7.1.2 全概率公式-【精讲精练】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册配套练习（人教A版）

[必备知识·基础巩固] 1．(多选题)下列公式正确的是(　　) A．P(A)＝P(BA)＋P(B) B．P(B)＝P(BA)＋P(B) C．P(A)＝P(A)P(B|A)＋P()P(B|) D．P(B)＝P(A)P(B|A)＋P()P(B|) 解析　由互斥事件概率的加法公式可知选项B正确，由全概率公式可知选项D正确． 答案　BD 2．已知P(B)＝0.3，P(B|A)＝0.9，P(B|)＝0.2，则P(A)＝(　　) A．　　　　　　　　 B． C．0.33 D．0.1 解析　由P(B)＝P(A)P(B|A)＋P()P(B|)可得0.3＝P(A)×0.9＋[1－P(A)]×0.2， 解得P(A)＝. 答案　A 3．书架上有3本语文书，2本数学书，甲、乙两位同学先后从书架上任取一本书，则乙取到语文书的概率是(　　) A． B． C． D． 解析　用B表示乙取到语文书，A表示甲取到语文书，则P(B)＝P(A)P(B|A)＋P()P(B|)＝×＋×＝. 答案　B 4．已知5%的男人和0.25%的女人患色盲，假如男人、女人各占一半，现随机选一人，则此人恰是色盲的概率是(　　) A．0.012 45 B．0.057 86 C．0.026 25 D．0.028 65 解析　用事件A，B分别表示随机选一人是男人或女人，用事件C表示此人恰好患色盲，则Ω＝A∪B，且A，B互斥，P(C)＝P(A)P(C|A)＋P(B)·P(C|B)＝×5%＋×0.25%＝0.026 25. 答案　C 5．若P(B)＝0.7，P(A|)＝0.6，P(A)＝0.4，则P(AB)＝________；P(B|A)＝________． 解析　因为P(B)＝0.7，所以P()＝0.3， 所以P(A)＝0.3×0.6＝0.18， P(AB)＝P(A)－P(A)＝0.4－0.18＝0.22， 所以P(B|A)＝＝＝. 答案　0.22　 6．已知P(A)＝0.9，P(|A)＝0.6，P(|)＝0.5，则P(A|)＝____________． 解析　P()＝P(A)P(|A)＋P()P(|)＝0.9×0.6＋0.1×0.5＝0.59，P(A|)＝＝＝＝. 答案　 7．人们为了解一支股票未来一定时期内价格的变化，往往会去分析影响股票价格的基本因素，比如利率的变化．现假设人们经分析估计利率下调的概率为60%，利率不变的概率为40%.根据经验，人们估计，在利率下调的情况下，该支股票价格上涨的概率为80%，而在利率不变的情况下，其价格上涨的概率为40%，则该支股票将上涨的概率为______． 解析　记A为事件“利率下调”，那么即为“利率不变”，记B为事件“股票价格上涨”． 依题设知P(A)＝60%，P()＝40%，P(B|A)＝80%，P(B|)＝40%， 于是P(B)＝P(AB)＋P(B)＝P(A)P(B|A)＋P()P(B|)＝60%×80%＋40%×40%＝64%. 答案　64% 8．已知高三某班是否有意向报考师范大学的情况如下表所示： 男生/人 女生/人 有报考师范大学的意向 6 10 没有报考师范大学的意向 24 10 从该班任选一名同学，求该同学有报考师范大学意向的概率． 解析　法一　由全概率公式可得从该班任选一名同学，则该同学有报考师范大学意向的概率为×＋×＝. 法二　由古典概型的概率公式可得从该班任选一名同学，则该同学有报考师范大学意向的概率为＝. [关键能力·综合提升] 9．(2025·威海高二期末)已知随机事件A，B满足P(AB)＝0.4，P(A)＝0.6，P(B|)＝0.5，则P(B)＝(　　) A．0.4 B．0.5 C．0.6 D．0.8 解析　随机事件A，B满足P(AB)＝0.4，P(A)＝0.6，则P(B|A)＝＝＝， 又P(B|)＝0.5， 则P(B)＝P(A)P(B|A)＋P()P(B|)＝0.6×＋0.4×0.5＝0.6.故选C. 答案　C 10．(多选题)若0<P(A)<1，0<P(B)<1，则下列式子中成立的有(　　) A．P(A|B)＝ B．P(AB)＝P(A)P(B|A) C．P(B)＝P(A)P(B|A)＋P()P(B|) D．P(A|B)＝ 解析　由条件概率的计算公式知A错误；B，C显然正确；D选项中，因为P(B)＝P(A)P(B|A)＋P()P(B|)，所以P(A|B)＝＝＝，故D正确． 答案　BCD 11．已知P(A)＝0.6，P(AB)＝0.2，则P(A)＝________． 解析　P(A)＝P(A)－P(AB)＝0.6－0.2＝0.4. 答案　0.4 12．(2025·菏泽高二期末)在数字通信中，信号是由数字0和1组成的序列．由于随机因素的干扰，发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0.已知发送信号0时，接收为0和1的概率分别为0.8和0.2；发送信号1时，接收为1和0的概率分别为0.9和0.1.假设发送信号0和1是等可能的，则接收信号为1的概率是________． 解析　设A＝“发送的信号为0”， B＝“接收到的信号为0”，则＝“发送的信号为1”， ＝ “接收到的信号为1”．由题意得 P(A)＝P()＝0.5，P(B|A)＝0.8，P(|A)＝0.2， P(B|)＝0.1，P(|)＝0.9， P()＝P(A)P(|A)＋P()P(|)＝0.5×0.2＋0.5×0.9＝0.55. 故答案为0.55. 答案　0.55 13．有三个罐子，1号罐装有2红1黑球，2号罐装有3红1黑球，3号罐装有2红2黑球．某人从中随机取一罐，在从中任意取出一球，求取出的是红球的概率． 解析　用A表示取出的是红球，用Bi表示球取自i号罐，i＝1，2，3，则P(Bi)＝，P(A|B1)＝，P(A|B2)＝，P(A|B3)＝，所以P(A)＝P(B1)P(A|B1)＋P(B2)P(A|B2)＋P(B3)·P(A|B3)＝×＋×＋×＝. [核心价值·探索创新] 14．盒中有a朵红花、b朵黄花，现随机从中取出1朵，观察其颜色后放回，并放入同色花c朵，再从盒中随机取出1朵花，则第二次取出的是黄花的概率为(　　) A． B． C． D． 解析　设A表示“第一次取出的是黄花”，B表示“第二次取出的是黄花”，则B＝AB∪B，由全概率公式知P(B)＝P(A)(B|A)＋P()P(B|)， 由题意P(A)＝，P(B|A)＝， P()＝，P(B|)＝， 所以P(B)＝＋＝. 答案　A 15．chatGPT是由OpenAI开发的一款人工智能机器人程序，一经推出就火遍全球， chatGPT的开发主要采用RLHF(人类反馈强化学习)技术，训练分为以下三个阶段．第一阶段：训练监督策略模型．对抽取的prompt数据，人工进行高质量的回答，获取〈prompl, answer〉数据对，帮助数学模型GPT-4更好地理解指令．第二阶段：训练奖励模型，用上一阶段训练好的数学模型，生成k个不同的回答，人工标注排名，通过奖励模型给出不同的数值，奖励数值越高越好．奖励数值可以通过最小化下面的交叉损失函数得到：Loss＝－yi ln i，其中yi∈{0，1}，i∈(0，1)，且 i＝1.第三阶段：实验与强化模型和算法．通过调整模型的参数，使模型得到最大奖以符合人工的选择取向． (1)若已知某单个样本，共真实分布y＝[y1，y2，…，y10]＝[0，0，0，0，1，0，0，0，0，0]，共预测近似分布＝[y1，y2，…，y10]＝[0，0.2，0，0，0.7，0，0，0.1，0，0]，计算该单个样本的交叉损失函数Loss的值； (2)某次测试输入的问题中出现语法错误的概率为5%，如果输入问题没有语法错误，chatGPT的回答被采纳的概率为90%，如果出现语法错误，chatGPT的回答被采纳的概率为50%. ①求chatGPT的回答被采纳的概率； ②已知chatGPT的回答被采纳，求该测试输入的问题没有语法错误的概率． 参考数据：ln 2＝0.693，ln 5≈1.609，ln 7≈1.946. 解析　(1)由题意，该单个样本的交叉损失函数： Loss＝－yi ln i＝－1×ln 0.7＝－ln ＝ln ＝ln 2＋ln 5－ln 7≈0.356. (2)记事件A：charGPT中输入的语法无错误；事件B：charGPT中输入的语法有错误；事件C：chatGPT的回答被采纳． 依题意：P(A)＝0.95，P(B)＝0.05，P(C|A)＝0.9，P(C|B)＝0.5. ①由全概率公式得，chatGPT的回答被采纳的概率为P(C)＝P(A)P(C|A)＋P(B)P(C|B)＝0.95×0.9＋0.05×0.5＝0.88. ②依题意，P(A|C)＝＝＝＝. 所以该测试输入的问题没有语法错误的概率为. 学科网（北京）股份有限公司 $