7.3.2 离散型随机变量的方差-【精讲精练】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册配套练习（人教A版）

[必备知识·基础巩固]

1．已知随机变量X的分布列为P(X＝k)＝，k＝3，6，9.则D(X)等于(　　)

A．6　　　 B．9　　　

C．3　　　 D．4

解析　 E(X)＝3×＋6×＋9×＝6.D(X)＝(3－6)2×＋(6－6)2×＋(9－6)2×＝6.

答案　A

2．已知随机变量ξ的分布列如下表，则ξ的标准差为(　　)

A．3.56    B．  

C．3.2    D．

解析　依题意：0.4＋0.1＋x＝1，∴x＝0.5，

∴E(X)＝1×0.4＋3×0.1＋5×0.5＝3.2

D(X)＝(1－3.2)2×0.4＋(3－3.2)2×0.1＋(5－3.2)2×0.5＝3.56，

∴σ(X)＝＝.

答案　D

3．(多选题)已知X的分布列如下表所示，则(　　)

A．E(X)＝    B．D(X)＝

C．D(X)＝    D．E(X)＝

解析　∵E(X)＝1×＋2×＋3×＋4×＝，

∴D(X)＝×＋×＋×＋×＝.

答案　AC

4．设10≤x1<x2<x3<x4≤104，x5＝105，随机变量X1取值x1，x2，x3，x4，x5的概率均为0.2，随机变量X2取值，，，，的概率也均为0.2，若记D(X1)，D(X2)

分别为X1，X2的方差，则(　　)

A．D(X1)>D(X2)

B．D(X1)＝D(X2)

C．D(X1)<D(X2)

D．D(X1)与D(X2)的大小关系与x1，x2，x3，x4的取值有关

解析　由题意可知E(X1)＝E(X2)，又由题意可知，X1的波动性较大，从而有D(X1)>D(X2).

答案　A

5．随机变量X的取值为0，1，2.若P(X＝0)＝，E(X)＝1，则D(X)＝________．

解析　由题意设P(X＝1)＝p，则X的分布列如下：

由E(X)＝1，可得p＝，

所以D(X)＝12×＋02×＋12×＝.

答案　

6．已知X是离散型随机变量，E(X)＝6，D(X)＝0.5，X1＝2X－5，那么E(X1)＝________，D(X1)＝________．

解析　由期望和方差的运算性质知，E(X1)＝E(2X－5)＝2E(X)－5＝7，D(X1)＝D(2X－5)＝22D(X)＝2.

答案　7　2

7．若随机事件A在1次试验中发生的概率为p(0<p<1)，用随机变量X表示A在1次试验中发生的次数，则方差D(X)的最大值为________，此时p＝________．

解析　随机变量X的所有可能的取值是0，1，并且P(X＝1)＝p，P(X＝0)＝1－p.

从而E(X)＝0×(1－p)＋1×p＝p，

D(X)＝(0－p)2×(1－p)＋(1－p)2·p＝p－p2

＝－＋.

∵0<p<1，∴当p＝时，D(X)取最大值，最大值是.

答案　　

8．已知X的分布列如下：

(1)求X2的分布列；

(2)计算X的方差；

(3)若Y＝4X＋3，求Y的均值和方差．

解析　(1)由分布列的性质，知＋＋a＝1，

故a＝，

从而X2的分布列为

(2)法一　由(1)知a＝，所以X的均值E(X)＝(－1)×＋0×＋1×＝－.

故X的方差D(X)＝×＋×＋×＝.

法二　由(1)知a＝，所以X的均值

E(X)＝(－1)×＋0×＋1×＝－，

X2的均值E(X2)＝0×＋1×＝，

所以X的方差D(X)＝E(X2)－[E(X)]2＝.

(3)因为Y＝4X＋3，所以E(Y)＝4E(X)＋3＝2，

D(Y)＝42D(X)＝11.

[关键能力·综合提升]

9．若X离散型随机变量，P(X＝x1)＝，P(X＝x2)＝，且x1＜x2，又已知E(X)＝，D(X)＝，则x1＋x2的值为(　　)

A．    B．