7.2 离散型随机变量及其分布列-【精讲精练】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册配套练习（人教A版）

[必备知识·基础巩固]

1．(多选题)将一个骰子掷两次，能作为随机变量的是(　　)

A．两次掷出的点数之和

B．两次掷出的最大点数

C．第一次与第二次掷出的点数之差

D．两次掷出的点数

解析　将一个骰子掷两次，两次掷出的点数之和是一个变量，且随试验结果的变化而变化，是一个随机变量．同理，两次掷出的最大点数、第一次与第二次掷出的点数之差也都是随机变量，而两次掷出的点数不是一个变量，是一个数对．

答案　ABC

2．某人进行射击，共有5发子弹，击中目标或子弹打完就停止射击，射击次数为ξ，则“ξ＝5”表示的试验结果是(　　)

A．第5次击中目标 B．第5次未击中目标

C．前4次均未击中目标 D．第4次击中目标

解析　ξ＝5表示前4次均未击中目标，故选C.

答案　C

3．(2025·白银高二期末)一袋中有白球2个，红球n个，从中任取4个球，记红球的个数为X，已知X的取值为2，3，则P(X＝2)＝(　　)

A．    B．

C．    D．

解析　已知X的取值为2，3，由于白球最多可以取到2个，最少取到1个，故红球n＝4－1＝3(个)，所以P(X＝2)＝＝.

故选D.

答案　D

4．若随机变量X的概率分布列为P(X＝n)＝(n＝1，2，3，4)，其中a是常数，则P的值为(　　)

A．　　  B．  

C．　　  D．

解析　∵P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＋P(X＝4)＝a＝1，∴a＝.

∴P＝P(X＝1)＋P(X＝2)＝＋＝a＝×＝.

答案　D

5．一批产品共有12件，其中次品3件，每次从中任取一件，在取得合格品之前取出的次品数X的所有可能取值是________．

解析　可能第一次就取得合格品，也可能取完次品后才取得合格品，所以X的结果有0，1，2，3.

答案　0，1，2，3

6．设随机变量X等可能取值1，2，3，…，n，如果P(X<4)＝0.3，那么P(X＝1)＝________，n＝______．

解析　由题意知P(X<4)＝3P(X＝1)＝0.3，

∴P(X＝1)＝0.1，又nP(X＝1)＝1，∴n＝10.

答案　0.1　10

7．由于电脑故障，使得随机变量X的分布列中部分数据丢失，以□代替，其表如下：

根据该表可知X取奇数值时的概率是________．

解析　由离散型随机变量的分布列的性质，可求得P(X＝3)＝0.25，P(X＝5)＝0.15，故X取奇数值时的概率为P(X＝1)＋P(X＝3)＋P(X＝5)＝0.20＋0.25＋0.15＝0.6.

答案　0.6

8．设S是不等式x2－x－6≤0的解集，整数m，n∈S .

(1)设“使得m＋n＝0成立的有序数组(m，n)”为事件A，试列举事件A包含的样本点；

(2)设ξ＝m2，求ξ的分布列．

解析　(1)由x2－x－6≤0，得－2≤x≤3，

即S＝{x|－2≤x≤3}．

由于m，n∈Z，m，n∈S且m＋n＝0，

所以事件A包含的样本点为(－2，2)，(2，－2)，(－1，1)，(1，－1)，(0，0).

(2)由于m的所有不同取值为－2，－1，0，1，2，3，

所以ξ＝m2的所有不同取值为0，1，4，9，且有

P(ξ＝0)＝，P(ξ＝1)＝＝，

P(ξ＝4)＝＝，P(ξ＝9)＝.

故ξ的分布列为

[关键能力·综合提升]

9．(多选题)已知随机变量X的分布列如下表所示，其中a，b，c成等差数列，则(　　)

A．a＝    B．b＝

C．c＝    D．P(|X|＝1)＝

解析　∵a，b，c成等差数列，∴2b＝a＋c.

由分布列的性质，得a＋b＋c＝3b＝1，∴b＝.

∴P(|X|＝1)＝P(X＝1)＋P(X＝－1)

＝1－P(X＝0)＝1－＝.

答案　BD

10．抛掷2枚骰子，所得点数之和X是一个随机变量，则P(X≤4)等于(　　)

A．　　 B．  

C．　　 D．

解析　根据题意，有P(X≤4)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＋P(X＝4).

抛掷两枚骰子，按所得的点数共36个基本事件，而X＝2对应(1，1)，X＝3对应(1，2)，(2，1)，X＝4对应(1，3)，(3，1)，(2，2).

故P(X＝2)＝，P(X＝3)＝＝，

P(X＝4)＝＝，

所以P(X≤4)＝＋＋＝.