6.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理-【精讲精练】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册配套练习（人教A版）

[必备知识·基础巩固]

1．现有4件不同款式的上衣和3条不同颜色的长裤，如果一条长裤与一件上衣配成一套，则不同的配法种数为(　　)

A．7　　　　　　　　　 B．12

C．64    D．81

解析　要完成配套，分两步：第1步，选上衣，从4件上衣中任选一件，有4种不同的选法；第2步，选长裤，从3条长裤中任选一条，有3种不同的选法．故共有4×3＝12种同的配法．

答案　B

2．从A地到B地，可乘汽车、火车、轮船三种交通工具，如果一天内汽车发3次，火车发4次，轮船发2次，那么一天内乘坐这三种交通工具的不同走法数为(　　)

A．1＋1＋1＝3    B．3＋4＋2＝9

C．3×4×2＝24    D．以上都不对

解析　分三类：第一类，乘汽车，从3次中选1次有3种走法；第二类，乘火车，从4次中选1次有4种走法；第三类乘轮船，从2次中选1次有2种走法，所以共有3＋4＋2＝9种不同的走法．

答案　B

3．若x，y∈N*，且x＋y≤5，则有序自然数对(x，y)的个数为(　　)

A．6    B．8

C．9    D．10

解析　当x＝1时，y＝1，2，3，4，共构成4个有序自然数对；

当x＝2时，y＝1，2，3，共构成3个有序自然数对；

当x＝3时，y＝1，2，共构成2个有序自然数对；

当x＝4时，y＝1，共构成1个有序自然数对．

根据分类加法计数原理，共有N＝4＋3＋2＋1＝10个有序自然数对．

答案　D

4．(多选题)现有5幅不同的国画，2幅不同的油画，7幅不同的水彩画，下列说法正确的有(　　)

A．从中任选一幅画布置房间，有14种不同的选法

B．从这些国画、油画、水彩画中各选一幅布置房间，有70种不同的选法

C．从这些画中选出两幅不同种类的画布置房间，有59种不同的选法

D．要从5幅不同的国画中选出2幅，分别挂在左、右两边墙上的指定位置，共有9种

不同的挂法

解析　对于A中，从国画中选一幅有5种不同的选法；从油画中选一副有2种不同的选法；从水彩画中选一副有7种不同的选法，

由分类计数原理，共有5＋2＋7＝14种不同的选法，所以A正确；

对于B中，从国画、油画、水彩画各选一幅分别有5种、2种、7种不同的选法，

根据分步计数原理，共有5×2×7＝70种不同的选法，所以B正确；

对于C中，若其中一幅选自国画，一幅选自油画，则有5×2＝10种不同的选法；

若一幅选自国画，一幅选自水彩画，则有5×7＝35种不同的选法；

若一幅选自油画，一幅选自水彩画，则有2×7＝14种不同的选法，

由分类计数原理，可得共有10＋35＋14＝59种不同的选法，所以C正确；

对于D中，从5幅国画中选出2幅分别挂在左、右两边墙上，可以分两个步骤完成：

第一步，从5幅画中选1幅挂在左边墙上，有5种选法；

第二步，从剩下的4幅画中选1幅挂在右边墙上，有4种选法，

根据分步计数原理，不同挂法的种数是5×4＝20，所以D错误．

故选ABC.

答案　ABC

5．一个礼堂有4个门，若从任一个门进，从任一门出，共有不同走法________种．

解析　由分步乘法计数原理得4×4＝16.

答案　16

6．若在如图1的电路中，只合上一个开关可以接通电路，有________种不同的方法；在如图2的电路中，合上两个开关可以接通电路，有________种不同的方法．

解析　对于图1，按要求接通电路，只要在A中的两个开关或B中的三个开关中合上一个即可，故有2＋3＝5种不同的方法．

对于图2，按要求接通电路必须分两步进行：

第一步，合上A中的一个开关；

第二步，合上B中的一个开关，

故有2×3＝6种不同的方法．

答案　5　6

7．用1，2，3这3个数字可写出没有重复数字的整数有________个．