，并记在的人数为，则（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（25-26高二下·全国·课后作业）已知随机变量服从正态分布，其正态曲线在上单调递增，在上单调递减，且，则（   ） A． B． C． D． 10．（24-25高二下·云南曲靖·期末）统计学中，通常认为服从于正态分布的随机变量只取中的值，简称为原则，某厂有一条零件加工的生产线，生产的零件长度服从正态分布（单位：毫米），则下列说法正确的是（    ）（参考数据：，） A． B．若，则 C． D．若抽检的10个样本中有1个样本的长度为45毫米，应对生产线进行检修 11．（24-25高二下·黑龙江鸡西·期末）红外线自动测温门能有效避免测温者与被测温者近距离接触，从而降低了潜在的感染风险.为防控新冠肺炎，某厂生产了一批红外线自动测温门，其测量体温误差服从正态分布，设表示其体温误差，且，则下列结论正确的是（     ） （附：若随机变量服从正态分布，则 ， ) A． B． C． D． 三、填空题 12．（25-26高三下·湖南长沙·开学考试）设随机变量，且，则___________． 13．（24-25高二下·上海·期中）据统计，某种脐橙的果实横径 (单位： ) 服从正态分布 ，现任取 10 个这种脐橙．设其果实横径在的个数为 ，则 ___________． 附： ． 14．（24-25高二下·黑龙江哈尔滨·期末）某省计划在高考中对政治、地理、化学、生物四门选考科目进行赋分制度计分，即将每门选考科目的考生原始成绩从高到低划分为A、B、C、D、E共5个等级，参照正态分布原则，确定各等级人数所占比例分别为10%，35%，35%，18%，2%，选考科目成绩计入考生总成绩时，将A至E等级内的考生原始成绩，依照等比例转换原则，分别转换到，，、、五个分数区间，得到考生的赋分等级成绩，如果该省某次高考模拟考试政治科目的原始成绩，若一名学生想取得A等的赋分等级，则他的原始分数最低为__________分．（分数保留整数） 附：①若，，则；②当时，． 四、解答题 15．（24-25高二下·江苏苏州·期中）某省举办了一次高三年级化学模拟考试，其中甲市有10000名学生参加考试.根据经验，该省及各市本次模拟考试成绩（满分100分）都近似服从正态分布． (1)已知本次模拟考试甲市平均成绩为65分，87分以上共有228人．甲市学生A的成绩为76分，试估计学生A在甲市的大致名次； (2)在该省本次模拟考试的参考学生中随机抽取40人，记Y表示在本次考试中化学成绩在之外的人数，求的概率． 参考数据： 参考公式：若，有，， 16．（24-25高二下·江西景德镇·期中）健康是人生之基，随着生活水平的提高，人们越来越重视身体健康，全民健身运动在全国范围内广泛开展．每年月日为全民健身日，同学们为了解本地年轻人的每日健身时间（单位：分钟），通过随机抽样调查了位年轻人，得到样本的频率分布直方图如下：    (1)根据频率分布直方图，估计这为年轻人每天健身时间的平均数（单位：分钟）；（同一组数据用该组数据区间的中点值表示） (2)若年轻人每日健身时间近似服从正态分布，其中近似为样本平均数，求； 附参考数据：若，则，， 17．（25-26高二下·内蒙古呼和浩特·月考）某校高三学生数学模考成绩服从正态分布．现随机抽取100名学生的成绩，计算得样本平均分为105分，样本方差为100． (1)根据样本数据，估计该正态分布的参数和，并用的形式写出分布记法； (2)若该校高三共有800名学生，估计成绩在区间内的学生人数；（结果取整数） (3)学校欲制定奖励线（为整数），使得成绩高于的学生获得奖励，且获奖人数约为总人数的16%．试根据原则确定的值．（结果取整数） （参考数据：，，） 18．（24-25高二下·黑龙江齐齐哈尔·期中）2024年，全国政协十四届二次会议于3月4日下午3时在北京开幕，3月10日上午闭幕，会期6天；十四届全国人大二次会议于3月5日上午开幕，11日下午闭幕，会期7天.为调查居民对两会相关知识的了解情况，某小区开展了两会知识问答活动，现将该小区参与该活动的800名居民的得分（满分100分）进行了统计，得到如下的频率分布直方图. (1)根据频率分布直方图，估计这800名居民得分的平均值；（同一组数据以该组区间的中点值作代表） (2)结合频率分布直方图，近似认为参与活动的小区居民的得分服从正态分布，其中近似为（1）中的样本平均值，试估计得分超过95.8分的居民人数（结果精确到个位）； (3)用频率估计概率，任选2名参加活动的居民，设为得分超过80分的居民人数，求的分布列和数学期望. 附：若随机变量服从正态分布，则. 19．（24-25高二下·辽宁·开学考试）某工厂生产一批机器零件，现随机抽取100件对某一项性能指标进行检测，得到一组数据X，如下表： 性能指标X 66 77 80 88 96 产品件数 10 20 48 19 3 (1)求该项性能指标的样本平均数的值，若这批零件的该项指标X近似服从正态分布，其中：近似为样本平均数的值，，试求的值； (2)若此工厂有甲、乙两台机床加工这种机器零件，且甲机床的生产效率是乙机床的生产效率的2倍，甲机床生产的零件的次品率为0.02，乙机床生产的零件的次品率为0.01，现从这批零件中随机抽取一件． ① 求这件零件是次品的概率； ② 若检测出这件零件是次品，求这件零件是甲机床生产的概率． 参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，． 第 1 页 共 23 页 学科网（北京）股份有限公司 $