1.2.1 等腰三角形的性质和等边三角形的性质课件2025-2026学年北师大版 八年级数学下册

该初中数学课件聚焦等腰三角形（等边对等角、三线合一）及等边三角形性质，通过复习概念、折纸探索、小组交流导入，搭建从直观感知到逻辑推理的学习支架，衔接旧知与新知。 其亮点是以学生探究为核心，折纸活动发展几何直观，多种证法培养推理意识，中考专练结合平行线等实际问题增强应用意识。小结系统梳理性质，助学生构建知识网络，学生提升探究与解题能力，教师可高效开展培优教学。

北师大版（新教材）数学八年级下册培优备课课件 1.2.1 等腰三角形的性质和等边三角形的性质 第一章 三角形的证明及其应用 授课教师： . 班 级： . 时 间： . 1 学习目标 1.经历探索、证明等腰三角形和等边三角形性质的过程，进一步发展推理能力。 2.掌握综合推理方法，发展演绎推理能力。 3.应用等腰三角形和等边三角形的性质解决实际问题。 2 复习回顾 等腰三角形的相关概念你还记得吗？ A B C 腰 腰 底边 顶角 底角 底角 等腰三角形具有哪些特殊的性质呢？ 进行新课 还记得利用折纸的方法探索等腰三角形的性质吗？这对你有什么启发？ 先自己折纸观察探索并写出等腰三角形的性质，然后再小组交流，互相弥补不足。 A B C （B） 定理 等腰三角形的两个底角相等。 这一定理可以简述为：等边对等角。 如何证明这个结论？ 知识点1 等边对等角 前提是“在同一个三角形中” 已知：如图，在△ABC 中，AB = AC。 求证：∠B =∠C。 A B C 证明：如图，取BC的中点D，连接AD。 ∵AB=AC，BD=CD，AD=AD， ∴△ABD≌△ACD（SSS）。 ∴∠B=∠C（全等三角形的对应角相等）。 证法一 还有其他证法吗？ D 已知：如图，在△ABC 中，AB = AC。 求证：∠B =∠C。 A B C 证明：如图，作△ABC顶角∠BAC的角平分线AD。 ∵AB=AC，∠BAD=∠CAD，AD=AD， ∴△ABD≌△ACD（SAS）。 ∴∠B=∠C（全等三角形的对应角相等）。 证法二 D 1．在△ABC中，AB＝AC，∠B＝70°，则∠C的度数为________。 70° 返回 中考考法 8 2．若等腰三角形的一个底角的度数为40°，则它的顶角的度数为________°。 100 返回 中考考法 9 练一练 如图，直线a // b，直线l与直线a，b分别交于点A，B，点C在直线b上，且CA=CB。若∠2=74°，则∠1的度数为_______。 3 4 ∠2=74° ∠4=∠2=74° a // b CA=CB ∠3=∠4=74° (等边对等角) ∠1=180°－∠3－∠4=32° 32° 思考·交流 知识点2 等腰三角形的“三线合一” 由“等边对等角”定理的证明过程，你发现线段AD还有哪些特征？为什么？与同伴进行交流。 A B C D 猜测：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高重合。 A B C D 已知：如图，在△ABC 中，AB = AC，AD是∠BAC的角平分线。 求证：点D是BC的中点，AD⊥BC。 证明：∵AB=AC，∠BAD=∠CAD，AD=AD， ∴△ABD≌△ACD（SAS）。 ∴BD=CD，∠ADB=∠ADC（全等三角形的对应边相等、对应角相等）， ∴点D是BC的中点。 又∵点B，D，C在同一条直线上， ∴∠ADB=∠ADC=90°，∴AD⊥BC。 3．如图，已知l1∥l2，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，顶点A，B分别在l1，l2上，当∠1＝70°时，∠2的度数为(　　) A．30° B．65° C．75° D．80° B 返回 中考考法 13 4．(4分)如图，在△ABC中，点D在边AC上，AB＝BD＝CD。若∠A＝50°，求∠C的度数。 中考考法 14 定理 等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高重合。 几何语言： 在△ABC中，AB=AC。 (1)∵∠1=∠2， ∴AD⊥BC，BD=CD。 (2)∵AD⊥BC ， ∴∠1=∠2，BD=CD。 (3)∵BD=CD ， ∴∠1=∠2，AD⊥BC 。 对腰上的高、中线、底角的平分线一般不重合 A B C D 1 2 练一练 如图，在△ABC中，AB=AC。 （1）若AD为BC边上的高，∠BAC=120°，则∠BAD=______； （2）若AD为∠BAC的平分线，AB=5，BC=8，则AD的长为_____。 60° 3 尝试·交流 知识点3 等边三角形的性质 等边三角形是特殊的等腰三角形，它有哪些特殊的性质呢？请尝试证明你发现的结论，并与同伴进行交流。 A B C A B C 如图，△ABC 是等边三角形，那么∠A，∠B， ∠C的大小之间有什么关系呢？ ∵△ABC是等边三角形， ∴AB= BC=AC， ∴∠C=∠A=∠B。 由三角形内角和定理可得： ∠A=∠B=∠C= 60°。 定理 等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60°。 特别提醒 等边三角形是特殊的等腰三角形，具有等腰三角形的一切性质。 等边三角形每个内角的平分线都与它对边上的高、中线重合。 练一练 如图，等边三角形ABC的顶点A，B分别在直线a，b上，且a // b。若∠2=80°，则∠1的度数为( ) A.20° B.30° C.40° D.45° 3 4 ∠2+∠4+∠3=180° ∠2=80°，∠4=60° ∠3=40° ∠1+∠3=60° ∠1=20° A 回顾·反思 回顾七年级下册及本节研究等腰三角形性质的过程，你积累了哪些研究图形性质的经验？ 返回 中考考法 22 5．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是边BC上的中线，∠B＝61°，则∠BAD的度数为(　　) A．61° B．58° C．29° D．39° C 返回 中考考法 23 6．[扬州中考]在如图的房屋人字梁架中，AB＝AC，点D在BC上，下列条件不能说明AD⊥BC的是(　　) A．∠ADB＝∠ADC B．∠B＝∠C C．BD＝CD D．AD平分∠BAC B 返回 中考考法 24 7．(4分)如图，AD，CE分别是△ABC的中线和角平分线，若AB＝AC，∠CAD＝10°，求∠AEC的度数。 中考考法 25 返回 中考考法 26 8．如图，△ABC是等边三角形，点D在边AC上，∠ABD＝20°，则∠BDC的度数为(　　) A．60° B．80° C．90° D．100° B 返回 中考考法 27 9．如图，在等边三角形ABC中，AD为△ABC的角平分线。若BD＝2，则∠BAD的度数为________，AC的长为________。 30° 返回 4 中考考法 28 10．(4分)如图，D，E分别是等边三角形ABC的边BC，AC上的点，且BD＝CE。求证：AD＝BE。 中考考法 29 证明：∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝BC，∠ABD＝∠BCE＝60°。 又∵BD＝CE，∴△ABD≌△BCE(SAS)，∴AD＝BE。 返回 中考考法 30 11． 若等腰三角形的一个内角为40°，则它的底角为(　　) A．70° B．40° C．40°或70° D．30°或75° C 返回 中考考法 31 12．[西安铁一中期末]如图，△ABC是等边三角形，E为BC上一点，在AB上取一点D，使AD＝AE，且∠AED＝65°，则∠EAC的度数是________。 10° 返回 中考考法 32 13．如图，∠A＝15°，AB＝BC＝CD＝DE＝EF，则∠DEF的度数为________。 60° 返回 中考考法 33 14．如图，AB＝AC＝5，BC＝6，E为BC的中点，过点E作EF⊥AC于点F，则EF的长为________。 返回 中考考法 34 15．(8分)如图，在△ABC中，AB＝AC，D，E是边BC上不重合的两点，BD＝CE。 中考考法 35 (1)求证：AD＝AE； 中考考法 36 (2)若DA⊥AE，∠B＝26°，求∠BAD的大小。 返回 中考考法 37 课堂小结 等腰三角形的性质： 等腰三角形的两个底角相等。（等边对等角） 等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高重合。 A B C D 1 2 等边三角形的性质： 等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60°。 A B C 解：∵AB＝BD＝CD， ∴∠A＝∠ADB，∠C＝∠DBC。 ∵∠A＝50°，∠ADB＝∠C＋∠DBC， ∴∠C＝∠ADB＝×50°＝25°。 解：∵AB＝AC，∠CAD＝10°，AD是△ABC的中线， ∴∠BAC＝2∠CAD＝20°。 ∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝＝80°。 ∵CE是△ABC的角平分线， ∴∠ACE＝∠ACB＝40°， ∴∠AEC＝180°－∠BAC－∠ACE＝180°－20°－40°＝120°。 证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C。 在△ABD和△ACE中， ∴△ABD≌△ACE(SAS)，∴AD＝AE。 解：由(1)可知∠B＝∠C。∵∠B＝26°，∴∠C＝∠B＝26°， ∴∠BAC＝180°－(26°＋26°)＝128°。 ∵DA⊥AE，∴∠DAE＝90°， ∴∠BAD＋∠CAE＝128°－90°＝38°。 ∵△ABD≌△ACE，∴∠BAD＝∠CAE， ∴∠BAD＝×38°＝19°。 $